全书内容十章概率

章末网络知识判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或1.“一个三角形的内角280°”章末网络知识判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或1.“一个三角形的内角280°”是随机事×)2.“投掷一枚硬币,正面向上或反面向上”是必然事件√)3.灯泡的合格99%,从一批灯泡中任取一个,则是合格品的可√)4P(A)=0.001,则A件×)5.在同一试验中的两个AB,一定有×)6.若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个,则该试古典概型×)题型互斥事件与对立事件的[例1]甲、乙两人参加普法知识竞赛,共5个不同的(1)甲、乙两人中有[例1]甲、乙两人参加普法知识竞赛,共5个不同的(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率少(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多3个选择题记个判断题记p1,p2,则试验的空间包含的样本点数为5×4=20(个(1)设事A=“甲抽到选择题,乙抽到判断题”,B=“甲抽到判断题乙抽到选择题”,M=“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个判断题”,则因为A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共6样本点,B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共 个样本所以P(A)=6=3,P(B)=632020因为AB所以P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=331010故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率5(2)设事C=“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”,则C=“甲两人都抽到判断题”={(p1,p2),(p2,p1)},共2点,P(C)=2=1,所以P(C)=1-P(C)=1-192010故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为9A)解跟踪(2021·安徽蚌埠高一期末)袋中装有6个形状、A)解跟踪(2021·安徽蚌埠高一期末)袋中装有6个形状、的时候,谁也无法看到球的颜色,首先由甲取出3个球,并不再将它放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球,规定取出球的总积分多获胜(1)求甲、乙成(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛球共有以下20况246,256,345,346,356,456,甲、乙平局时都得3分,所以甲取出的个小球是一黑一白一红,共8故平局的概率P8120②间接法:先求其对立事件的概率,然后再应用公 P(A)=1-(1)互斥事件与对立事件①若事件A1,A2,…,An①直接法:将所求事件转化成彼此互斥的事(2)甲获胜时,得分只能是45分,即取21白,1白,21黑6种情故先取者(甲)获胜的概率P6(2)甲获胜时,得分只能是45分,即取21白,1白,21黑6种情故先取者(甲)获胜的概率P63220后取者(乙)获胜的概率P=1-2333510所P2=P3,故先后取球的顺序不影响比赛的公题型古典[例某科研管理部门为了解下辖的甲、乙、丙三个科研所对重领域项目的推进情况以便后期工作实施,准备用分层随机抽样的方从三个科研所中抽取7名科技工作者进行调研,已知三个科研所数分别为(1)应从甲、乙、丙三个科研所中分别抽取(2)设抽7分别用A,B,C,D,E,F,G现从中随机抽取名科研工作者就某一重大项目进行主题发言,求“抽取到的2同一科研所”的概7 解:(1)==480+320+3201120所以480×1=3,320×1=2,320×1所以应从甲、乙、丙三个科研所中分别抽取322(2)不妨设甲科研所中的3人为A,B,C,乙科研所中的2D,E,丙科研所的2个为F,G7人中随机抽取2科研工作的基本事件,FG,共有21其中“抽取到的2人来自同一科研所”AB,AC,BC,DE,FG55所以“抽取到的2人来自同一科研所”的概率为其中“抽取到的2人来自同一科研所”AB,AC,BC,DE,FG55所以“抽取到的2人来自同一科研所”的概率为跟踪有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四不同的几何图形,小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一洗匀后再摸出(1)用画树状图法(或列表法)表示试验的样本空间(纸牌表示(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的解:(1)树状图如图列表如表ABCDABC在应用古典概型的概率公式P(A)=n(A)时,关键是分清事件A空间Ω包含的样本点个数n(A)和n(Ω),有时需用列举法把样本点一列举出来,但列举时必须按某一顺序做到不重复、(2)在A,B,C,D四张纸牌中,牌面图形是中心对称图形的是B,C,摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌包含4个样本(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故(2)在A,B,C,D四张纸牌中,牌面图形是中心对称图形的是B,C,摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌包含4个样本(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故所求概率416题型独立事件两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为[例6和3,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一4一等品的概率)23(C)56解析:记两个零件中恰好有一个一等品的事A,即仅第一个实生加工一等品为事件A1,仅第二个实习生加工一等品为事件A2况P(A)=P(AP(A5×1+1×3=112 4 4大阅兵的徒步方队中,被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合(3)先求每个事件发生的概率,再求应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题D事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为1,1,1,34同学中至少有一名同学被选上的)(B)5(C)73事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为1,1,1,34同学中至少有一名同学被选上的)(B)5(C)733解析:军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为34所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率P=1-(1-1)(1-1)(1-1734 题型用频率估[例某射击运动员为某运动会做准备,在相同条件下进行射击练,结果(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多(2)假设该射击运动员射300次,则击中靶心的次数大约(3)假如该射击运动员射300270击中靶心,那30次一定都击不中靶(4)假如该射击运动员射1098次击10一定击中靶心解:(1)由题意,击中靶心的频率与0.9接近,故概率射次数击中次数8击中(2)击中靶心的次数大约300×0.9=270(次(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以(2)击中靶心的次数大约300×0.9=270(次(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶(4)不一跟踪训练如表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果完成表格并回(1)完成(2)估计该油菜籽发芽的解:(1)从左到右依次入(2)由于每批种子发芽的频率稳定在0.897附近,所以估计该发芽的概率为题型概率与统计的综合应每粒25123发芽粒249112发芽频验次数越多,频率越接近概率概率是一个理论值,频率是概率的近似值,当做大量的重复试验[例5](2020·陕西榆林高二期末)某市城管委对所在城市[例5](2020·陕西榆林高二期末)某市城管委对所在城市约个流动个体经营者进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣蔬、玩具、饰品等,各类个体经营者所占比例如(1)该市城管委为了更好地服务百姓,打算从流动个体经营者经中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层随机抽样的取,请问应抽取小吃类、果蔬类流动个体经营者各多(2)为了更好地了解流动个体经营者的收入情况,工作人员还对蔬经营点最近40天的日收入(单位:元)进行了统计,所得频率分布方图如图2.若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中取两天,求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率解:(1)由题意知,小吃类流动个体经营者所占比例1-25%-10%-5%-5%=40%,按照分层随机抽样的方法抽取,应抽取小吃类流体经营者100×40%=40(个),果蔬类流动个体经100×15%=15(2)该果蔬经营点的日收入超过200元的(0.002+0.001)×50×40=6(天),其中超过25040×0.001×50=2(天).记日收入超过2502天为(2)该果蔬经营点的日收入超过200元的(0.002+0.001)×50×40=6(天),其中超过25040×0.001×50=2(天).记日收入超过2502天为a1,a2天b1,b2,b3,b4,随机抽取两天的所有可能情况,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),15种,其中至少有一天超过250有可能情况,b4),共9种.所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率P=915跟踪训练为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培进教育教学改革,某市教育局举办了全市中学生创新知识学举行了选拔赛,共有150名学生参加,为了了解成绩情况,从中50名学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,请你尚未完成的频率分布表,解答下列问题组分频频关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排往是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大.在解决问题时,要概率与统计相结合,所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概概率与统计的综合应用的关注(1)完成频率分布表(直接写出结果),并作出频率分布直方图(2)若成绩在90.5分以上的学生获一等奖,试估计全校获一等奖的数,现在从全校所有获一等奖的(1)完成频率分布表(直接写出结果),并作出频率分布直方图(2)若成绩在90.5分以上的学生获一等奖,试估计全校获一等奖的数,现在从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学加竞赛,某班共有2名同学荣获一等奖,求该班同学恰1人参赛的概解:(1)频率分布表频率分布直方组分频频2合1合1(2)获一等奖的概率约0.04,所以获一等奖的人数150×0.04=6(人).记这人为A1,A(2)获一等奖的概率约0.04,所以获一等奖的人数150×0.04=6(人).记这人为A1,A2,B,C,D,E,其中为该班获等奖的同学.从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代校参加竞赛,对应的样本空间),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共有15个样点所以该班同学中恰1加竞赛的概率P=8检测试选题知识点、题事件关系及其古典事件的独频率与概出的四个选项中,只有一项是符合题目要求1.在天气预报出的四个选项中,只有一项是符合题目要求1.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概85%”,这是指 )(A)明天该地区85%的地区降水,其他地区(B)明天该地区85%的时间降水,其他时间不降(C)气象台的专85%的人认为会降水,另15%的专家认为降(D)明天该地区降水的可能性为2.某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活7乙至多有一人被选中的概率,则甲、乙均被选中的(B(A)1(B)3(D)2解析:由题意可知事件“甲、乙至多有一人被选中”与事件“甲、被选中”为对立事件,则甲、乙均被选中的概率P=173103.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开粮,有人送来米648石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数28832粒,则这批米内夹谷约为()dàn量单位,1石=60克(A)74(B)72(C)70(D)68概率综合解析:设648米内夹谷约为x为抽样取米一把,数粒内夹谷32𝑥32,解得x=72.故选6484.掷一个骰子的试验,事A现小于解析:设648米内夹谷约为x为抽样取米一把,数粒内夹谷32𝑥32,解得x=72.故选6484.掷一个骰子的试验,事A现小于5的偶数点”,事件表示“出现小于5的点数”.若𝐵B对立事件,则一次试验中)事件A+𝐵发生的概率为( 3236解析:依题意P(A)=2=1,P(B)=4=2,P(𝐵)=1-663因为𝐵表示“出现5点或6点”的事件,A表示“出现小于5点所以A与𝐵互斥P(A+𝐵)=P(A)+P(𝐵)=235.从含有3件正品2件次品的5件产品中,任意取出2)为((A)7(B)3 (D)5解析:设3件正品为A,B,C,2件次品为则任意取2件产品的情况,共10其中至少有一件次品的情况有7则取2中至少有一件次品的概率为6.一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个中,中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.32,中鼓励奖的概0.42,则不中奖的概率为()6.一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个中,中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.32,中鼓励奖的概0.42,则不中奖的概率为()解析:由于奖项一等奖、二等奖、鼓励奖和不中奖四个事件是立,且构成事件为必所以不中奖的概率为1-0.1-0.32-0.42=0.16.故选7.甲、乙两名同学相约学习某种技能,该技能需要通过两项考拿到证书,每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核率是4,通过第二项考核的概率是1;乙同学拿到该技能证书的521,那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概3D)(A)13(B)1135解析:由已知得甲拿到该技能证书的概率为52则甲、乙两人都没有拿到证书的概率为(1-2)×(1-5 所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率 1-2=3.故选58.2020115日—1110日,在上海国家会展中心举办届中国国际进口博览会,其中的“科技生活展区”设置了各类与人生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”“智能家居费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专区中选两个专区参观,则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术区的概率是((A)1(B)3)55解析:分别记“高档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务器人”“人工智能及软件技术”解析:分别记“高档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务器人”“人工智能及软件技术”五个专区从这五个专区中选择两个专区参观,所包含的基本事件有AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,10选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区(即专区对应的基本事AE,BE,CE,DE,4个因此,选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率P=410出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选但不全的得2分,有选错的得09.有甲、乙两种套餐供学生选择,记事件AB少选一种套餐”,事件C一种套餐”,事D“不选甲套餐”,事件为“一种套餐也不选”.下列说法错误()与C是互斥事与E互斥事件,且是与C不是互斥与E是互斥事解析A为“只选甲套餐”;事件B为“至少选一种套餐”,包选甲套餐,选乙套餐,甲、乙两种套餐都选;事C为“至多选一种餐”,包括选甲套餐,选乙套餐,甲、乙两种都不选;事D为“不选套餐”,包括选乙套餐,甲、乙两种都餐”,包括选甲套餐,选乙套餐,甲、乙两种都不选;事D为“不选套餐”,包括选乙套餐,甲、乙两种都不选;事件E为“一种套餐事件AC既不互斥也不对立A错误;事件B与E是互斥事件是对立事件B正确;事件BC不互斥C确C与E互斥,故D错误.故选10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂件产品,其中有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查件产品A一等品”,B为“是合格品”,C不合品”,则下列结果正ABC(A)P(B)=(B)P(A∪B)=解析:由题意A,B,C互斥C正确;又因为从100中抽产品符合古典概型的条所以P(B)=7,P(A)=2,P(C)=1,则B)=9A,B确,D错误.故选11.某次数学考试的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的已知某选择题的正确答CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不做,下列表述正确的)甲同学仅随机选一个选项,能得3分的概率是2乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是6丙同学随机选择选项,能得分的概率是51(D)丁同学随机至少选择两个选项,能得分的解析:甲同学仅随机选一个1(D)丁同学随机至少选择两个选项,能得分的解析:甲同学仅随机选一个选项,共有4个基本事件,分率为1A23分的乙同学仅随机选两个选项,共有6个基本分别为随机选择两个选项能得5的基本事件有{C,D},故能得为1B6丙同学随机选择选项(丙至少选择一项由题意可知共有基本事件15种,分选择选择选择三项或全随机选择选项能得分的基本事件有故能得分的概率为3=1C正确15丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知,共有基本事件个随机至少选择两个选项能得分的基本事件有{C,D},故能得分的为1D故选12.如图所示的电路中只箱子表示保险匣分别A,B,C,D,E所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的(BDA,B所在线路畅通的概率为6A,B,C12.如图所示的电路中只箱子表示保险匣分别A,B,C,D,E所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的(BDA,B所在线路畅通的概率为6A,B,C所在线路畅通的概率为61(C)D,E线路畅通的概(D)当开关合上时,整个电路畅通的概率为解析:由题意知2保险闸被切断的概率分3456A,B两个箱子畅通的概率1×2=1,因此A错误23D,E两个箱子并联后畅通的1-1×1=11=29,因此C5 30A,B,C三个箱子混联后畅通的概1-2×1=1-1=5,B346根据上述分析可知,当开关合上时,电路畅通的概率为 6正确.故选的横线13.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人到这种动200只做过标记后放回,13.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人到这种动200只做过标记后放回,一星期后,调查人员再该种000只,其中做过标记的有100只,估算保护区有这物只解析:设保护区内有这种动物x只,因为每只动物被逮到的概率是同的,所以1,解得x=12 1答案:1214.某商场举行促销活动,凡购买一定价值的商品便可以获得两奖机会.第一次抽奖中奖的概率0.5,第二次抽奖中奖的概0.3,两次抽奖是否中奖互不影响,那么两次抽奖中至少有一次概率.解析:因为两次抽奖中至少有一次中奖的对立事件是两次都不所以两次抽奖中至少有一次中奖的概率为=1-(1-0.5)(1-15.甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会,其中甲医院有.解析:记甲医院21A,B,0,乙医12女为从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名,则基本事(A,C),(A,1),(A,2),(B,C),(B,1),(B,2),(0,C),(0,1),(0,2),9所以选出2名医生性别不(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(0,C),共5选出2名医生性别不相同的概率9答案9所以选出2名医生性别不(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(0,C),共5选出2名医生性别不相同的概率9答案9袋中任取一个球,则取得同色球的概率.解析:设从甲袋中任取一个球,事件A为“取得白球”,则事件𝐴“取得红球”,从乙袋中任取一个球,事件为“取得白𝐵为“取得红因为A与B互独所以事件𝐴与𝐵相互独所以从每袋中任取一个取得同色球的P(AB∪𝐴𝐵)=P(AB)+P(𝐴 2 2答案2四、解答题(本大6共70答应写出文字说明、过程或演算步甲、乙两人独立破译同一密码,甲破译密码的概率0.7,乙破译码的概率0.6.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译(1)求甲、乙两人都破译(2)求恰有一人破译密码解:(1)事件“甲、乙两人都破译密码”可表示为AB,事件相独立由题意可(2)事件“恰有一人破译解:(1)事件“甲、乙两人都破译密码”可表示为AB,事件相独立由题意可(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为𝐴B+A𝐵,且𝐴B,A𝐵=(1-0.7)×0.6+0.7×(1-某校高一年级000名学生全部参加了体育达标测试,现从40学生的测试成绩,整理并按分数40505060[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图如所示(1)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人(2)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2求其中恰有1人体育成绩在[60,70)的概率解:(1)根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生所以估计该校高一年级中体育成绩大于或等于701(2)体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2,3,分别记为若随机抽2则所有的基本事件为(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10所以估计该校高一年级中体育成绩大于或等于701(2)体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2,3,分别记为若随机抽2则所有的基本事件为(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10其中1成绩在[60,70)的基本事件的个数有6设A为1体育成绩在[60,70)P(A)=610A,B,C三个独立事件,若事A发生的概率是1,事件B发生2概率是2,事件3发生的概率是3,求下列事件的概4(1)事A,B,C生两(2)事A,B,C发生解:(1)记“事A,B,C只发生两个A1,则事件A1包括三种彼此斥的情况:AB𝐶,A𝐵C,𝐴BC,由互斥事件概率的加法公式和相互独件的概率乘法1242424所以A,B,C发生两个的概率为(2A,B,C至多A2A2包括彼此互三种情况:事件一个也不发生,记为A3,事件只发个,记A4A,B,C生两个,由(1)知242424P(AP(A)+P(A2341所以A,B,C多发生两个的概率为4质量监督局检测某种产品的三个质量指标x,y,z,用综合指标核定该产品的等级.若Q≤5,则核定该产品为一等品.现从所以A,B,C多发生两个的概率为4质量监督局检测某种产品的三个质量指标x,y,z,用综合指标核定该产品的等级.若Q≤5,则核定该产品为一等品.现从产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品B2每件产品的综合指标Q≤4”,求事件B解:(110产品的综合指标Q,如表的有A1,A2,A4,A6,A9,A1066故该样本的一等品率为从而估计该批产品的一等品率为(2)在该样本的一等品中,随机抽取2产品Q4565656634产品编质量指产品编质量指(A2,A10),(A4,A6),(A4,A9),(A4,A10),(A6,A9),(A6,A10),(A9,A10),15种.在该样本的一等品中,综合指标Q≤4产品编号分别为(A2,A10),(A4,A6),(A4,A9),(A4,A10),(A6,A9),(A6,A10),(A9,A10),15种.在该样本的一等品中,综合指标Q≤4产品编号分别为则事B发生的所有等可能结果为(A1,A9),(A1,A10),(A9,A103所以P(B)=315随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某景有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙1时还车的概率分别为1,1;1小时以上且不2时还车4概率分别为1,1;两人租车时间都不会超过3小时2(1)求甲、乙两人所付租车费用相(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8解:(1)甲、乙两人所付费用相同即同24元,62的概P1 24的概P2 4都付6的概率为P1×113 4故所付费用相同的概率为P=PP+P1+115 8816(2)设两人费用8,10,12分别为4444P(B)=1×1+1×1=3444P(C)=1×1=144设甲、乙两人费用之和大于或等于8的事所以甲、乙两人费用之P(C)=1×1=144设甲、乙两人费用之和大于或等于8的事所以甲、乙两人费用之和大于或等于8的概P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=5+3+1=9161616进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备减少土地资源的消耗,具有社会、经济、生态等多方面的生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了圾分类知识考试,试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概都p,乙同学答对每题的概率q(p>q),且在考试中每人各题题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为1,恰有一人答2的概率为5(1pq(2)试求两人共答对三道解:(1)设A={甲同学答对一道题},B={乙同学答对一道题设C={甲、乙两人均答对一道题},D={甲、乙两人中恰有一人道题由于两人答题互不影响,且每人各题答题结果互不影所以AB相互独立,A𝐵与𝐴BP(B))+(1-𝑝𝑞=12由题意可得5𝑝(1-𝑞)+𝑞(1-𝑝) 𝑝𝑞=12即𝑝+𝑞=17𝑝=3𝑝=243解得或P(B))+(1-𝑝𝑞=12由题意可得5𝑝(1-𝑞)+𝑞(1-𝑝) 𝑝𝑞=12即𝑝+𝑞=17𝑝=3𝑝=243解得或 𝑞 𝑞 34p>q,所43(2)设Ai={甲同学答对了i道题},Bi={乙同学答对i道题由题意得,P(A1 4 4P(A)=3×3=92 4P(B1 3 3P(B2 3设E={甲、乙两人共答对三由Ai和Bi相互独立,A1B2与A2B1所=3×4+9×4=5899所以甲、乙两人共答对三道题的概率5综合检测试选题一、单项选择题(本大题共8小题,所以甲、乙两人共答对三道题的概率5综合检测试选题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题出的四个选项中,只有一项是符合题目要求1.已知a∈R,复数z=(a+2i)i+1(i为虚数单位)为实数,则a等于i(A)(B)-1(D)-解析:因为z=(a+2i)i+1(i为虚数单位)为实iz=(a+2i)i+1=ai+2i2+i=-2+(a-i所以a-1=0,解a=1.故2.某中学举办电脑知识竞赛,满分100,80分以80秀,现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100],其中第三第四第五小组的频率分别知识点、题平面复立体概统0.10,0.05,而第二小组的40,则参赛的人数以及成绩概率分别是C)解析:由已知得第二小组的频率0.10,0.05,而第二小组的40,则参赛的人数以及成绩概率分别是C)解析:由已知得第二小组的频率1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40设共有参赛学生x成绩优秀的概3.若平面向量a与b满足|a|=2,|b|=1,|a+b|=√7a与b的夹θC(C)60°解析:|a+b|=√(𝑎=√𝑎2+𝑏2+=√|𝑎|2+|𝑏|2+=√4+1+解得cosθ=1,θ=60°.故选24.某中学组织了“英雄事迹我来讲”活动.已知该中学共有高中2700名,用分层随机抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容45的样本参加活动,其中高三年级抽取了1415人,则该校高一年级学生人数B)(C)1(D)1解析:由题意高一抽取的学15人,则该校高一年级学生人数B)(C)1(D)1解析:由题意高一抽取的学生45-14-设高一学生人数为n,则 =16,解得n=960.故选27005工作要求,各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习学模式积极开展工作,并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况,从某校高三取名学生,获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体总时间分别在[2,3),[3,4),[4,5),…,[8,9),[9,10)(单位:小时)数据,整理得到的数据绘制成频率分布直方图(如图所由图中数据估计从该校高三年级中随机抽取一名学生,这名学生该居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概C)54(A)16解析:由题意(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)×1=1,解所以样本中每天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的频率所以可估计从该校高三年级中随机抽取一名学生,这名学生该天居所以样本中每天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的频率所以可估计从该校高三年级中随机抽取一名学生,这名学生该天居自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概率为1.故56.已知棱长为1的正方体的所有顶点在一个球面上,则这个球的表积为C)32解析:由题意,正方体的中心为其外接球的球心,因为正方体的棱1,所以正方体的对角线长为√3,则外接球的半径为√3,所以外接球2表面4π×(√3)2=3π2(B)解析:因为a-b=(5,2)-(3,x)=(2,2-x),所 (a-x)=12-4x=0,解得x=3.故8.已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,EDC中点,F上运动,则三棱锥FADE外接球的表面积最小值C)(A)14π(C)545π解析AEO1,易知O1为Rt△ADED1C1的中点P,接A1P,A1P的中Q,连接由正方体的性质可得O1Q取由中位线的性质可QH∥AD且QH=1AD1取由中位线的性质可QH∥AD且QH=1AD112所以D1C1⊥平面若要使三FADE的外接球的表面积最小,则要使其半径最小易知当FH,OF最小设OO=m,由题OE=√5,O111222则OEOEOO+m114OH2=OQ2+QH2=(2-由OE2=OH2可得5+m2=(2-4化简可得此时,三FADE的外接球的半径R满42所以三棱锥FADE的外接球的表面积最小值=4πR=4π·出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对5分,选但不全的得2分,有选错的得02所以三棱锥FADE的外接球的表面积最小值=4πR=4π·出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对5分,选但不全的得2分,有选错的得09.已知复数ω=- 是虚数单位),𝜔是ω的共轭复数,则下结论正确)(B)ω3=-解析:因为ω=-1+√3i,所以𝜔=-1- 所以ω2=1-√3i-3=-1-√3i=𝜔A正确 ω3=ω2ω=(-1-√3i)(-1+√3i)=1-(-3)=1,故B ω2+ω+1=-1-√3i-1+√3i+1=0,故C正确 虚数不能比较大小,故D错误10.某人射箭9次,射中的环数依次为7,8,9,7,6,9,8,10,8,关组数据,下列说法正)(A)这组数据的众数是(B)这组数据的平均数是这组数据的中位数是这组数据的方差是3解析:数据从小到大排列为所以众数8,A项正确;中位数为8,C项错误平均数为6+7+7+8+8+8+9+9+10=8,所以选项正确9方差为1×[(6-8)2+(7-8)2×2+(8-8)2×3+(9-8)2×2+(10-8)2]=493D11.如图,△ABC所以众数8,A项正确;中位数为8,C项错误平均数为6+7+7+8+8+8+9+9+10=8,所以选项正确9方差为1×[(6-8)2+(7-8)2×2+(8-8)2×3+(9-8)2×2+(10-8)2]=493D11.如图,△ABCA,B,C应的三条边长分别2∠ABC=-,c=2,b=8√5,则下列结论7∠ABC5的有()(A)sin5→→(D)△CBD的面积为5解析cos2∠ABC=-72cos2∠ABC-17又∠ABC为钝角,解得∠ABC=-5由余弦定理b2=a2+c2-2accos得64=a2+4-4a·(-55a=2,可知△ABC为等腰所以cos∠ABC=-cos2A=-(1-2sin2A)=-55可得cosA=√1- 5Rt△ABD𝑐A,得AD=√5,可得BD=√𝐴𝐷2-𝐴𝐵2=√5-4=1B错误CD=b-AD=8√5-55→5可 5→→→可得5𝐶𝐷=3𝐷𝐴,故C正确 Rt△ABD𝑐A,得AD=√5,可得BD=√𝐴𝐷2-𝐴𝐵2=√5-4=1B错误CD=b-AD=8√5-55→5可 5→→→可得5𝐶𝐷=3𝐷𝐴,故C正确 =1a·CDsinC=1×2×3√5×√5=3D错误22 12.已知边长为2菱形ABCDABC=2π,现3将菱形)使AC=√3,则下列结论正确的二面角ABDC大小为3A到平BCD距离为2(D)直线AD与平面BCD所成角的正切值解析BD中点O,连接由菱形性质可知△ABD和△BCD都是等边所BD⊥OA,BD⊥OC,又所BD⊥平面所由BD⊥OA,BD⊥OC可知∠AOC二面角ABDC的平OA=OC=√3所以∠AOC=π,故选B正确3所以A到平BCD由BD⊥OA,BD⊥OC可知∠AOC二面角ABDC的平OA=OC=√3所以∠AOC=π,故选B正确3所以A到平BCDh=OA·sin 故选项CAAMBCD,垂足为M,则MOC点,所 连接DM,则∠ADMAD与平面BCD所成的角2DM=√𝑂𝐷2+O𝑀2=√1+ 所以tan∠ADM=𝐴𝑀=3,故选项D错误.故选𝐷𝑀的横线13.如图,把一个表面涂有蓝漆的正方体木个完全相正方体,若从中任取一块,则这一块至多有一面涂有蓝漆的.解析:有两面涂有蓝漆的小木块有24个,有三面涂有蓝漆的小木块8则至多有一面涂有蓝漆的小木块有3264答案214.某中学为了丰富学生的业余生活,开展了则至多有一面涂有蓝漆的小木块有3264答案214.某中学为了丰富学生的业余生活,开展了一系列文体活动,其项是同学们最感兴趣的33现有甲、乙两队进赛,甲队每场获胜的概率为2,且各场比赛互不影响.若采用五局5制进行比赛,则乙队在第四场比赛后即获得胜利的概.解析Ai(i=1,2,3,4,5)表示甲队在第i场比赛获采用五局三胜制,则乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率P(A1𝐴2𝐴3𝐴4)+P(𝐴1A2𝐴3𝐴4)+P(𝐴1𝐴2A3 答案15.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组的,将它沿虚线对折起来,可以得到如图所示形状的六面体,则该体的.解析:由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的,如图,三ABCD为棱2正四取CD中点EBEBE上取FBF=2FE,连易233点F为△BCD的中心,AF该三棱锥所以 22 AF=√𝐴𝐵取CD中点EBEBE上取FBF=2FE,连易233点F为△BCD的中心,AF该三棱锥所以 22 AF=√𝐴𝐵2-𝐵𝐹2=√4- ) 333所以3 3所以该六面体的体积为答案316.如图,在平面直角坐标系xOyABCD的顶点A,Bx轴非负半轴和y轴的非负半轴上滑动,顶点C在第一象内,AB=2,BC=1,设∠DAx=θ.若θ=π,则点C4,→→若θ∈(0,π2.·𝑂𝐷的取值范解析:分别过点D作x,y的垂线,垂足分E,FCx,y垂足分别为M,N,如则设x1=CN=cosθ+sinx2=OA+AE=2sinθ+cosθ,y2=DE=sin当θ=π时,x=cosπ=√2,y=2cosπ+sinπ=3√2,则点则设x1=CN=cosθ+sinx2=OA+AE=2sinθ+cosθ,y2=DE=sin当θ=π时,x=cosπ=√2,y=2cosπ+sinπ=3√2,则点114 4 由上可知,C(cosθ,2cosθ+sinD(2sinθ+cosθ,sin→→则θsinθ=1+4sinθcosθ=1+2sin→→因此,𝑂𝐶·𝑂𝐷的取值范22四、解答题(本大6共70答应写出文字说明、过程或演算步已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中求向a+ba-bka+b与a-kb的模相等,求𝛼-𝛽的值(k零的2解:(1)由已知得则(a+b)·(a-b)=a2-因此(a+b)⊥(a-因此,向量a+ba-b的夹角为(2a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sin可得ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sin因此(a+b)⊥(a-因此,向量a+ba-b的夹角为(2a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sin可得ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sina-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksin因为=√(𝑘cos𝛼+cos𝛽)2+(𝑘sin𝛼+|a-kb|=√(cos𝛼-𝑘cos𝛽)2+(sin𝛼-所以√(𝑘cos𝛼cos𝛽)2(𝑘sin𝛼√(cos𝛼-𝑘cos𝛽)2+(sin𝛼-整理可√𝑘2+2kcos(𝛽-𝛼)+1=√1-2𝑘cos(𝛽-𝛼)+4kcosβ-所以cos(β-α)=0cos(α-所以-π<α-因此α-β=-π,即𝛼-𝛽=-2 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分160,160,80,现采已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分160,160,80,现采用分层随机抽样的方法从中抽取5名同学去某敬院参加爱心活(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽同学承担敬老院的卫生①试用所给字母列举出所有可能的抽取结概率解:(1)甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比所以从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别2、21(2)①从抽出的5同学中随机抽取2名同学的所有等可能结,共10②不妨设抽出的5名同来自甲年级的是A,B,来自乙年级的是C,D,来自丙年级的是则从抽出5学中随机抽取的2名同学来自同一年级的可能结果为{A,B},{C,D},共2所以事件M发生的概率为P(M)=210如图,在三棱柱A1B1C1中,侧面BCC1B1是矩形,平面ACC如图,在三棱柱A1B1C1中,侧面BCC1B1是矩形,平面ACC1A1BCC1B1,M是棱CC1的中点(1)求证(2N是AB的中点,求证:CN证明:(1)连接因所以三角是等边三MCC1的中点因为平面ACC1A1BCC1B1且两个平面的交线CC1,所以AM又BB1⊂平面BCC1B1,所以(2)BB1P,连接NAB中点是BB1的中所以在△ABB1中由NP⊄平面AB1M,AB1⊂所以NP∥平面又在三棱柱A1B1C1BB1∥CC1PB1∥CM所以四边PB1MC为平行四所CP⊄平又在三棱柱A1B1C1BB1∥CC1PB1∥CM所以四边PB1MC为平行四所CP⊄平面AB1M,MB1⊂所