湖南省2021年中考数学真题分项汇编-11 四边形（含答案解析）

专题11四边形

一、单选题

1.（2021.湖南娄底市.中考真题）如图，点E,F在矩形4BCO的对角线8。所在的直线上，BE=DF，则

四边形AEC户是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【分析】

利用三角形全等的性质得，对应边相等及时应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状.

【详解】

解：由题意：

AD//BC,：.ZADB=NCBD,

：.NFDA=/EBC,

乂AD=BC,BE=DF,

:.^ADF^ACBE（SAS）,

:.AF=EC,

ZAFD=ZCEB,:.AFIIEC,

四边形AECF为平行四边形，

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定定理及性质、平行四边形的判定，解题的关键是：掌握平行四

边形判定定理，利用三角形全等去得出相应条件.

2.（2021•湖南株洲市.中考真题）如图所示，四边形A88是平行四边形，点E在线段的延长线上，

若ZDCE=132°,则ZA=（）

D

A.38°B.48°C.58°D.66°

【答案】B

【分析】

根据补角的定义求ZDCB,再利用平行四边形对角相等的性质求解即可.

【详解】

,:"CE=132°

二ZDCB=180°-ZDCE=180°-132°=48°

四边形ABC。是平行四边形

二ZA=ZZ)CB=48°.

故选：B.

【点睛】

本题考查了补角的定义和平行四边形的性质.平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角相互相平分.

3.（2021•湖南常德市•中考真题）如图，已知F、E分别是正方形ABC。的边AB与8c的中点，AE与DF

交于P.则下列结论成立的是（）

B.PC=PD

2

C.ZE4F+ZAFZ)=90°D.PE=EC

【答案】C

【分析】

根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可.

【详解】

解：；四边形ABCO是正方形,

：.AB=BC=CD=CAfZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

•・,已知F、E分别是正方形ABC。的边AB与8c的中点,

：.BE=-BC=-AB<-AE故A选项错误，不符合题意；

222f

在△A8E和ADAF中，

AB=DA

<ZABE=ZDAF=90°t

BE=FA

：./^ABE^ADAF(SAS),

，NBAE=NADF,

*/ZADF+ZAFD=90°f

：.ZBAE+ZAFD=90°9

：.ZAPF=90°f

AZEAF+ZAFD=90o,故。选项正确，符合题意；

连接“C,

同理可证得尸(SAS),

J/BCF=/ADF,

:・/BCD・/BCF=/ADCNADF,即90°-ZBCF=90°-ZADF,

・♦・ZPDC=ZFCD>ZPCD,

：.POPD,故8选项错误，不符合题意；

•:AD>PD,

CD>PD9

：.ZDPOZDCP,

.♦・90°-ZDPC<90°-ZDCP,

：./CPEv/PCE,

:・PE>CE,故。选项错误，不符合题意;

故选：c.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识.此题综合性很强，解题

的关键是注意数形结合思想的应用.

4.（2021•湖南常德市•中考真题）一个多边形的内角和是1800。，则这个多边形是（）边形.

A.9B.10C.IID.12

【答案】D

【分析】

根据〃边形的内角和是（〃-2）X180。，根据多边形的内角和为1800°,就得到一个关于〃的方程，从而

求出边数.

【详解】

根据题意得:（"-2）义180。=1800。，

解得:"=12.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知〃边形的内角和是（n-2）X180°.

5.（2021•湖南株洲市•中考真题）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以A3为边作正五边形，

则N£4Z=（）

A.10°B.12°C.14°D.15°

【答案】B

【分析】

利用正〃边形的外角和定理计算即可

【详解】

如图，延长84到点0,

六边形ABCDEF是正六边形，

ED

.\ZMO=—=60°,

6

•••五边形ABGHI是正五边形,

皆=72。,

/.ZFAI=ZIAO-ZFAO=\20,

故选B.

【点睛】

本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正〃边形的外角和定理是解题的关键.

6.（2021.湖南衡阳市.中考真题）如图，矩形纸片438,45=4,5。=8,点加、N分别在矩形的边4。、

BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AO上，记为点尸，点。落在G处，连接PC,

交MN于点Q,连接CM.下列结论:①四边形OWPN是菱形;②点P与点A重合时，MN=5；③APQM

的面积S的取值范围是4WSW5.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【分析】

根据矩形的性质与折叠的性质，证明出NPMN=NPM0，PM=PN,通过等量代换，得到PM=CN,则

由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理CN=5,CQ=gAC=2g,由菱形的性

质对角线互相垂直，再用勾股定理求出MN=2QV=2石：当MN过点。时，最小面积

S=；S菱形CMPS=；X4X4=4,当尸点与A点重合时，S最大为S=；x5x4=5,得出答案.

【详解】

解：①如图1,

图1

PMPCN,

：.NPMN=ZMNC,

•折叠，:.ZMNC=4PNM,NC=NP

：./PMN=/PNM,

PM=PN，

:.PM=CN,

MP//CN,

：.四边形CNPM为平行四边形，

CN=NP,

,平行四边形CNPM为菱形，

故①正确，符合题意；

②当点P与A重合时，如图2所示

G

(P)

N

图2

较BN=x，则AN=MC=8—x，

在RfAABN中,AB?+BN?=AN?,

即42+\=(8一彳了,

解得：x=3,

CN=51AC=yjAB2+BC2=475-

CQ=；AC=2后，

又•••四边形CNPM为菱形，

AAC±MN.且MN=2QN,

/.QN=‘CN?-CQ。=V5

：.MN=2QN=2yf5,故②错误，不符合题意.

③当MN过点。时，如图3所示：

(M)

图3

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=(S菱形c“ps=；x4x4=4,

当尸点与A点重合时，CN最长，四边形OWPN的面积最大，则S最大为S=[x5x4=5,

4

.,.4<5<5,故③正确，符合题意.

故答案为：①③.

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定

理、勾股定理是解决本题的关键.

二、填空题

7.(2021•湖南中考真题)一个多边形的每个外角的度数都是60。，则这个多边形的内角和为.

【答案】720°

【分析】

多边形的外角和计算公式为：边数x外角的度数=360。，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边

形的内角和公式求出它的内角和，〃边形内角和等于(〃-2)x|80。.

【详解】

解：•..任何多边形的外角和是360。，此正多边形每一个外角都为60。，边数x外角的度数=360。，

.,.n=360°+60°=6,

.•.此正多边形的边数为6,

则这个多边形的内角和为(〃-2)x180。，

(6-2)xl80°=720°,

故答案为720°.

【点睛】

本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°,n边形内角和等于(小2)

/180°”是解题的关键.

8.(2021・湖南长沙市•中考真题)如图，菱形ABC。的对角线AC,相交于点。，点E是边AB的中

点，若OE=6,则5c的长为.

【答案】12

【分析】

先根据菱形的性质可得。4=0C,再根据三角形中位线定理即可得.

【详解】

解：•.•四边形A8CD是菱形，

OA=OC,

••,点E是边A3的中点，

.•.0E是△ABC的中位线，

：.BC=2OE=2x6=U,

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键.

9.（2021.湖南株洲市.中考真题）如图所示，线段BC为等腰AABC的底边，矩形AD3E的对角线与DE

交于点。，若。0=2,则AC=.

BC

【答案】4

【分析】

先求出矩形的对角线的长，得到48的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值.

【详解】

解：•.•矩形ADBE的对角线AB与DE交于点。,

：.AB=DE,OE=OD,

：.AB=DE^2OD=4,

•.•线段BC为等腰4ABC的底边，

：.AC=AB=4,

故答案为:4.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用

题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功.

10.（2021・湖南中考真题）如图，已知四边形A3C0是平行四边形，从①=®AC=BD,③

中选择一个作为条件，补充后使四边形A8C。成为菱形，则其选择是一（限填序号）.

【答案】①

【分析】

根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得.

【详解】

解：①AB=A£）时，平行四边形A5CD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

②AC=8£＞时，平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；

③由平行四边形的性质可知，ZABC^ZADC,则不能作为构成菱形的条件；

故答案为：①.

【点睛】

本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键.

11.（2021•湖南张家界市•中考真题）如图，在正方形ABC。外取一点E，连接。E，AE，CE,过点。

作DE的垂线交AE于点P，若DE==1，PC=指.下列结论:①△"£＞会ACED；②AE，CE；

③点C到直线DE的距离为由；④S正方形.8=5+2J5,其中正确结论的序号为.

【答案】①②④

【分析】

利用同角的余角相等可得NE2)C=NPZM,利用S45可证明△APDg/XCED,可得①正确；②根据全等三

角形的性质可得/A尸庆/CEQ,根据等腰直角三角形的性质可得NOPE=/OEP=45。，即可得出ZPEC=90°,

可得②正确；过C作CFJ_QE,交。£的延长线于F,利用勾股定理可求出CE的长，根据是等腰直

角三角形，可证ACEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求出C尸的长，可得③错误；④

由③可知EF的长，即可得出。尸的长，利用勾股定理可求出CO的长，即可求出正方形48co的面积，可

得④正确，综上即可得答案.

【详解】

♦.•四边形ABCD为正方形，PD1DE,

ZPDA+ZPDC=90°,ZEDC+ZPDC=90°,AD^CD,

二NEDC=NPDA,

AD^CD

在△AP/）和△CEO中，ZEDC=ZPDA,

DP=DE

：.AAPD^ACED,故①正确，

・・・ZAPD=ZDECf

♦：DP=DE,NPOE=90。，

NDPE=NDEP=45。,

：.ZAPD=ZD£C=135°,

・・・ZPEC=ZDEC-ZDEP=90°,

：.AE.LCE,故②正确，

如图，过C作C/J_OE,交OE的延长线于凡

•；DE=DP=1，ZPDE=90°,

：,PE=y[2，

,:PC=®ZPEC=90°,

:•CE=1pc2_PE2=2,

VZDEP=45°,ZP£C=90°,

，ZFEC=45°,

,：ZEFC=90°,

.•.△CE尸是等腰直角三角形,

：.CF=EF^^CE=J2，

2

:,点C到直线OE的距离为灰，故③错误，

:.DF=EF+DE=O+1,

：■CD'DF2+CF2=(0+1)2+(伪2=5+2夜，

S正方形4gs=5+20,故④正确，

综上所述：正确的结论有①②④，

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、iE方形面积公式、勾股定

理的运用等知识，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.

12.（2021•湖南株洲市•中考真题）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蠕，同"蝶”），它

的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共

十三只（图①中的“棣”和“要，为“样”和“只”）.图②为某蝶几设计图，其中△ABO和△CBO为“大三斜”组件

（“一棣二集”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线

。。对称，连接CP、DP.若44OQ=24。，则N47=度.

建

售

泌

,加

M

X

午«|

图1图2

【答案】21

【分析】

由题意易得四边形ABC£＞是正方形，进而根据轴对称的性质可得A庆。p,NPDQ=NADQ=24。，则有

CD^DP,然后可得NCOP=138°,最后根据等腰三角形的性质可求解.

【详解】

解：且都为等腰直角=角形，

二四边形ABCQ是正方形，

/.^CDA=90°,CD=AD,

•.•点P与点A关于直线DQ时称，ZADQ=24°,

:.4PDQ=ZADQ=24°,AD^DP,

J.CD^DP,ZA£>P=48°,

二NCDP=138。，

NDCP=ZDPC=改一=21°,

2

故答案为21.

【点睛】

本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、

轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键.

13.（2021・湖南衡阳市.中考真题）如图1,菱形A5CO的对角线AC与8。相交于点O,P、。两点同时从

。点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点尸的运动路线为O-A-0-0,点。的运

动路线为。-C—B—0.设运动的时间为x秒，P、。间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如

图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为

厘米.

四边形ABCD是菱形，由图象可得AC和BD的长，从而求出0C、0B和4CB.当点P在A—£＞段上运

动且P、。两点间的距离最短时，此时PQ连线过。点且垂直于BC.根据三角函数和已知线段长度，求出

P、。两点的运动路程之和.

【详解】

由图可知，AC=2A/3,BD=2（厘米），

•••四边形ABC。为菱形

AOC=-AC=y[3,OB=-BD=\（厘米）

22

二ZACB=30。

尸在A。上时，Q在上，PQ距离最短时，PQ连线过。点且垂直于BC.

此时，P、。两点运动路程之和S=2（OC+CQ）

,:CQ=0C.css4ACB=舟与=3（厘米）

故答案为（26+3）.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质和三角函数.解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度.

三、解答题

14.（2021•湖南中考真题）如图，在矩形ABC。中，已知AB=6,ZDBC=30°,求AC的长.

【答案】12.

【分析】

先根据矩形的性质可得CQ=AB=6,AC=&）,288=90。，再根据直角三角形的性质可得

BD=2CD=12,由此即可得出答案.

【详解】

解：•••四边形A8CD是矩形，AB=6,

CD=AB=6,AC=BD,NBCD=90°,

•••在mABCD中，ZE>BC=30°.

：.BD=2CD=n,

.•.AC=BO=12.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键.

15.（2021糊南中考真题）如图，四边形ABCD中，A3=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E，F,

使AE=b.连接BE,DF，若BE=DF.证明：四边形ABCD是平行四边形.

【答案】见详解

【分析】

先证明△ABEGACDF，再证明A8〃CD,进而即可得到结论.

【详解】

证明：在AABE和AC"中,

AB=DC

:<AE=CF,

BE=DF

/.AABE四卫DF,

:.NBAE=NDCF,

：.ZBAC^\SO°-ZBAE=\SO°-ZDCF=ZDCA,

:.AB〃CD,

又,:AB=DC.

...四边形A5CO是平行四边形.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平

行四边形”，是解题的关键.

16.(2021・湖南永州市•中考真题)如图，已知点A,D,C,8在同一条直线上，AD=BC,AE=BF,AE//BF.

(1)求证：AAfC^ABFD.

(2)判断四边形。ECF的形状，并证明.

【答案】(1)见详解；(2)四边形0ECF是平行四边形，理由见详解

【分析】

(1)由平行线的性质可得再证明AC=BD,根据SAS即可得到结论；

(2)由△AECgZkBED得DF=CE,根据平行四边形的判定定理，即可得到结论.

【详解】

(1)证明：

AD=BC,

AAD+CD=BC+CD,即：AC=BD,

在AAEC和△BED中，

AC^BD

<NA=NB,

AE=BF

；.AAEC且ABFD；

(2)四边形£)ECE是平行四边形，理由如下：

AAECm4BFD,

:.NACE=NBDF,DF=CE,

：.DF//CE,

...四边形DECF是平行四边形.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握上述性质和判定定理，是解题的关

键.

17.(2021・湖南株洲市•中考真题)如图所示，在矩形A8C。中，点E在线段C。上，点F在线段的延

长线上，连接EF交线段8C于点G,连接BO,若DE=BF=2.

(1)求证：四边形3在D是平行四边形；

(2)若tanNABO=2,求线段BG的长度.

3

4

【答案】(1)证明见解析；(2)-

3

【分析】

(I)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证；

(2)利用平行四边形的性质得到NR=Z4B£>，接着利用锐角三角函数值解直角三角形即可.

【详解】

解：（1）证明：因为四边形ABC。是矩形ABC。，

CD//AB,

又：DE=BF=2,

二四边形3E即是平行四边形：

（2）由（1）知四边形3EED是平行四边形，

/.BDHEF,

：./F=ZABD，

2

tanNF=tanNABD=—,

3

BG2

"-•--,

BF3

4

BG=—,

3

4

线段BG的长度为一.

3

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形等内容，解决本题的关键

是牢记相关概念，能进行边和角之间关系的相互转化等，本题较基础，着重考查了学生的基础知识和对概

念公式的运用.

18.（2021.湖南长沙市.中考真题）如图，口A8CD的对角线AC,8。相交于点0,AOIB是等边三角形，

AB=4.

（1）求证：nABCD是矩形：

（2）求AD的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）473.

【分析】

(1)先根据平行四边形的性质可得。4=。。=！4。,05=0£>=,比>,再根据等边三角形的性质可得

22

OA=OB，从而可得AC=30,然后根据矩形的判定即可得证；

(2)先根据等边三角形的性质可得OB=AB=4,从而可得=8,再根据矩形的性质可得ABAD=90°,

然后在RtAABO中，利用勾股定理即可得.

【详解】

(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

:.OA=OC=；4C,08=OO=；肛

•.•△Q钻是等边三角形，：.OA=OB.：.AC=BD,

.•QABCD是矩形；

(2)♦.•△OS是等边三角形，A6=4，

；.OB=AB=4,

:.BD=2OB=8,

由(1)已证：C7ABe0是矩形，.•.NfiM>=90°,

则在RtAABD中，*=ylBlf-AB2=782-42=473-

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与

性质是解题关键.

19.(2021・湖南衡阳市•中考真题)如图，点E为正方形ABCD外一点，乙钻8=90。，将用ZXABE绕A点

逆时针方向旋转90°得到AAD尸,DF的延长线交BE于H点.

（1）试判定四边形的形状，并说明理由；

（2）已知377=7,BC=13,求。〃的长.

【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17

【分析】

（I）由旋转的性质可得NAE8=/AF/）=90。，AE=AF,ZDAF=ZEAB,由正方形的判定可证四边形BEFE

是正方形；

（2）连接8£＞，利用勾股定理可求BD=JCC）2+CB?=130，再利用勾股定理可求。”的长.

【详解】

解：（1）四边形AEHE是正方形，理由如下：

根据旋转：ZAEB=ZAFD=90°,AE=AF,ZDAF=ZEAB,

•••四边形ABC。是正方形

二ZDAB=90°

二ZFAE=ZDAB=90°

：.ZAEB=ZAFH=ZFAE=90°

四边形AF7/E是矩形，

XVAE=AF

矩形AFHE是正方形.

（2）连接BD

；8C=CZ)=13,

在RtMCD中,BD=VCZ)2+CBr=13夜

•.•四边形AEHE是正方形

NEHD=90。

在Rt/\DHB中，DH-\IBD2-BH2，又BH=7,

:.DH=17.

故答案是17.

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，

等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

20.（2021•湖南岳阳市•中考真题）如图，在四边形ABC。中，AE±BD，CF1BD,垂足分别为点E,

F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是；

（2）添加了条件后，证明四边形AEC尸为平行四边形.

【答案】（1）AF//CE（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析

【分析】

（I）由题意可知AE〃C下，要使得四边形AEC产为平行四边形，则使得AF〃CE即可，从而添加适当条

件即可；

（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可.

【详解】

（I）显然，直接添加A/7/CE,可根据定义得到结果，

故答案为：AF//CE（答案不唯一，符合题意即可）；

（2）证明；：CFYBD.

：.AE//CF，

,/AF//CE，

二四边形AECF为平行四边形.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键.

21.(2021•湖南怀化市•中考真题)已知：如图，四边形A8CD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线

上，AE=CF.求证：

(1)NADE^CBF

(2)ED//BF

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【分析】

(1)利用平行四边形的性质得出AD=BC,再证明利用SAS证明两三角形全等

即可.

(2)利用VADE丝VCBF,得出/E=/凡再利用内错角相等两直线平行即可证明.

【详解】

(1)证明：•.•四边形A8CD为平行四边形

：.AD//HC,AD^BC

ZDAC=ZACB

：.ZEAD=ZFCB

在AAOE和△C8F中，

AE=CF

<READ=NFCB

AD=BC

：.NADE^/CBF(SAS)

(2)VADE^CBF

：.NE=NF

：.ED//BF

【点睛】

本题考查全等三角形的证明、平行四边形的性质、平行线的判定及性质、灵活进行角的转换是关键.

22.(2021・湖南邵阳市•中考真题)如图，在正方形ABC。中，对角线AC,3。相交于点。，点E，F是

对角线AC上的两点，且AE=CF.连接OE，DF，BE,BF.

(1)证明：VADE丝VCBE.

(2)若43=4j5，A£=2,求四边形中的周长.

【答案】(1)证明见解析(2)四边形8瓦中的周长=86

【分析】

(1)根据正方形的性质可得AO=Z)C=BC=A8,^DAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°,再根据SAS证明两三

角形全等即可

(2)先根据正方形的性质得出ND4C=NOC4=NC4B=N4C8=45。，ACLBD,再根据勾股定理计算出BE,

再证明四边形DEBF是菱形,即可得出四边形BEOF的周长

【详解】

(1)证明：.••四边形ABCD是正方形

:.AD=DC=BC=AB,ZDAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°

AD=CB

在△/1£)£：和ACSF中<ZDAE=NFCB

AE=CF

：.NADE^/CBF(SAS)

(2)I•四边形ABC。是正方形

/.ZDAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°,AC1.BD

在Rt^AOB中，N043=45。又AB=472

/.OA=OB=s\nZ0ABAB=-----x4v2=4

2

VA£=2

・・・0E=2

在Rt^EOB中，BE=y/OE2+OB2=J4+16=2后

•.•四边形ABC。是正方形

：.A0=C0,DO=BO

又,；AE=CF

：.E0=F0,XDO=BO

，四边形DEBF是平行四边形

又•.•ACLLB。，即

.•.四边形。&3尸是菱形

BE=DE=DF=BF=2后

二四边形BEDF的周长=4x275=875

【点睛】

本题考查全等三角形的证明、正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理、特殊锐角三角

函数值、熟练掌握特殊平行四边形的性质及判定是解题的关键

23.（202卜湖南张家界市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与8。相交于点O,NAQB=60°,

对角线AC所在的直线绕点。顺时针旋转角a（O°<a<120°）,所得的直线I分别交AD，BC于点E,F.

（1）求证：AAOE^ACOF；

（2）当旋转角a为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）90°,理由见解析

【分析】

(1)根据两直线平行，内错角相等，两直线相交，对顶角相等，且AO=CO,可以证明两三角形全等;

(2)根据平行四边形对角线垂直即可说明.

【详解】

(1)证明：•.•四边形ABCO是矩形，

AD//BC,AO=CO,

:.ZAEO=NCFO,

又•••ZAOE=NCOF，

：.^AOE^COF(AAS).

(2)当a=90°时四边形AFCE为菱形，

理由：

OE=OF,

又：49=CO，

二四边形AFCE为平行四边形，

又,:NAOE=90°，

二四边形AFCE为菱形.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判断定理，菱形的判定定理，解题的关键是：根据两直线平行的性质得出角之间