六年级奥数专项讲义相等和值问题通用

六年级奥数专项精品讲义-第21讲

相等和值问题通用版（含答案）

一、填空题

1.有A、B、C、D四张扑克牌，其中:

A、B、C三张扑克牌上的点数之和是15；

A、B、D三张扑克牌上的点数之和是16；

A、C、D三张扑克牌上的点数之和是19；

B、C、D三张扑克牌上的点数之和是22.

那么A、B、C、D四张扑克牌上的点数分别是和.

L3|

(O(D)

2.把63表示成n个连续自然数的和，试写出各种可能的表示法:

3.学生问数学老师的年龄.老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是

我的年龄.”老师今年岁.

4.和为15的两个非零自然数共有对.

5.图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数，而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里

的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是________.

6.如图，九个小正方形内各有一个一位数，并且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等，那么

x=

7.如图，时钟的钟面上标有1,2,3,…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直

线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含

的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数分别是和—

8.如图，横行、竖列各8格，每格都有一个数，已知横行上任意三个相邻数之和为15,竖列上任意三个相

邻数之和为24.那么a所代表的数是一

Z

二

b2-▼匚

人

一

一

[5

9.自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅.每种牌都有1点、2点，…、13点

牌各一张）.洗好后背面朝上放好.一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数

和颜色都相同.如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取

张牌.

10.如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等.那么X

11.七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，b为一位数，那么写

A的圆内应填入

12.建筑工程队甲组有21人，乙组有27人，丙组有24人.现根据工作需要，把丙组的人分到甲、乙两组

去，要使甲、乙两组人数相等，应分人到甲组，人到乙组.

二、计算题

13.把4、5、6、7、8、9这六个数分别填在下图的圆圈里，使三角形每条边上的和是21.

14.在如图的。里填上适当的数，使每个正方形四个角上的数加起来等于1.

15.图中8个顶点处标注数字a,b,c,d,e,f,g,h,其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的1

3

求：(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值.

16.把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在合适的方格里使每横行、竖行、斜行的三个数相加的和都得

45.

17.请在“O”里各填入一个从1〜12的数字，使各条边上的内的数字之和为和为26.但是，已经写

入的数字不能移动.

18.把2、3、4、5、6填入右边图中，使横行、竖行的三个数相加的和相等.

19.将1〜6分别填在图中，使每条边上的三个。内的数的和相等.

20.如右图的6条线分别连接着九个O,其中一个。里的数字是6.请你选九个连续自然数（包括6在内）,

填入O内，使每条线上各数的和都等于23.

21.把1、2、3、4、5、6填入右图圆圈中，使每条边上三个数字的和都得9.

22.把1~8个数分别填入。中，使每条边上三个数的和相等.

23.把0〜9填入10个小三角形中，使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.

24.分数分的分子、分母同时加上什么数，所得的新分数等于理？

19951996

三、应用题

25.布袋中12个乒乓球分别标上了1,2,3,…，12.甲、乙、丙三人，每人从布袋中拿四球，已知三人所

拿球上的数的和相等，甲有两球标上5、12,乙有两球标有6、8,丙有1球标1,问丙的其它三个球上所标

的数是多少？

26.第二中队有8名男同学，女同学的人数跟男同学同样多，第二中队共有多少名同学？

27.电梯在一座十一层的楼房内上下运行.到二楼时，如果有人上或下，管理员就在盒内放入一个小球；到

三楼时，如果有人上或卞就放两个小球；到四楼时，如果有人上或下就放三个小球；…以此类推，并且这

个规律不变.如果无人上或下，则不放小球.一次，电梯从一楼开始上行到达顶层时，共有四层楼无人上

或下，管理员共放了25个小球，请问：有哪几层楼无人上或下？简要说明你的理由.

答案

一、填空题

1.2；5；8：9

解：因为,A+B+C=15,A+B+D=为,A+C+D=19,B+C+D=22,

将此三个等式等号的两边相加，3(A+B+C+D)=72,

A+B+C+D=24,将此等式分别减去上面的三个等式，

D=9,

C=8,

B=5,

A=2,

故答案为：2,5,8,9.

2.63=31+32=20+21+22=8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9+10+11

解：把63表示成n个连续自然数的和共有以下几种表示法：

两个数:n+n+l=63,n=31.数是31,32

三个数：(n-1)+n+(n+1)=63,n=21.数是20,21,22

四个数(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=63,无解

五个数(n-2)+(n1)+n+(n+1)+(n+2)=63,无解

六个数(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=63,n=10数是8,9,10,11,12,13

七个数(n-3)+(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=63,n=9,数是6,7,8,9,10,11,

12,

八个数，…无解

九个数，数是，3,4,5,6,7,8,9,10,11；

共五种.

即63=31+32=20+21+22=8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9+10+11.

3.37

解：111+(1+1+1)=37；

2224-(2+2+2)=37；

3334-(3+3+3)=37；

9994-(9+9+9)=37；

故答案为：37.

4.7

解：和为15的两个非零自然数相加情况如下：

1+14=15,

2+13=15,

3+12=15,

4+14=15,

5+10=15,

6+9=15,

7+8=15,

所以共有7对，

故答案为：7.

5.5

解：设和15相邻的两个数是a和b,和26相邻的两个数是b和c,和31相邻的两个数是b和c,由题意得:

a+b=15①；

b+c=26②；

a+c=31③；

由①可得：a=15-b,

由②可得：c=26-b,

代入③可得：

15-b+26-b=31,

2b=10,

b=5；

那么：a=15-5=10,

c=26-5=21；

所以这几个圈里填的数为：

故答案为：5.

6.5

a+x+f=9+x+l,有a+f=10；同理d+x+c=9+x+l得d+c=10；

所以a+f+d+c=20

又a+9+d=9+x+l,得a+d=x+l；

c+l+f=9+x+l,得c+f-x+9,

则a+d+c+f=2x+10.

所以2x+10=20,x=5.

故答案为：5.

7.3,4,9,10；5,6,7,8

解：如图：

因为分成三部分，且每部分的和相等，

所以其中两个部分所包含的几个数分别是：3,4,9,10；5,6,7,8.

故答案为：3,4,9,10；5,6,7,8.

解：如图:

C

d

2"Qa.也

由7+b+c=24,则b+c=17,又b+c+d=24,所以d=7；

由6+g+f=24,则g+f=18,又g+f+e=24,所以e=6；

由2+h+i=15,又h+i+j=15,所以j=2,又j+a+e=15,得2+a+6=15,所以a=7.

故答案为：7

9.27；37

解：(1)可取红，黑色的1,2,3,4,5,6,7,8,9.10,11,12,13点各2张，共13X2=26(张)，

那么再取一张牌，必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况,

因此至少要取27张牌，必须保证有2张牌点数，颜色都相同.

(2)有以下的搭配：

(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),(10,11,12),13

因而对涂阴影部分得9个数，四种花色的牌都取，9X4=36((张)牌，其中没有3张牌的点数是相邻

的.

现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13,则至少有33张牌取自(1,2,3),(4,5,

6),(7,8,9),(10,11,12)这4个抽屉，根据抽屉原理，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个

抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的，因此，至少要取37张牌.

故自制的一副玩具牌共计52张(含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅.每种牌都有1点、2点，…、13

点牌各一张).洗好后背面朝上放好.一次至少抽取27张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都

相同.如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要37张牌.

故答案为：27,37.

10.24

解：每个小正方形内的两位数分别用a、b、c、d、e、f来表示，每行、每列及两条对角线上的三个整数的

和相等.

则有:a+b+22=26+X+22,①

c+X+d=26+X+22,②

26+e+f=26+X+22,③

a+c+26=26+X+22,④

b+X+e=26+X+22,⑤

22+d+f=26+X+22,®

a+X+f=26+X+22；⑦

都用26+X+22来表示，前6式左边加左边等于右边加右边，整理，得：a+b+c+d+e+f=96+2X,

由②得c+d=48,由⑤得b+e=48,由⑦得a+f=48,把这3式代入上式，得：48X3=96+2X,

2X=48,

X=24.

答:那么X=24.

故答案为：24.

11.6

解：6+10+14+ll+8+12+b=61+b,

此时只有b=9时6l+b=61+9=70符合题意，

如图所示：B=A-4,

C=B+3,所以C=A-以

D=C+3,所以D=A+2：

而A+D=14；

即A+A+2=14,所以A=（14-2）+2=6.

故答案为：6.

12.15；9

解：（21+27+24）4-2

=72+2

=36（人）

36-21=15（人）

36-27=9（人）

答：应分15人到甲组，9人到乙组.

故答案为；15,9.

二、计算题

解：因为三个重叠数之和=21X3-C4+5+6+7+8+9)=24,

在4、5、6、7、8、9这几个数中和是24的只有7,8,9.

三个重叠数是7,8,9,那么根据每条边上的三个数之和等于21.

故把4、5、6、7、8、9这六个数分别填在下图的圆圈里，使三角形每条边上的和是21,可得下图的填法.

14.解:1-(^+_3+_1_)

41020

=1-3

5

=2;

5

1-(1+1+2)

545

=1-17

20

=2；

20

1-(1+2+2.)

5510

=1-9

10

=_1_；

10

1-(1+1+1)

5410

=1-11

20

=2；

20

1-(1+1+2)

10410

=1-12

20

=2.

20

故答案为:

15.解：由已知条件得：3a=b+d+e,3b=a+c+f,3c=b+d+g,3d=a+c+h；

由于3a+3b+3c+3d=b+d+e+a+c+f+a+c+h=3(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)・

所以(a+b+c+d)=e+f+g+h；

则(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0.

62712129242431818216

21159271539152131527

18324621181227624912

解：3+27=306+24=309+21=3012+18=30它们都加15得45.

即：3+27+15=456+24+15=459+21+15=4512+18+15=45.

另外：6+27+12=456+21+18=4518+3+24=4524+9+12=45.

故“把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在合适的方格里,

17.

18.解：设中间的数为x,横行、竖行和为y,

则横行、竖行的和相加为2+3+4+5+6+x=2y,

所以x一定为偶数，

即中间的数可为2、4、6,如为中间2,

6+2+3=5+2+4=11；

如中间为4,则：

6+4+2=5+4+3=12；

如果中间为6,贝h

5+6+2=4+6+3=13.

故有三种填法，（同一种填法中，中间数字不变，横行竖行中其他数字倒换和不变）如图:

（1）

19.解：根据题意（如下图）,当最上面角的。内填1时，下面两个角的。内分别填2、3,通过调整4、5、

6三个数的位置，得出a与b的填法，

当最上面角的。内填2时，下面两个角的。内分别填1、3,通过调整4、5,6三个数的位置，得出c与d

的填法，

当最上面角的。内填3时，下面两个角的。内分别填1、2,通过调整4、5、6三个数的位置，得出e与f

21.

解：设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C；

由题意可得：

l+2+3+4+5+6+A+B+C=9X3,

21+A+B+C=27

A+B+O6.

1+2+3=6,

又因为：1+2+6=9,2+3+4=9,1+3+5=9；

所以，三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是1、2、3；

那么，1与2中间的数是6,2与3之间的数是4,1与3中间的数是5；

由以上可得：

22.解：所填数字如下图:

23.解：去掉0后，每组数的和为:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4-3

=45+3

=15；

可以分成如下图：

24.解：假设同时加上x,由题意，得:

1993+产199£,

1995+x1996

1995X(1995+x)=1996X(1993+x),

(1996-1995)x=1995X1995-1996X1993,

x=1995X1995-1995X1993-1993,

=1995X2-1993,

=1995+2,