河南省南阳市南召县2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题（含答案解析）

2023-2024学年上学期阶段性评价卷三八年级数学（华师版）注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.下列四个数中，属于无理数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数，理解无理数的意义是解题的关键．根据“无限不循环的小数是无理数”判断求解．【详解】解：有理数有：；无理数有：；故选：C．2.下列各组数中，是勾股数的是（）A. B.2，3，4 C.6，8，10 D.7，5，6【答案】C【解析】【分析】本题考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵不是整数，∴不是勾股数，故本选项不符合题意；B、∵，∴不是勾股数，不符合题意；C、∵，∴是勾股数，故本选项符合题意；D、∵，∴不是勾股数，不符合题意．故选：C．3.下列计算正确是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了平方差公式，整式乘法，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式，不符合题意；B、原式，不符合题意；C、原式，符合题意；D、原式，不符合题意．故选：C．4.如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．先根据等边三角形的性质得出，，再由平分，可得出，根据直角三角形性质即可得出结论．【详解】解：∵是等边三角形，，∴．又∵平分，，故选：B．5.下列命题中是真命题的是（）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角的平分线不一定重合C.三角形的一个外角等于两个内角的和D.两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的两个锐角互余判定A；根据等腰三角形“三线合一”的性质判定B；根据三角形外角的性质判定C；根据“边角边”定理判定D．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，此选项中命题正确，是真命题，故此选项符合题意；B、等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角的平分线三线重合，此选项中命题错误，是假命题，故此选项不符合题意；C、三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和，此选项中命题错误，是假命题，故此选项不符合题意；D、两个三角形有两条边和它们的夹角对应相等，这两个三角形全等，此选项中命题错误，是假命题，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判定，直角三角形的性质，等腰三角形“三线合一”的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定．6.用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可．【详解】解：根据反证法的步骤，得第一步应假设不成立，即．故选：C．【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键．7.如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断，以下结论中不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本作图得垂直平分，根据线段垂直平分线的概念可对A进行判断；根据线段垂直平分线的性质可对B进行判断；根据等腰三角形的性质可对C进行判断，根据不一定平分，则与不一定相等，可对D进行研究判断．【详解】解：A、由作图可知：垂直平分，∴，故此选项正确，不符合题意；B、由作图可知：垂直平分，∴，故此选项正确，不符合题意；C、由作图可知：垂直平分，∴，∴，故此选项正确，不符合题意；D、∵，∴，由作图可知，，但无条件说明平分，∴与不一定相等，故此选项不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质．8.如图，在和中，，，，则下列结论不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断．【详解】解：在和中，，故A、C、D正确，故选：B．9.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（）A. B.C.的面积为5 D.点A到的距离是1.5【答案】D【解析】【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D．【详解】解：A、，，，，，本选项结论正确，不符合题意；B、∵，∴，本选项结论正确，不符合题意；C、，本选项结论正确，不符合题意；D、点A到的距离，本选项结论错误，符合题意；故选：D．10.如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题．【详解】解：∵是等腰直角三角形，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，面积为的正方形的边长为．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11.比较大小：______．（填“>”“<”或“=”）【答案】>【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，对于带根号的无理数的大小比较，关键在于利用平方法先转化为有理数的大小比较，进而解答．先比较两个数的平方大小，即可得到它们的大小关系．【详解】解：∵，，∴，故答案：．12.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确运用提取公因式法分解因式是解题关键．直接提取公因式得出答案．【详解】解：，故答案为：．13.命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是___________．【答案】同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题解答即可．【详解】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．14.上小学的小雨在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个用卡纸剪出2个直角三角形的任务，上初二的姐姐刚学完勾股定理的相关知识，她对妹妹说，不用直角三角尺或量角器也可以判断剪出的两个三角形是否为直角三角形．姐姐量出两个三角形的三边长分别为：图形①；图形②．请你用所学知识判断：图形______是直角三角形．【答案】②【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，两短边的平方和等于最长边的平方和，三边构成的三角形是直角三角形，由此判断即可．【详解】解：，图形①不是直角三角形；，图形②直角三角形，故答案为：②．15.如图，在中，，，，是∠ABC的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】过点作于点，交于点P，过点P作于Q，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．【详解】解：在中，，由勾股定理得：，过点作于点，交于点P，过点P作于Q，如图，平分，于点，于Q，，∴的最小值，，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积．解题关键是作出的最小值的垂线段．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握；（1）先算乘方，绝对值，平方根和立方根的化简，再算加减即可；（2）利用平方差公式，完全平方公式进行运算，再合并同类项即可；【详解】（1）；（2）．17.如图，琳琳想要测量水库的宽，水库西边有一座水房D，在的中点C处有一棵百年古树，琳琳从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E（点A，C，E在同一条直线上），使，然后她测得点E与水房D之间的距离是，求水库的宽．【答案】水库的宽为15米【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．利用全等三角形的判定定理证得．然后由全等三角形的对应边相等得到．【详解】解：根据题意知，，在与中，所以．所以米．答：水库的宽为15米．18.如图，在中，，，是边的中点，求的长．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质．等腰三角形底边上的中线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到，然后在直角中，利用勾股定理求得高线的长度，再根据三角形的面积公式计算即可求解．【详解】解：∵是边的中点，∴是边上的高线．∵，∴．在中，由勾股定理，得．19.某中学想把校园内一块不规则的四边形荒地开辟为劳动实践基地，如图所示，测得四边形中，，，，，，请你计算出四边形的面积．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形面积．连接，利用勾股定理求出，再由勾股定理判定出是直角三角形，然后由，即可求解．【详解】解：连接，∵∴∵，，∴，，∴∴∴即四边形的面积为．20.如图，在中，，是的平分线，于点E，，，求的长．【答案】【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等以及勾股定理．根据角平分线的性质可先求出的长，的长已知，根据勾股定理可求出解．【详解】解：是平分线，于，，．，．21.如图，在中，点D是射线上一点．（1）实践与操作，仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．①在的上方作射线，使得；②作的平分线，交于点N．（2）求证：是等腰三角形．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记各性质定理是解题的关键．（1）根据作一个角等于已知角，以及角平分线的基本作法分别作出图形即可；（2）根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可得出结论．【小问1详解】解：如图所示，作，则，射线即为所求；如图所示，射线即为所求；【小问2详解】证明：由作图可知，是的角平分线，又，∴是等腰三角形．22.根据两数和（差）的完全平方公式解决下列问题：（1）若，，求；（2）若，求的值．【答案】（1）11（2）14【解析】【分析】本题考查完全平方公式，熟练是解题的关键．（1）由两数差的完全平方公式求解即可；（2）由两数和的完全平方公式求解即可．．【小问1详解】解：∵，，，∴；【小问2详解】解：∵∴．23.八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．（1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；（2）如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：；（3）如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．【答案】（1）（2）见解析（3），【解析】【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可．【小问1详解】解：延长至，使，连接，如