2024届新高考数学“8+4+4”小题期末狂练（8）解析版

2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练（8）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∴.故选:C.2.设复数，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，得，∴解得或∵，∴．故选:B．3.已知平面向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，，向量与夹角为锐角，即需且与不共线，得，解得：，所以“”是“向量与的夹角为锐角”的充要条件.故C项正确.故选：C.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则函数为奇函数，故排除，当时，，故排除，故选：C．5.已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：，整理得：则，解得即，解得，代入得或，再利用焦半径公式得故选：B.6.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，令，解得，两边取常用对数得，即即，因为，，所以，解得，因为，所以的最小值为9．故选：A7.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设数列的一阶商数列为，二阶商数列为，则，，，又数列的二阶商数列是常数列，则，则满足，所以数列是为首项，为公比的等比数列，则，所以，则，，，，，，等式左右分别相乘可得，所以，则，故选：C.8.已知函数，设，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，，故为偶函数，当时，，令，则，即在上单调递增，故，所以，则在上单调递增，由于，，，所以．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为7B.若，则．C.在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和4【答案】BD【解析】对于选项A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A不正确；对于选项B：若，则，故B正确；对于选项C：在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，其中是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；对于选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和4，故D正确.故选：BD.10.若直线与圆相交于两点，则长度可能等于（）A.2 B.4 C. D.7【答案】BC【解析】由圆，可得圆心，半径为，又由直线恒过定点，且点在圆的内部，可得，当直线时，此时直线与圆相交，截得的弦长最短，此时，当直线过圆心时，此时截得的弦长最长，此时，所以弦长的取值范围为，结合选项，选项B、C符合题意.故选：BC.11.已知函数，下列说法正确的是（）A.若是偶函数，则B.若函数是偶函数，则C.若，函数存在最小值D.若函数存在极值，则实数a的取值范围是【答案】ACD【解析】对于A、B中，函数的定义域为，且，则，则，则，故恒成立，故，故A正确，B错误；对于C中，当时，，可得，令，即，解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以C正确；对于D中：，因为存在极值，则有零点，令，即，所以，则，即，解得，所以D正确.故选：ACD12.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（）A.甲队积分为9分的概率为 B.四支球队的积分总和可能为15分C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为【答案】ABD【解析】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，所以甲队积分为9分的概率为，故A正确；对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确；对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误；对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，在丙输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输，①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；综上概率为，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】因为，所以由得，因为关于x的不等式在区间上有解，所以，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，综上的最大值为1，故，即实数a的取值范围是.故答案为：.14.已知的展开式中的系数为__________.【答案】【解析】由，则其展开式的通项，令，解得，所以的展开式中的系数为.故答案为：.15.已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则___________.【答案】【解析】不妨设，可得，，由图可知在一个周期内，则，，，又因为，即，可得，解得，则，解得，所以，可知的最小正周期，所以.故答案为：.16.如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥