立体几何-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第三期)(解析版)

专题04立体几何

1.（2021・广东佛山高三月考）若圆台的下底面半径为4,上底面半径为1,母线长为5,则其体积为（）

A.15万B.21万C.28万D.637r

【答案】C

【解析】圆台的轴截面如图所示：

则圆台的高〃=152-（4-1）2=4,所以圆台的体积丫=*/7（，+我2+闺=*x4x（『+42+1x4）=281

故选：C

2.（2021•湖南湘潭高三一模）如图,在直四棱柱A8CD-A用GA中，下列结论正确的是（）

___________G

fl

AB

A.AC与B"是两条相交直线

B.叫〃平面BBQ

C.B、C/IBD\

D.A,C,B},，四点共面

【答案】B

【解析】

BD、u面ABDt,ACc而ABD,=A,A任BD、,所以AC与BR是异面直线，A错；

因为的///狙，44"面网〃，BB]U而BBR,所以〃面BBQ,B正确;

面Ben面B8Q=4，B、走BD、,所以BC与8。是异面直线，C错；

如图所示，A,C,R一点在面ACp上，BQ与面ACR相交，所以A,C,用，口四点不共面，D错.

故选：B.

3.（2021•山东潍坊高三月考）在四棱锥尸-A8co中，底面是边长为4的正方形，且PA=2,PB=PD=2后,

则四棱锥外接球的表面积为（）

A.47B.81C.36万D.144TF

【答案】C

【解析】

由题意可知PT+AB2=PB2,p^+Ab1=PUr，

所以PALAD,

又4?c4）=A,

所以PA_L平面ABC。，

过正方形ABC。的中心O'作垂线，

再过PA中点作此垂线的垂线，交点为。，

此点即为外接球的球心，

则外接球半径R=04=J?+仅用=3,

所以四棱锥外接球的表面积S=4万&=36万.

故选：C

4.（2021•山东肥城市教学研究中心高三月考）已知圆锥的侧面积（单位：cn?）为2万，且它的侧面展开图

是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm?）是（）

A.2B.1C.yD.—

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为，母线长为/,则

7vxrxl=24

-1c,，解得r=l，/=2.

2x%xr=-X2*TX/

2

故选：B

5.（2021•浙江宁波市北仑中学高三月考）已知平面a,£,直线/,m,且有/给出下列命题：①若夕〃月,

则/_Lm；②若〃/相，则③若a_L£,则〃/%.其中命题正确的有（）个

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

对于①由/_L/,al1/3,得不出/，机，故错误；对于②月，〃/加得不出a,夕，故错误；对于③夕,

a'B,得不出〃/加，故错误，

故选：A

6.（2021•江苏省苏州十中高三月考）正方体ABCD-ABCP中，点E,尸分别为棱BC,CZ）上的点（不

包含端点），设二面角A-EF-A的平面角为a,若tana=空，则三的取值范围为（）

AECD

A-（°』B-[r1]c同[口.）』）

【答案】c

【解析】

在正方体ABC。-ASG。中，平面ABC。，EFu平面ABCO,则4AJLEF,过4作AO_LEF,连

A\O,有平面AO4,如图，

于是得AOLE尸，则NAOA为二面角4-EF-A的平面角，即NAOA=a,tana=纯，而tana=丛，

AOAE

因此，AO^AE,又AO是点4到直线E尸距离最小值，则有点。与点E重合，即A£_LEF,

因点£，尸分别为正方形48CQ的边BC,CO上除端点外的点，从而得VABE:7ECF,

CFRF11

则有柒=%，令正方体棱长为1，则CP=BE-CE=BE(l-BE)=-(BE-])2+t，

因0<3£<1,于是得0<CF4!，当且仅当8E=:，即E为8c中点时取“=”，此时有0〈其4：,

42CD4

所以C卷F的取值范围为(1°Nr•

故选：c

7.(2021・重庆巴蜀中学高三月考)在棱长为2的正方体AB8-ABCQ中，点E,F,G,”分别为棱48,

BC,GA，的中点，若平面a〃平面EFGH,且平面a与棱A4,B,C,,分别交于点尸，Q,S,

其中点。是棱4G的中点，则三棱锥片-PQS的体积为()

A.1B.~C.-D.—

236

【答案】D

【解析】如图所示，取A&CG的中点,连接NH,NE,MG,MF,

由正方体结构特点可知：NE//GM,HGHEF,HNIIMF,

所以”,G,M,F,E,N六点共面，

又因为平面夕//平面EFGH,所以平面PQS//平面HGMFEN,

又平面BB£C平面PQS=QS,平面BB£C平面HGMFEN=MF,

所以QS//M/，由M,F,Q为所在边中点可知S为BB,中点,

同理可知：尸为4片的中点,

所以8/=与。=8尸=1,且与尸，BtQ,与S两两垂直，

所以三棱锥用-PQS的体积为V=:xlx!xlxl=J,

326

故选：D.

8.(2021•广东广州高三月考)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别为(0,0,1),(1,0,

0),(1,1,0),(1,1,1),则该四面体的外接球的表面积为()

A.万B.2万C.3万D.4万

【答案】C

【解析】

在正方体ABCD-AB|GR中，以点。为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系,

则该四面体为2-ABB、,其外接球即为该正方体的外接球，

所以外接球的半径满足2R=6,即/?=当，

所以该四面体的外接球的表面积为S=4乃川=3万

故选：C

9.(2021.河北沧州高三月考)如图，已知A8,以＞分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB_LCD,若该圆

柱的侧面积是其上底面面积的26倍，则AB与平面88所成的角为()

【答案】C

【解析】

如图，设EF为圆柱下底面内与C£＞垂直的直径，记EFcCD=H,连接AN,BH,

由对称性可知：AHLCD,BHLCD,AHcBH=H,\CD人平面ABH，

设垂足为M,则8_14M,。。门8"=，，；.41/1_平面8仪），

•••直线AB在平面BCD内的射影为BH,ZABH为AB与平面BCD所成的角，

•«-2K-HFBF=2^7tHF2,:.BF=8HF,；2ABH=4BHF4,

.•.AB与平面BCD所成的角为

故选：C.

10.（2021•辽宁抚顺市第二中学高三月考）已知四棱锥P-ABCD,底面48。为矩形，侧面PC。，平面

ABCD,BC=2-j3,CD=PC=PD=2娓，若点M为PC的中点，则下列说法正确的是（）

A.8M_L平面PC£>

B.EV/平面

C.四棱锥P-438外接球的表面积为44兀

D.四棱锥M-ABCD的体积为6

【答案】B

【解析】

在四棱锥P-ABCO中，

因为侧面PCDL平面ABC。，面「CZ）n平面A3C£>=CD,BCLCD,

所以8C_L平面PC/）,

因为过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误;

连接AC交87y于。，连接MO,

在△PAC中，OMHPA,MOu面MBD,月4<2面河8£）,

所以B4//面M8D,所以选项B正确；

取CD中点N,连接PN,在矩形ABC£>中，易得AC=6,OC=3,ON=6,

在APCZ）中，NM=；PC=^,在Rtz\MNO中，MO=yjON2+MN2=3-

所以QW=（M=O8=OC=OD,

所以。为四棱锥M-ABC。外接球的球心，半径为3,

所以其体积为36乃，所以选项C不正确；

四棱锥M-A88的体积是四棱锥P-ASCD的体积的一半，

因为PNLCD,侧面尸CD_L平面ABC。，®PCDQABCD=CD,

所以/W人平面ABC。，PN=3&，

所以四棱锥M—ABCD的体枳VM_ABCD=1x1x273x276x372=12,所以选项D错误.

故选：B.

11.（2021•山东潍坊高三月考）已知某圆锥轴截面的顶角为120,过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积

的最大值为2,则该圆锥的底面半径为（）

A.0B.</3C.2石D.2里）

【答案】A

【解析】

如图，由题可知，ZAPS=120.NABP=3（T

又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面枳的最大值为2,

1、

/.-/2=2,即/=2,

在RtAPOB中，r—Icos30=2x->/3.

2

故选：A.

12.（2021•湖南师大附中高三月考）祖原理也称祖氏原理，是我国数学家祖唯提出的一个求积的著名命题：

“嘉势既同，则积不容异"，“哥”是截面积，“势''是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积

相等，则体积相等.满足Y+y2416的点（X,1）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为K，由曲线

x2-y2=16,y=±x,y=±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为匕，则乂、匕满足以下哪个关

系式（）

1?

A.V,=~V2B.V,=-V2C.乂=2匕D.V,=V2

【答案】B

【解析】

如图可知：当双曲线方程为：x2-y2=a2,高度为人时，

双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，

其中小圆环的半径r即是人，所以小圆面积为：S,=^2,

而大圆半径Rui以由：R2-川=“2求出，即：R=前,

所以大圆的面积为：5,=TTR2=7v{^（r+lrj=^（a2+/?2）,

2

所以圆环的面积为：S=S1-Si=7ta,为定值，

所以由祖胞原理知等轴双曲线与渐近线绕y轴旋转一周所形成的几何体体积匕，

与底面半径为。，高为2a的圆柱体体积七一致，

4?2

而球体体积X=.2〃匕，

333柱

22

所以匕=%,匕=5%=§匕.

故选：B.

13.（2021•山东潍坊高三月考）在棱长为2的正方体A8CQ-ABCR中，点P是正方体的棱上一点,

\PB\+\PCt\=A,则（）

A.4=2时，满足条件的点尸的个数为1

B.2=4时，满足条件的点P的个数为4

C.彳=40时，满足条件的点尸的个数为2

D.若满足|尸3|+|尸6|=4的点0的个数为6,则4的取值范围为（2夜,4）

【答案】BC

【解析】

设E,F分别是C,D,,AB的中点，忸R|=,级+（2应『=273,

I阳=|GF|=Jr+（2立f=3,|AG|=|A臼=2立

由于怛G|=2应,所以|P8|+|PCj=/lN2应，所以A选项错误.

2=4,满足|用+|尸。=4的点为ACE,F共4个，所以B选项正确.

2=472.满足|PB|+|PCJ=40的点为A，。共2个，所以C选项正确.

当尸在正方形A。/）/（不包括A2R,4）上运动时，2€（2+2^,472）,此时棱A片与棱CD匕也存在

点使2"2+2亚4a）.

所以当义€（2+2右,4夜）时，满足|心|+|尸£|=4的点P的个数为6,所以D选项错误.

故选：BC

14.（2021♦江苏省苏州十中高三月考）矩形45co中，43=2,8c=1,将此矩形沿着对角线30折成一个

三棱锥C-BD4,则以下说法正确的有（）

A.三棱锥C-8ZM的体积最大值为25

B.当二面角C-BO-A为直二面角时，三棱锥C-8D4的体积为逆

15

C.当二面角C-BD-A为直二面角时，三棱锥C-BD4的外接球的表面积为5万

D.当二面角C-BD-A不是直二面角时，三棱锥C-6D4的外接球的表面积小于5万

【答案】ABC

【解析】

过C作CE_L8。于£在平面DBA内过E作8。的垂线EG,则NCEG为二面角C-BO-A的平面角，如

图，

平面CEG_L平面DBA,过C作CF_LEG于凡则C/_L平面。区4,

在直角△BC。中，ZBCD=90,BC=1,C£>=2,C£=BCCD=,

BD5

显然CFVCE,当且仅当点E与尸重合时取“="，即点C到平面AB。距离的最大值为CE=2叵，

5

而S皿A=（AB-AO=1，则三棱锥C—BD4的体积最大值为」CE-S⑻=2叵，A正确；

当CF取最大值乎时，CFu平面58,乂CFJ_平面£>84,则平面BCD，平面。54,

即二面角C-即-A为直二面角,三棱锥。-应必的体积为短,B正确;

15

取BD中点O,连接40,CO,显然有AO=CO=l3O=3O=Z）O,于是得点A,B,C,。在以。为球心,

2

40=如为半径的球面上，

2

显然，无论二面角C-B£>-A如何变化，点A,B,C,。都在上述的球。上，其表面积为5加，C正确，D

不正确.

故选：ABC

15.（202卜广东茂名高三月考）在棱长为1的正方体ABC。-ABCQ中，P是线段AG上的点.则下列结

论正确的是（）

A.直线DP与直线gC不垂直

B.直线。P与直线8。垂直

C.当P为4G的中点时，DPHB.C

D.当P为4G的中点时，三棱锥尸-ABG的体积为看

【答案】ABD

【解析】

由4。见£＞且AQ与。尸成的最大角为60。,不可能垂直,则A正确.

在面AORA、面OCGR上的射影分别与A。、G。垂直，即B0J.A。，BD^CtD,

又AOcCQ=。，则5R_L面4QG，又。PU面AQ£,故BRJ_£）P,故B正确；

由与C//A。，而AQcop=r»,即DP,qc不平行，故c错误；

由％-ABC=^H-APC,故D正确.

~ABC,B-APC,322212

故选：ABD.

16.(2021•广东深圳中学高三月考)在直角三角形A8C中，WC=30。，a,人为空间中两条互相垂直的直

线，AC所在直线与mb都垂直，斜边A8以直线AC为旋转轴旋转，下列结论正确的有()

A.当直线A8与“成30°角时，A3与人成90。角；

B.当直线43与〃成45。角时，AB与人成60。角；

C.当直线A8与a成60。角时，AB与6成45。角；

D.直线AB与6所成角的最小值为30°；

【答案】ABCD

【解析】

因为。，人为空间中两条互相垂直的直线，所以，通过平移后，总可以将两条直线移到同一个平面内，且互

相垂直，如图所示圆锥中，

对A,令CO为直线b,8c为直线。，••・C£)J_8C,CL>_LAC,ACc8C=C,CD_L平面ABC,..CD_LAB,

即AB与6成90。角，故A正确；

对B,当直线A8与a成45。角时，令破直线。，EF直线b,作BP//EF,

贝ijcosNABE=cosNF3E♦cosNABF,即cos45'=cosNF8E'-cos3(),,HPcosZ.FBE=>假设48与〃成60°

3

7F

角，则cosNABP=cosNPBF-cosZABF=cos60=cos(Z.FBE)-cosZ.ABF,

2

即cos60'=sinN尸8E-cos3(l,，cosNFBE=±显然成立，故B正确；

3

对C,令BE直线b,EF直线。，与B选项同理可证，故C正确：

对D,当直线匕//3尸时，宜线A3与6所成角取到最小值为30。，故D正确；

故选：ABCD

17.（2021•广州市第一中学高三月考）已知两条直线加，"和两个平面已万，下列命题正确的是（）

A.若m且〃?_L”，则aJ_/?

B.若m//a,〃//7,且初/〃，则a///7

C.若机_La,〃//£,且〃?"L",则a_L/7

D.若“且〃z〃"，则a〃/?

【答案】AD

【解析】

UUU

对于A,若小_La,〃JL〃，且可以判断a_L尸是正确的，因为可以设两个平面的法向量分别为勺，%，

后，所以可判断C6是正确的，故A正确；

对于B,若tnlla,nll/3,\-\,m//n,则a〃夕.不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线阳，〃都

平行于交线，也满足，nll/3,所以B不正确；

对于C,若加，。，〃〃£,且则有可能a〃6,不一定a,6，所以C不正确；

对于D,•若《7_Le,〃//夕，且相〃〃，二〃_La,又"〃£,■尸，故。正确；

故选：AD.

18.（2021•深圳市龙岗区平冈中学高三月考）已知正方体ABCD-AICQ中，点E为棱。。的中点，点户是

线段C。上的动点，AA=2,则下列选项正确的是（）

A.直线4P与81E是异面直线

B.点P到平面AE4的距离是一个常数

C.过点C作平面AEq的垂线，与平面ABC。交于点Q,若电=3印，则QeAP

D.若面内有一点。，它到8距离与到C4的距离相等，则。轨迹为一条直线

【答案】ABC

【解析】

对于选项A,如图，APu平面ABC。，8岑小平面48£。=与，

故直线AP与BE不平行，且耳e4P,

故直线与耳E不相交，所以直线AP与用后是异面直线，故选项A正确；

对于选项B,在正方体中，C\Di/AB\,因为A^u平面4明，CQU平面A印,

所以c。〃平面AEB1,又PeC。，故点尸到平面的距离是一个常数，故选项B正确;

对于选项C,以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0),5,(2,2,2),£(0,0,1),C(0,2,0),

所以福=(0,2,2),AE=(-2,0.1),

______44―.44

因为CQ=3C1P,则尸(0,1,鼻),所以AP=(-2,QG),

JJDD

____4444

设存在。£4尸，设AQ=/IA尸=则Q(_24+2?Z§㈤，

_44

故CQ=(-2A-i-2f—A—2,—A),

因为CQ_L平面AE片,

44

(-2-2)X2+-2X2=0

CQAB^O3

所以《即《解得

CQAE=0,4

(-2/l+2)x(-2)+-2=0

则Q(g』/)，满足条件，故选项C正确;

对于选项D,因为C4，平面CDD©,又QGu平面CDD6,

所以GB?QG,即QG为点Q到G瓦的距离,

根据抛物线的定义可知，。的轨迹为抛物线的一部分，故选项D错误.

故选：ABC.

19.(2021♦广东荔湾高三月考)已知直三棱柱ABC-ABg中，ABLBC,AB=BC=BB、,。为AC的中

点.点产满足丽=/1瓯'，其中;le[0,1],则()

A.对VXe[0,l]时，都有

B.当2=g时，直线力/与AB所成的角是30°

c.当时，直线AP与平面AAG所成的角的正切值更

25

D.当儿=:时，直线AP与。4相交于一点。，则岑=〈

2BQZ

【答案】ACD

【解析】

以为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设钮=1,

y

其中A(1,0,1),0,1),8(0,0,0),G(0,1,1),

因为丽=2明'，所以p(o,Z/i),

——,\——(111、-------1111

A.因为4尸=(_1,4丸_]),04=[^29~2,2jlPOSl=2-2^+2=(^,

所以邛，函，所以4/，。耳，故正确；

B.当行朝，邛=卜],一4布=(一1,(),0),所以即＜A不，而＞1=/14「=噜卷,

3\-337./1H---1-71

V99

所以直线4尸与AB所成的角不是30"故错误;

C.当人；时，平=(-，_£

,取平面AMG的一个法向量为〃=(0,0/),

2一5

—=半，设直线4尸与平面ABC所成的角为氏

所以卜os<A》，〃乂=

N6

叵,所以tane=亚，故正确;

所以sin夕=

665

7

D.当；l=；时，如图所示，尸为耳。中点，。为AC中点，连接0P,

1PQOP1

所以。「〃44，。「=彳4耳，所以唐=7『=7，故正确；

2t/A]A[£f]Z

故选：ACD.

20.（2021・湖北黄石高三月考）如图，正方体ABCD-ABCR的棱长为1,E,尸分别是棱M.CC的中点,

过直线EF的平面分别与棱8片,。2交于M,N两点，设3M=X,X€[0,1],以下说法中正确的是（）

B.四边形MENF的面积最小值为1

C.四边形MEM"周长的取值范围是卜,4应]

D.四棱锥C-MENF的体积为定值

【答案】ABD

【解析】

对于A：连接AC,BD,EF,因为四边形ABCZ）是正方形，所以AC_LB£>,因为8片，面ABC£>,ACu面

ABCD,所以因为BQcBg=B,所以A。_1面8。2耳，因为E,尸分别是棱A4CG的中点,

所以EF//AC,所以所_1面8。。蜴，因为EFu面MENF,所以平面MENF_L平面8£>。田，故选项A正确;

对于B：因为所_1面8。£>用，MNu面所以四边形MENF的面积为S=g£F-MN,

因为EF=应为定值，所以只需MN最小即可得面积最小值，因为8"=》,》曰0,1],所以

2

MN=J(l-2xy+(g=J4/-4X+3，所以当x=；时，A/^min=^4x^-4x；+3=0,所以

Smin=9五*应=1,故选项B正确；

对于C：因为面A£>AA〃面BCGg,平面MENFC面8CG4=MF,平面MENFc面AO^A=NE,所以

MFUNE,同理可证EM〃NF,所以四边形MEN尸是平行四边形，又因为EF_LMV,所以四边形MEN尸是

菱形，所以四边形MENF周长L=4EM,

当工=0时，最大为卜+©邛,当时，£M最小为1,所以L=4EMe[4,2jT],故选项C

不正确；

对于D：连接GE,C,M,C、N,则％-MENF~^C}-EFM^^Cy-EFN=2%-EFM~2V£_CJFM

=2x、Sc根-43=2乂1乂1乂^尸、8。、/18=2'1乂1'1'1乂1=1为常数，故选项D正确；故选：ABD.

31323226

jr

21.(2021.重庆西南大学附中高三月考)已知边长为。的菱形A8CD中，ZADC=j,将“OC沿AC翻折,

下列说法正确的是()

A.在翻折的过程中，直线AD,8c可能相互垂直

B.在翻折的过程中，三棱锥。-43c体积最大值为《

8

C.在翻折的过程中，三棱锥O-A8c表面积最大时，其内切球表面积为(14-86)7/

D.在翻折的过程中，点。在面A8C上的投影为E为棱C。上的一个动点，££>'的最小值为立。

【答案】ABC

【解析】

如图，在翻折过程中构成四面体D-A8C,AAQC和AABC是正三角形，取AC中点0,连接80,DO,

对于A,80=00=3a,则在翻折过程中，80的范围是(0,&),当5£>=a时，D-ABC是正四面体,

2

此时45_LBC,则A正确；

对于B,三棱锥O—A8C的底面积4.比=@/是定值，因BOJ_AC,DOJ_AC,3。0。。=。，则4。_1平

面H0D,

ACu平面ABC,则平面,ABCL平面80。，过。作DO_L直线B。于以，而平面ABCfl平面.38=80,

732

J-足霜DD_L平面ABC,则有DD'<DO=*当且仅当点小与点。裒合时取"=",

6

-2

因此，力.2正确；

=-5ABCDD'=-a-DD'<12•—a=—,B

28

3

=2

时于C,三棱锥。-ABC中，SArx.=sAHC4a,而即=*«»，即三棱锥。—ABC的表面积

J30

S=2S+2S=—a~+2S

AnAtfnl-r-tiyr-RDnlJ2rnn

22

而在翻折过程中，NBCD的范围是(0,120),S^CBD=^BC-DCsinZBCD=-asinZBCD<-a,当且仅当

288=90时取“=”，

因此得三棱锥Q-ABC的表面积的最大值为(*+1)/,此时BD=^BC-+DC-=缶，

等腰ABOD的底边8。上的高人=JBO?-(gBO)?=一(；BD)2=1«.S.B°D=；BD-h=^a2,

从而得/MC='S雨”,•AC='立。=立，设三棱锥O-ABC内切球半径为r,

iz—/ioi,3Duu34]2

2&3

1/i3,—02x/2-x/6

由%YBC=：ST■得S取最大值+1)/时的厂=一^—。，此球的表面积为

32Q+M2

4/rr2=4%——a)2=(14-8与)兀a'>C正确:

2

对于D,在翻折过程中，当点。无限接近点8时，点D0也无限接近点8,而£为棱CO上的动点，E接近

于点。时，接近于0,D不正确.

故选：ABC

22.(2021♦广东广州高三月考)如图，矩形A3CZ)中，AB=2AD=2,E为边AB的中点，将犯沿QE翻

折成△AOE,若M为线段AC的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是(