黑龙江省龙东地区2021年中考数学真题（含答案）

黑龙江省龙东地区2021年初中毕业学业统一考试

数学试题

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.全卷共三道大题，总分120分

一、选择题（每题3分，满分30分）

1.下列运算中，计算正确的是（）

A.nr+nt'-l.m'B.（-2a）=-6优C.^a-by=a2-b2D.a+0=6

【答案】D

【解析】

【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项.

【详解】解：A、/与疝不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；

B、（-2fl2）3=-8«6,错误，故不符合题意；

C、（a-b^=a2-2ab+b2,错误，故不符合题意；

D、底:也=6,正确，故符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及

二次根式的除法是解题的关键.

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

C.

*

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项.

【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；

故选O.

【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的

关键.

3.如图是由5个小正方体组合成的几何体,则该几何体的主视图是（）

正面

“小

3

c-

D田

【答案】c

【解析】

【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项.

【详解】解：由题意得：

该几何体的主视图是

故选C.

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

4.一组数据：2,4,4,4,6,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项.

【详解】解：由题意得：

原中位数为4,原众数为4,原平均数为+4+;十4+0二4,原方差为

（2-4）+（4-4）~+（4-4）+（4-4）~+（6-4）g

S=——，

55

4+4—2+4+4+6

去掉一个数据4后的中位数为——=4,众数为4,平均数为：=4,方差为

24

（2—4）+（4-4）+（4—4）+（6—4）

S2=-----------------------------------------------=2；

4

统计量发生变化的是方差；

故选D.

【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的

关键.

5.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染

的人数是（）

A.14B.11C.10D.9

【答案】B

【解析】

【分析】设每轮传染中平均一个人传染了1个人，由题意可得l+x+x（l+x）=144,然后求解即可.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：

l+x+x（l+x）=144,

解得：再=11,々=-13（舍去），

故选B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.

+3

6.已知关于x的分式方程一^=1的解为非负数，则小的取值范围是（）

2x-l

A.m>-AB.•且加。-3C.m>-4D.m>-4且加。一3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解.

tri+3+4।

【详解】解：由关于X的分式方程一^=1可得：X=——，且

2x-\22

•••方程的解为非负数，

解得：/“2-4且加H-3,

故选B.

【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不

等式的解法是解题的关键.

7.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、

乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则

购买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【答案】A

【解析】

【分析】设购买甲种奖品为X件，乙种奖品为），件，由题意可得15x+10y=180,进而求解即可.

【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：

15x+10y=180,

•.•x>0,y>0,且x、y都为正整数，

.,.当x=2时,则y=15；

当x=4时，则y=12；

当x=6时，贝Uy=9；

当x=8时，则y=6；

当x=10时，则y=3；

购买方案有5种；

故选A.

【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AOLy轴，垂足为E,顶点A在第二象限，顶点3在y

轴正半轴上，反比例函数丁=!（火力0,》>0）的图象同时经过顶点。、D.若点C的横坐标为5,

x

3E=2DE，则人的值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】由题意易得A5=8C=C£>=AD=5,AD〃BC,则设DE=x,BE=2x,然后可由勾股定理得

（5-力2+4?=25,求解x,进而可得点C，，3则。（2,号+4）,最后根据反比例函数的性质可求解.

【详解】解：•••四边形ABC。是菱形，

AB=BC=CD=AD,AD//BC,

'：AD_Ly轴，

...NDEB=ZAEB=90。,

：.ZDEB=NCBO=90°,

•••点C的横坐标为5,

•••点C（5,《），AB=BC-CD=AD—5,

,/BE=2DE，

.•.设DE-x,BE-2x,则AE=5-x,

.•.在RfAAEB中，由勾股定理得：（5-x）2+4f=25,

解得：芭=2,电=。（舍去），

DE—2,BE—4,

.♦.点D（21+4）,

...2*[1+4卜左，

解得：攵=一40；

3

故选A.

【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何

的综合是解题的关键.

9.如图，平行四边形A3FC的对角线Ab、8C相交于点£点。为AC的中点，连接3。并延长，交FC

的延长线于点。，交A尸于点G,连接A。、OE,若平行四边形AB尸。的面积为48,则52比的面积为

（）

A.5.5B.5C.4D.3

【答案】c

【解析】

【分析】由题意易得AB=FC,AB//FC,进而可得OE//CF〃AB,OE=LcF=>AB,则有

22

OEGsBAG,然后根据相似比与面积比的关系可求解.

【详解】解：•••四边形A3FC是平行四边形，

AB=FC,AB//FC,AE=EF,S_/AizFLC=—2SrA\BDIFVC,

•••平行四边形ABFC的面积为48,

SAFC=~^ABFC=24>

•.•点。为AC中点，

OE//CF//AB,OE^-CF^-AB,

22

,OEGsBAG,AOEs：ACF,

.&_£生一丝」

•・AOE-^AFC-'~AG~^B~2,

：.EG=-AE,

3

AG^-AE,

3

•；_AOG和AAOE同高不同底，

2

SAOC=~^AOE=4，

故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似三角

形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键.

10.如图，在正方形A3CO中，对角线AC与30相交于点。，点E在的延长线上，连接。E，点尸

是。上的中点，连接O尸交8于点G,连接CF,若CE=4,OF=6.则下列结论：①G/=2；

②OD=COG；©tanZCD£=-:④NODF=NOCF=90°；⑤点D到CF的距离为延.其中正

25

确的结论是（）

D

A.①②③©B.①@④⑤C.①@③⑤D.①②④⑤

【答案】C

【解析】

［分析］由题意易得BC=CD,BO=OD=OA=OC/BDC=45°,/BCD=ZDCE=90°,①由三角形

中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意

可直接进行求解；⑤过点。作。交C尸的延长线于点H,然后根据三角函数可进行求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是正方形，

BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,ZBCD=ZDCE=90°,AC±BD,

•••点/是。E的中点，

/.OF=；BE,OF〃BE,

-：OF=6,CE=4,

:.BE=12,则CD=3C=8,

'：OF//BE,

:.△DGFS/\DCE,

DGGF1

••—―,

CDCE2

:.GF=2,故①正确；

点G是CD的中点，

OGVCD,

•：ZODC=45°,

...△OOC是等腰直角三角形，

：.OD=4iOG，故②正确；

VCF=4,CD=8,/DCE=90°,

CE1

/.tanZCDE=—=-,故③正确;

CD2

,/tanZ.CDE=—^1,

2

NCDE?45。,

ZODF^90°,故④错误；

过点。作交CF的延长线于点H,如图所示:

•.•点厂是C。的中点，

CF=DF,

：.ZCDE=ZDCF,

tanZ.CDE=tanZ.DCF=—,

2

设£>〃=x,则C77=2x,

22

在放△QHC中，X+4X=64，

解得：x=±—，

5

：.DH=必，故⑤正确；

5

正确的结论是①②③⑤；

故选C.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相

似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.

二、填空题（每题3分，满分30分）

11.截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二.将数据14.14万用科学记

数法表示为.

【答案】1.414xl05

【解析】

【分析】由题意易得14.14万=141400,然后根据科学记数法可进行求解.

【详解】解：由题意得：14.14万=141400,

...将数据14.14万用科学记数法表示为1.414x105；

故答案为1.414x1()5.

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键.

12.函数y=-L中，自变量x的取值范围是—.

x-2

【答案】x，2.

【解析】

【详解】试题分析：由已知：x-2-O,解得XH2；

考点：自变量的取值范围.

13.如图，在平行四边形A8CO中，对角线AC、BO相交于点。，在不添加任何辅助线的情况下，请你

添加一个条件,使平行四边形ABQD是矩形..

【答案】ZABC^90°

【解析】

【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案.

【详解】解：•.•四边形ABCO为平行四边形，

...当NABC=90°时，四边形ABC。为矩形.

故答案为：ZABC=90°.

【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键.

14.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球,

然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是

【答案】j

【解析】

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，再由概率公

式求解即可.

【详解】解：画树状图如图:

和

共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种,

•••两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为2,

59

9-

【点睛】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

2x—a>0

15.关于X的一元一次不等式组「有解，则。的取值范围是______.

3x-4<5

【答案】a<6

【解析】

【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解.

【详解】解：由关于x的一元一次不等式组l,自可得：一<x<3,

[3尤-4<52

•..不等式组有解，

解得：a<6；

故答案为a<6.

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

16.如图，在.。中，43是直径，弦AC的长为5cm,点。在圆上，且/4"=30。，则。的半径为

【答案】5cm

【解析】

【分析】连接8C,由题意易得N/WC=/M>C=30。，进而问题可求解.

【详解】解：连接3C,如图所示：

,/ZAZX?=30°,

ZABC=ZADC=30°,

；AB是直径,

ZACB=90°,

AC=5cm,

AB-2AC-10cm,

。的半径为5cm；

故答案为5cm.

【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形

的性质是解题的关键.

17.若一个圆锥的底面半径为1cm,它的侧面展开图的圆心角为90。，则这个圆锥的母线长为.cm.

【答案】4

【解析】

【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解.

【详解】解：设母线长为R，由题意得：

nnR

/=2兀r

780

c90-7TR

：.2乃=------

180

解得：R=4,

这个圆锥的母线长为4cm,

故答案为4.

【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长计算是解题的关键.

18.如图，在MAAQ3中，NAQ3=90°,Q4=4,03=6,以点。为圆心，3为半径的：。，与OB交

于点C,过点。作8，。3交A8于点。，点尸是边OA上的点，则PC+PD的最小值为.

【答案】2M

【解析】

【分析】延长CO,交1。于一点E,连接PE,由题意易得OC=3C=OE=3,ZBCD=Z4OB=90°,

则有BCD^BOA,CP=PE,然后可得8=2,PC+PD=PE+PD,要使PC+的值为最小,

即PE+PD的值为最小，进而可得当。、P、E三点共线时最小，最后求解即可.

【详解】解：延长CO,交（。于一点E,连接PE,如图所示：

■：OB=6,以点。为圆心，3为半径的。0,

OC=BC=OE=3,

VZAOB=90°,CDLOB,

ZBCD=ZAOB=90°,

：.CD//OA,CP=PE,

，，BCQsBOA,

.CD_BC

"~OA~'OB~2'

VOA=4,

CD=2,

'：CP=PE,

：.PC+PD=PE+PD,

则要使PC+PD的值为最小，即PE+PD的值为最小，

当。、P、E三点共线时最小，即PE+PD=DE，如图所示:

，在R2CE中，DE=y]CD2+CE2=2M，

APC+PD最小值为2加；

故答案为2A/16.

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟

练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

19.在矩形ABC。中，AB=2cm,将矩形438沿某直线折叠，使点3与点。重合，折痕与直线AD交

于点£,且止=3cm,则矩形ABCO的面积为cm2.

【答案】6+26或6-26

【解析】

【分析】根据题意可分当折痕与直线AO的交点落在线段AD上和4。外，然后根据折叠的性质及勾股定理

可求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形，

ZA=90。，

①当点E在线段AO上时，如图所示:

由折叠的性质可得/F=ZA-90°,AE=EF,AB=DF=2cm,

*.*DE=3cm,

在Rt^DFE中，EF=JDE”-DF。=辰m，

AO=4E+Z)E=(3+码cm,

S矩形ABCD~AB-AD=k+2石jcm-；

由轴对称的性质可得BE=DE=3cm,

...在中，AE=dBE?-AB?=非加,

：,AQ=OE-AE=(3-⑹cm,

S矩形ABCD~AD=(6-2>/5jcm2；

综上所述：矩形ABCO面积为(6+2占卜0?或(6—2百卜0?；

故答案为6+26或6—26.

【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及矩形的性

质是解题的关键.

20.如图，菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=1，延长CO至A，使。A=CO,以为一边，在

BC的延长线上作菱形ACCQI，连接A4,得到A4D41；再延长GA至右，使以A2a为

一边，在CC|的延长线上作菱形&CG3，连接44，得到AAQd……按此规律，得到A42O2O2O2O4）2I，

记AAD41的面积为51,AA|D]4的面积为$2……州020020204（）21的面积为S2021，则§2021=.-

【答案】24°38.6

【解析】

【分析】由题意易得NBCD=60°,AB=A。=CD=1,则有AADA,为等边三角形，同理可得^DtA2……

A4020ao2（/2021都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得Si=W，S2=百由此规

2,,4

律可得5„=V3-2-）然后问题可求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是菱形，

AAB=AD=CD=1,AD//BC,AB//CD,

•••ZABC=120°,

：.ZBC£>=60°,

AAD\=ZBCD=60°,

*/DAl=CD,

:.DA{=AD,

A4D4为等边三角形,

A

同理可得A4aA2……A42020020202021都为等边三角形，

过点8作8E_LC£）于点E,如图所示：

，BE=BC-sinNBCD=—，

2

Si=gADBE=*Ap2=与，

222

同理可得：S,=A-,Dt-x2=A/3>S3=x4=4-73>...;

/.由此规律可得：S,产®,

•.•5^1=6x22*2^-4=2的38.6；

故答案为2M8.6.

【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三

角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.

三、解答题（满分60分）

<2\2

21.先化简，再求值：a---十¥—,其中a=2cos600+l.

（a+lja'

【答案】—55

a2

【解析】

【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出”的值，再代入求解即可.

a2

【详解】解：原式=

a+\(a+l)(a-l)

a(a+l)(a-l)

X2

a+\a~

a一1

a

当a=2cos60°+l=2x」+l=2时,

2

a-12-1

原式=

22'

【点睛】本题主要考查分式的化简求值问题，掌握运算法则与顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个

顶点坐标分别为A（—l,3）,3（T,3）,0（0,0）.

（1）画出；ABO关于x轴对称的AAg。，并写出点A的坐标；

（2）画出，ABO绕点。顺时针旋转90°后得到的丫4与。，并写出点A?的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点儿所经过的路径长（结果保留万）.

【答案】（1）见解析，4（-1,一3）；（2）见解析，4（3,1）；（3）叵兀

2

【解析】

【分析】（1）分别作出点A、8关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点4的坐标；

（2）根据旋转性质分别作出点A、B绕点。旋转90。的点，然后依次连接，最后根据图象可得点A?的坐

标；

（3）由（2）可先根据勾股定理求出OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解.

【详解】解：(1)如图所示：44。即为所求,

•••由图象可得4(—1,—3)；

(2)如图所示：V&B?。即为所求，

由图象可得4(3,1)；

(3)由(2)的图象可得：点A旋转到点&所经过的路径为圆弧，

,*'OA-53?+F=V10,

点4旋转到点儿所经过的路径长为/=—=9。乂回兀=巫£

1801802

【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称

及弧长计算公式是解题的关键.

23.如图，抛物线、=。小+法+3(。70)与苫轴交于点4(1,0)和点5(—3,0),与y轴交于点C,连接BC,

与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点。.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点尸是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点。在射线EO上，若以点P、°、E为顶点的三角形与.JBOC

相似，请直接写出点P的坐标.

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)6(-1—0,2),£(—2,3)

【解析】

【分析】(1)根据抛物线y=ox2+6x+3(aWO)与x轴交于点A(1,0)和点8(-3,0),即可得到关于“、

方的方程，从而可以求得“、。的值，然后即可写出抛物线的解析式；

(2)根据(1)中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据30。是等腰直角三角形，得出VPQE是

等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解.

【详解】解：(1),抛物线丫=。炉+版+3(a#0)与x轴交于点A(1,0)和点8(-3,0),

a+b+3=0

9a—3。+3=0

此抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3

(2)当x=0时，y=3,所以，OB=OC=3,

是等腰直角三角形，

以点P、Q、E为顶点的三角形与_30C相似，

VPQE是等腰直角三角形，

b_?

设点P的坐标为(加，-m2-2加+3),抛物线的对称轴为直线x=——=------=—1,

2a一2x1

设3c的解析式为丁=依+〃，将8(-3,0),C(0,3)代入得，

—3k+«=0

Vf

〃=3

k=l

解得，\c，故BC的解析式为y=x+3,

把x=—l代入得，y=2,则E点坐标为(一1,2),

如图，当E为直角顶点时，—川—2根+3=2，解得，g=—1—V2,1nl=—1+V2(舍去)，把肛=—1—^2

代入得，一加2一2加+3=2,则尸点坐标为(—1一夜,2),

当。为直角顶点时，PQ=QE,即—m2一2m+3—2=-1—〃?，解得叫=-2,铀=0(舍去)，把叫=-2

代入得，一/一2m+3=3,则尸点坐标为(-2,3)；

当P为直角顶点时，作PMLE。于M,PM=ME,即—加一2m+3—2=-1一加，解得g=-2,，4=0(舍

去)，则P点坐标为(-2,3)；

综上，P点坐标为(-1-0,2)或(-2,3).

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟

练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程.

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛,

现随机抽取部分学生的成绩分成4、B、C.D、E五个等级进行统计,并绘制成如下两幅不完整的统计图,

请根据图中提供的信息，解答下列问题:

近法成密条三林L军/住一层二筑b至

DCDE

（1）本次调查中共抽取学生；

（2）补全条形统计图：

（3）在扇形统计图中，求8等级所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？

【答案】（1）100；（2）图见详解；（3）144°；（4）这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名.

【解析】

【分析】（1）根据统计图及题意可直接进行求解；

（2）由（1）及统计图可得C等级的人数为20名，然后可求出B等级的人数，进而问题可求解；

（3）根据题意可直接进行求解；

（4）由（2）可直接进行求解.

【详解】解：（1）由题意得：

264-26%=100（名），

故答案为100；

（2）由题意得:

C等级的人数为100X20%=20（名），B等级的人数为100-26-20-10-4=40（名），

则补全条形统计图如图所示：

360°x—=144°；

100

答：8等级所对应的扇形圆心角的度数为144。.

(4)由(2)及题意得：

1200x^.792-

答：这次竞赛成绩为A和8等级的学生共有792名.

【点睛】本题主要考查扇形统计及条形统计图，熟练掌握扇形统计及条形统计图是解题的关键.

25.已知A、B两地相距240km,一辆货车从A地前往8地，途中因装载货物停留一段时间.一辆轿车沿

同一条公路从8地前往A地，到达A地后(在A地停留时间不计)立即原路原速返回.如图是两车距8地

的距离》(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

<1)图中机的值是：轿车的速度是km/h；

(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式;

(3)直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km?

-66x+240(0<x<2.5)

27

【答案】(1)5；120；(2)y={75(2.5<x<3.5)；⑶ih或一h.

-50x4-250(3.5<x<5)

【解析】

【分析】(1)由图象可知轿车从8到A所用时间为2h,即可得出从A到B的时间，进而可得机的值，根据

速度=距离一时间即可得轿车速度；

(2)由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留lh,分1q<2.5；2.5<r<3.5；3.5q<5三个时间段，分别

利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；

(3)分两车相遇前和相遇后相距12km两种情况，分别列方程求出x的值即可得答案.

【详解】(1)由图象可知轿车从8到A所用时间为3-l=2h,

轿车从A到8的时间为2h,

/n=3+2=5，

•••A、B两地相距240km,

轿车速度=240+2=120km/h,

故答案为：5；120

(2)由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留lh,

①设yMN=制+伪(女尸0)(0<X<2.5)

•••图象过点M(0,240)和点N(2.5,75)

,瓦=240

[2,5^+4=75

=240

解得：1,s'

勺=-66

yMN=-66x+240(0<x<2.5)

②♦.•货车在2.5h〜3.5h时装载货物停留lh,

/.yNG=75(2.5<x<3.5),

③设YGH=k2x+h2(^k2^0)(3.5<x<5),

V图象过点G(3.5,75)和点"(5,0)

5k2+b2=0

—3.5左2+4=75

解得:[也1=.2550，

/.yGH=-50x+250(3.5<x<5),

66x+240(0<x<2.5)

y-'75(2.5<x<3.5).

-50x+250(3.5W5)

(3)设轿车出发动与货车相距12km，则货车出发(x+l)h,

①当两车相遇前相距12km时：-66(x+l)+240-120x=12,

27

解得：x=—

31

②当两车相遇后相距12km时：120x—[―66(x+1)+240]=12,

解得：Al,

27

答：轿车出发lh或—h与货车相距12km.

【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用,认真分析函数图象，读懂函数

图象表示的意义是解题关键.

26.在等腰△/1£石中，AE=DE，ZVLBC是直角三角形，NC43=9()°,ZABC=-ZAED,连接

2

SBD,点F是8。的中点，连接E/L

B

图①E

（1）当NE4Z>=45°,点5在边AE上时，如图①所示，求证：EF=gcD.

（2）当ZE4D=45°,把AABC绕点A逆时针旋转,顶点B落在边AD上时，如图②所示，当NEAD=60°,

点8在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段E尸和又有怎样的数量关系？请直接写出你的

猜想，不需证明.

【答案】（1）见详解；（2）图②中M=图③中=理由见详解.

22

【解析】

【分析】（I）由题意易得ZADE=ZEAD=45°,则有ZAED=90°，然后可得ZABC^45°,EF=-BD,

2

进而可得AO垂直平分8C,则C£>=BC,最后问题可求证；

（2）取CO的中点〃，连接A”、EH、FH,如图②，由题意易得EH〃BC,=。〃，则有EH垂直平分

AD,ZHFA^ZCBA=45°,进而可得/E”F=/EAF=45°,然后可得点A、E、F、”四点共圆，则根据圆

的基本性质可求解；如图③，取BC的中点G,连接GF并延长，使得GM=CQ,连接。M、EM、EG,AG,

则有四边形CGMD是平行四边形，DM=CG=AC,进而可得△AC£>四△£>/£,则有CD=EM,NEMD=NDCA,

然后可得AEMG是等边三角形，最后问题可求解.

【详解】（1）证明：•••AE=DE，NE4D=45°,

ZADE=NEW=45。，

ZA£D=90°,

•••点F是8□的中点，

EF=-BD,

2

ZABC=-ZAED,

2

，Z/WC=45。，

,rNOW=90。，

.••△ACB是等腰直角三角形，

NS4D=NCW=45°,

...40垂直平分BC,

J.CD^BD,

：.EF=-CD；

2

iA

（2）解：图②中M图③中E/=巴。0,理由如下:

22

图②：取CO的中点H,连接AH、EH、FH,如图②，

,:AE=DE，ZEAD=45°,

二ZADE=NE4£>=45°,

/.ZAED=90°,

■：ZABC=-ZAED,

2

NABC=45。，

•.•点F是BO的中点，

FH//BC,AH=DH'CD,

2

...EH垂直平分AC,ZHFA=ZCBA=45Q,

ZEHF=ZEAF=45°,

.,.点A、E、尸、”四点共圆，

VZHFA=ZEAF=45°,

：-AH=EF，

：.EF=-CD

2;

图③：如图③，取BC的中点G,连接GF并延长，使得GM=CL>,连接。w、EM、EG,AG,

,；AE=DE，440=60。，

ZVIOE是等边三角形，

ZA£D=ZADE=60°,

,/ZABC^-ZAED,

2

ZABC=30°,

•••NC4B=90°，

ACAD=30°,ZACB=60°,

ZAGB=9Q°,

•.AG=CG，

•.△AGC是等边三角形，

,.AC=CG,

•,点尸是BD的中点，

•.GM//CD,

•.四边形CGMD是平行四边形，

•.AC=CG=DM,CG//DM,ZGCD=ZDMG,

ZGDM^ZAGB=90°,

：.ZEDM=3Q°,

：.NCAD=ZMDE,

,/AD=DE，

：.AACD^ADME(SAS),

CD=EM,NEMD=NDCA,

：.ZACB+ZGCD=ZDMG+ZEMG,

ZACB=ZEMG=60°,

...△EMG是等边三角形，

:点F是80的中点，

BF=DF,

•：BC//DM,

Z.GBF=ZMDF,

,/NGFB=NMFD,

：.GFB^MFD(ASA),

：.GF=MF,

：.EF1GM,

•••EF=EM-sinNEMG=—EM=—CD.

22

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函数、

圆的基本性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函

数、圆的基本性质是解题的关键.

27.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔

资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机

具和3件乙种农机具共需3万元.

(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元,

设购进甲种农机具机件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

(3)在(2)的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机

具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具(可以只购买一种),

请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

【答案】（1）购进I件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一:

购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲

种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农

机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙

种农机具7件

【解析】

【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一

次方程组求解即可；

（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于“的一元一次不等式组，求解即可得到，〃的范围，从而根

据实际意义确定出机的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；

（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合

实际意义进行求解即可.

【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元.

2x+y=3.5

根据题意，得《

、x+3y=3

x=1.5

解得:

j=0.5

答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元.

1.5m+0.5(10—m)>9.8

（2）根据题意,

1.5/77+0.5(10-m)<12

解得：4.8<m<7,

•加为整数，

可取5、6,7,

有三种方案：

方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件;

方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件;

方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件.

设总资金为W万元，则W=1.5m+0.5(10-m)=m+5,

Z=1>0,

...W随机的增大而增大,

...当〃2=5时，吸小=5+5=10(万元)，

...方案一需要资金最少，最少资金是10万元.

(3)由(2)可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，

根据题意，此时，节省的费用为5x0.7+5x0.2=4.5(万元)，

降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，

设节省的资金可购买。台甲种，b台乙种，

则:0.8a+0.34=4.5,

由题意，a,人均为非负整数，

a—0fa=3

•••满足条件的解为：/或<一,

b=l5[Z?=7

.•.节省的资金再次购买农机具的方案有两种：

方案一：购买甲种农机具。件，乙种农机具15件；

方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件.

【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一

次函数的性质是解题关键.

28.如图，在平面直角坐标系中，AAOB的边OA在X轴上，Q4=AB,且线段OA的长是方程

4

了2一4%一5=0的根，过点8作轴，垂足为E，tan/BAE=—,动点〃