湖北省鄂州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

湖北省鄂州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答

题

一.分式的化简求值（共3小题）

21

I.（2022•鄂州）先化简，再求值：招其中“=3.

a+1a+1

22

2.（2021•鄂州）先化简，再求值：2二9一"甘"+9,其中x=2.

X-lX-1X

22

3.（2020•鄂州）先化简x-4x+4+x-2x+’,再从-2.-1,0,1,2中选一个合适

2

x_|x+lX-l

的数作为X的值代入求值.

二.根与系数的关系（共1小题）

4.（2020•鄂州）已知关于x的方程f-4x+Z+l=0有两实数根.

（1）求女的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为川、X2,且丑-+旦=制m-4,求实数k的值.

X1x2

三.函数的图象（共1小题）

5.（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑

步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的

距离》（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：

（1）小明家离体育场的距离为h”，小明跑步的平均速度为km/min-.

（2）当15<xW45时，请直接写出y关于x的函数表达式；

（3）当小明离家2k"时，求他离开家所用的时间.

6.（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和

与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并

解决问题.

猜想发现

由5+5=2j5X5=10；工+工=2上义工=2；O.4+O.4=2A/0.4义0.4=0.8;1+5>

33V3335

2Gx5=2;0.2+3.2>2。0.2又3.2=L6;1+-1>2^1><AU..

猜想：如果Q0,b>0,那么存在“+622后（当且仅当时等号成立）.

猜想证明

-Vb）2^0,

，①当且仅当4-«=0,即a=b时，a-2Vab+/>=0,/.«+/>=2Vab；

②当VI-«W0，即6时，a-2V^b+fe>0,：.a+b>2-^>-

综合上述可得：若a>0,b>0,则成立（当且仅当a=b时等号成立）.

猜想运用

对于函数尸x+工（x>0）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

x

变式探究

对于函数y='+x（x>3）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

x-3

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处，检测人员利用

检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房,

如图.设每间隔离房的面积为S（米2）.问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每

间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

墙

五.二次函数的应用（共2小题）

7.（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种

植业，每亩土地每年发放种植补贴120元.张远村老张计划明年承租部分土地种植某种

经济作物.考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）

之间满足一次函数关系，且当x=160时，y=840；当x=190时，y=960.

（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩.若老张明年销售该作物

每亩的销售额能达到2160元,当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？

最大利润是多少？

（每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本+每亩种植补贴）

8.（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查

发现，该商品每周的销售量y（件）与售价尤（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数

关系，下表记录的是某三周的有关数据：

X（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的

销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少

元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机

构捐赠，”元捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大

而增大.请直接写出机的取值范围.

六.二次函数综合题（共3小题）

9.（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=a?（a>0）型抛物线图象.发

现：如图1所示，该类型图象上任意一点”到定点产（0,-L）的距离始终等于

4a

它到定直线/：y=-工的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦

4a

点，定直线/为图象的准线，y=-工叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中

4a

点，FH=2OF=L

2a

例如：抛物线y=M,其焦点坐标为尸（0,1），准线方程为/：>=-1.其中MF=

222

MN,FH=2OH=\.

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线旷=）的焦点坐标和准线/的方程：,.

【技能训练】

（2）如图2所示，已知抛物线上一点P到准线/的距离为6,求点尸的坐标；

8

【能力提升】

（3）如图3所示，已知过抛物线（a>0）的焦点尸的直线依次交抛物线及准线/

于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

【拓展升华】

（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：

点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段

C8的比例中项，即满足：AC=BC=VEZ1.后人把近二1这个数称为“黄金分割”数,

ABAC22

把点C称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线丫二12的焦点尸（0,1）,准线/与y轴交于点H（0,-1）,E为

4

线段，尸的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当患=加时，请直接写出

2

AB的中点，点。是线段OA上一动点（不与点。、A重合）.

（1）请直接写出点A、点8、点P的坐标；

（2）连接尸。，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ,点。的对应点为点E.若

ZOQE=90°,求线段AQ的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线丫=0?-2“2》+“3+4+1（aro）的顶点为点C.

①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C,使ICQ-CE）最大？若存在，请直接写出点C的坐

标；若不存在，请说明理由.

备用图1备用图2

11.（2020•鄂州）如图，抛物线），=工7+笈+。与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），

2

与y轴交于点C.直线丫=工-2经过5、C两点.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于

点。、M.PNLBC,垂足为N.设M（.m,0）.

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三

点重合除外）.请直接写出符合条件的机的值；

②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时,是否存在一点P,使与△AOC相似.若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（第24题图）（备用图）

七.三角形综合题（共1小题）

12.（2022•鄂州）如图1,在平面直角坐标系中，的直角边OA在y轴的正半轴上,

且。4=6,斜边08=10,点尸为线段A8上一动点.

（1）请直接写出点5的坐标；

（2）若动点尸满足/POB=45°,求此时点P的坐标；

（3）如图2,若点E为线段的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将△APE折

叠，点A的对应点为A',当用‘时，求此时点P的坐标；

（4）如图3,若F为线段AO上一点，且AF=2,连接尸尸，将线段F尸绕点F顺时针方

向旋转60°得线段FG,连接OG,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时

线段EP扫过的面积.

13.(2020•鄂州)如图，在平行四边形ABCC中，对角线AC与BQ交于点。，点M,N分

别为OA、OC的中点，延长8M至点E,使连接。£

(1)求证：AAMB当ACND；

(2)若BD=2AB,且AB=5,DN=4,求四边形OEMN的面积.

九.矩形的性质(共1小题)

14.(2022•鄂州)如图，在矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，S.ZCDF=ZBDC,

ZDCF=ZACD.

(1)求证：DF=CF；

(2)若/COQ-GO。，DF=6,求矩形ABC。的面积.

一十.直线与圆的位置关系(共1小题)

15.(2022•鄂州)如图，△ABC内接于。0,P是。。的直径A8延长线上一点，NPCB=

ZOAC,过点。作BC的平行线交PC的延长线于点D

(1)试判断PC与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若PC=4,tanA="l,求△OC£)的面积.

2

一十一.切线的性质(共1小题)

16.(2021•鄂州)如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,。为BC边上一点，以。为圆心,

08长为半径的。。与AC边相切于点。，交BC于点E.

(1)求证：AB=AD；

(2)连接。E,若tan/EDC=_l,DE=2,求线段EC的长.

17.(2020•鄂州)如图所示：00与AABC的边BC相切于点C,与AC、AB分别交于点£＞、

E,DE//OB.QC是OO的直径.连接OE,过C作CG〃OE交。0于G,连接。G、EC,

DG与EC交于点、F.

(1)求证：直线48与O。相切；

(2)求证：AE-ED=AC'EF；

(3)若EF=3,tan/ACE=」时，过A作4N〃CE交。。于M、N两点(例在线段AN

2

上)，求AN的长.

B

„X_G/

。O

M

N

一十三.相似三角形的判定与性质（共1小题）

18.（2021•鄂州）如图，在口ABC。中，点E、F分别在边A。、BC上，且NABE=NC£）F.

（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；

（2）连接AC,分别交BE、DF于点G、H,连接BQ交AC于点O.若幽=2,AE=4,

0G3

求8c的长.

一十四.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）

19.（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月

19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看

见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为

30°.若斜坡C尸的坡比=1：3,铅垂高度DG=30米（点E、G、C、8在同一水平线

上）.求：

（1）两位市民甲、乙之间的距离C。；

（2）此时飞机的高度48.（结果保留根号）

20.（2020•鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,

一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线

AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸。处的俯角为30°.线段AM的长

为无人机距地面的铅直高度，点M、C、力在同一条直线上.其中tana=2,MC=50^3

米.

（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）

（2）求河流的宽度CZX（结果精确到1米，参考数据：V2^1.41,A/3^1.73）

一十五.解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）

21.（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出

发，途经B地去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号

发射塔P.他由A地沿正东方向骑行到达8地，此时发现信号塔P在他的北偏

东15°方向，然后他由8地沿北偏东75°方向骑行到达C地.

（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；

（2）求C地与信号发射塔P之间的距离.（计算结果保留根号）

一十六.列表法与树状图法（共3小题）

22.（2022•鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强

国有我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数）,

按成绩划分为A、B、C、。四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：

（1）表中“=，C等级对应的圆心角度数为；

（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为

A等级的学生共有多少人？

（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T”T2,仆，从其中随机

抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到刀，小的概率.

等级成绩X/分人数

A90WxW10015

B80Wx<90a

C70«8018

Dx<707

23.（2021•鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”

党史知识竞赛活动.胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统

计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个

等级：基本合格（60Wx<70）、合格（70Wx<80）、良好（80Wx<90）、优秀（90Wx<

100）,制作了如下统计图（部分信息未给出）：

所抽取的成绩的条形统计图所抽取的成绩的扇形统计图

2『数"Ro（、

¥^基聚）

6（TTO8090U）0

根据图中提供的信息解决下列问题：

（1）胡老师共抽取了名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”

等级对应的扇形圆心角度数为，请补全条形统计图.

（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活

动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率.

24.（2020♦鄂州）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生

居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）.如图是根据调查结果绘制的

统计图表.请你根据图表中的信息完成下列问题：

频数分布表

学习时间分组频数频率

A组（0«1）9tn

B组（1«2）180.3

C组（2WxV3）180.3

。组(3Wx<4)n0.2

E组（4«5）30.05

(1)频数分布表中机=,〃=,并将频数分布直方图补充完整；

(2)若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调

查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

(3)已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了

解学生居家学习情况.请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率.

参考答案与试题解析

一.分式的化简求值（共3小题）

21

I.（2022•鄂州）先化简，再求值：自一-工，其中〃=3.

a+1a+1

21

【解答】解：上-

a+1a+1

a+1

=(a+1)(aT)

a+1

=。-1,

当a=3时，原式=3-1=2.

22

2.(2021•鄂州)先化简，再求值：X-94-X+3X+1,其中X=2.

X-1X~1X

【解答】解：原式=(x-3)(x+3)*厂1屋=坦,

x-lx(x+3)xx

当％=2时，原式=3.

2

22

3.(2020•鄂州)先化简？-纽4+2二2:+。,再从-2.-1,0,1,2中选一个合适

2

x_|x+1x-l

的数作为X的值代入求值.

29

【解答】解：X-4x+4+x-2x+」_

2

x-lx+1X-l

=(x-2)2.x+11

(x+1)(x-l)x(x-2)+x-l

x~21

X(x-l)X-l

=x-2+x

X(x-l)

=2(xT)

X(x-l)

_2

X

,・3=0,1,-1,2时，原分式无意义，

.*.%=-2,

当x=-2时，原式=_?_=-1.

-2

二.根与系数的关系(共1小题)

4.(2020•鄂州)已知关于x的方程W-4x+k+l=0有两实数根.

(1)求左的取值范围;

(2)设方程两实数根分别为xi、初，且旦+2=川及-4,求实数k的值.

X1x2

【解答】解：(1)A=16-4(Z+1)=16-4k-4=12-4Z\0,

：.k^3.

(2)由题意可知：XI+X2=4,x[X2=k+lf

•.♦W-4^-=XlX2-4,

X1x2

3(x1+x)

-------：-----2-...—x\X2-4,

xlx2

•3X4

*k+1=k+l-4'

.,.k=5或2-3,

由(1)可知：k=5舍去,

:.k=-3.

三.函数的图象(共1小题)

5.(2022•鄂州)在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑

步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的

距离y(km)与他所用的时间x(min)的关系如图所示：

(1)小明家离体育场的距离为2.5km,小明跑步的平均速度为l_km/min；

-6-

(2)当15WxW45时，请直接写出了关于x的函数表达式；

(3)当小明离家2&机时，求他离开家所用的时间.

【解答】解：(1)小明家离体育场的距离为25初?，小明跑步的平均速度为2加〃;

156

故答案为：2.5,1；

6

(2)如图,B(30,2.5),C(45,1.5),

设3c的解析式为：y=kx^b,

则（30k+b=2.5,

\45k+b=l.5

fk」

解得:15,

b=4.5

...8C的解析式为：y=-J^r+4.5,

15

，2.5（15<x<30）

・,•当15<x<45时，y关于x的函数表达式为：y=\\；

-^x+4.5（30<x<45）

lb

（3）当y=2时，-工叶4.5=2,

15

•r=75

2

2二工=12,

,6

当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12〃位?或工5女加.

2

四.反比例函数综合题（共1小题）

6.（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和

与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并

解决问题.

猜想发现

由5+5=2=5X5=10；l+l=2jlx—=—：0.4+0.4=2优.4*0.4=081+5>

33V3335

=2；0.2+3.2>2VO.2X3.2=1.6；

猜想：如果a>0,b>0,那么存在“+b22后（当且仅当4=6时等号成立）.

猜想证明

V（VI-Vb）2>0,

①当且仅当4-«=0,即a=6时，a-2Vab+^=0>.*.a+Z?=2Vab；

②当VI-«W0，即时，a-2-f^>+b>0,：.a+b>2^fab.

综合上述可得：若。>0,〃>0,则成立（当且仅当〃=人时等号成立）.

猜想运用

对于函数丁=1+工（£>0）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

x

变式探究

对于函数y='+x（x>3）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

x-3

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处，检测人员利用

检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，

如图.设每间隔离房的面积为S（米2）.问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每

间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

-n--------------------------墙

【解答】解：

猜想运用：・・”>0,

xVx

・・・代2,

•••当x=」■•时，y加〃=2,

x

此时7=1,

只取x=L

即x=l时，函数y的最小值为2.

变式探究：

Vx>3,

Ax-3>0,

■=I+(x-3)+3>•(x-3)+325,

x-3x-3Vx-3

•••当---=x-3时，加而=5，

x-3

此时(X-3)2=1,

Axi=4,X2=2(舍去)

即x=4时，函数y的最小值为5.

拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得：9/+12y

=63,

即：3x+4y=21,

V3x>0,4y>0

3x+4y22丫3x•4y,

即：2122412xy,

整理得：xy^l^L,

16

即：swML,

16

当3x=4y时e以里•

max]6

此时X=—,

2-8

即每间隔离房长为工米，宽为21米时，s的最大值为也.

2816

五.二次函数的应用（共2小题）

7.（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种

植业，每亩土地每年发放种植补贴120元.张远村老张计划明年承租部分土地种植某种

经济作物.考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）

之间满足一次函数关系，且当x=160时，y=840；当x=190时，y=960.

（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩.若老张明年销售该作物

每亩的销售额能达到2160元,当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？

最大利润是多少？

（每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本+每亩种植补贴）

【解答】解：⑴设y与x之间的函数关系式尸质+b（H0）,

依题意得：[840=160k+b,

解得：0=4,

lb=200

与x之间的函数关系式为y=4x+200；

（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，

依题意得：IV=[216O-（4x+200）+120]x=-4?+2080x=-4（x-260）2+270400,

：-4<0,

...当xV260时，W随x的增大而增大，

由题意知：xW240,

.,.当x=240时,W最大，最大值为-4（240-260）2+270400=268800（元），

答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元.

8.（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查

发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数

关系，下表记录的是某三周的有关数据：

X（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的

销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少

元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机

构捐赠加元（1W/»W6）,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大

而增大.请直接写出，〃的取值范围.

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：丫="+6

把x=4,y=10000x=5,y=9500代入得，

f4k+b=10000；

I5k+b=9500

解得，尸500,

lb=12000

；.y=-500X+12000；

（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该

商品的销售量不少于6000件，”得，

'x〉3

,x<15,

-500x+12000>600C

解得，3WxW12,

设利润为w元，根据题意得，

w=(X-3)y=(X-3)(-500x+12000)=-500?+13500A:-36000=-500Cx-13.5)

2+55125,

V-500<0,

二当x<13.5时，w随x的增大而增大，

；3WxW12,且x为正整数

.•.当x=12时，卬取最大值为：-500X(12-13.5)2+55125=54000,

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；

(3)根据题意得，vv=(%-3-w)(-500x+12000)=-500?+(13500+500，〃)x-36000

-12000m,

.♦.对称轴为x=-13500+50Om=i3.5+o.5m,

-1000

V-500<0,

.•.当x<13.5+05〃时，w随x的增大而增大，

•••该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利

润仍随售价的增大而增大.

又为整数，

.,.对称轴在x=14.5的右侧时，当xW15(x为整数)时，w都随x的增大而增大，

/.14.5<13.5+0.5m,解得m>2,

.•・2<相〈6.

六.二次函数综合题(共3小题)

9.(2022•鄂州)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究':以2^>。)型抛物线图象.发

现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点尸(0,A)的距离MF,始终等于

4a

它到定直线/：y=-工的距离MN(该结论不需要证明)，他们称：定点F为图象的焦

4a

点，定直线/为图象的准线，y=-叫做抛物线的准线方程.其中原点。为FH的中

4a

点，FH=2OF=-L.

2a

例如：抛物线y=M,其焦点坐标为F(0,1),准线方程为/：y=-l.其中

222

MN,FH=2OH=\.

【基研I训练】

(1)请分别直接写出抛物线y=2?的焦点坐标和准线/的方程：(0.1),y=

-1

一8一

【技能训练】

(2)如图2所示，已知抛物线上一点尸到准线/的距离为6,求点P的坐标；

8

【能力提升】

(3)如图3所示，已知过抛物线y=/(a>0)的焦点尸的直线依次交抛物线及准线/

于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

【拓展升华】

(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：

点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段4c是全线段AB与另一段

CB的比例中项，即满足：组=区=近二1.后人把运二1这个数称为“黄金分割”数，

ABAC22

把点C称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线y=M的焦点F(0,1),准线/与y轴交于点H(0，-1),E为

4

线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当迎=&时，请直接写出

MF

的面积值.

【解答】解：⑴'：a=2,

•••—1-1,

4a8

故答案为：(0,工)，y=-X

88

(2)

8

...准线为：y=-2,

.•.点P的纵坐标为：4,

—2=4,

8xX

.'.x—±4,\f2,

：.P(4&,2)或(-472，2)；

(3)如图，

作AG_L/于G,作BKJJ于K,

：.AG=AF=4,BK=BF,

2a

'：BK//FH//AG,

：.△CBKs△CFH,△CBKs△CAG,

•BKBCBKBC

・•丽WAG'AC"

=2BF2BF

JL3BFTT=3BF+4,

2a

4

(4)设点M(m,L?),

4

.普亚

.MH2T

222

m+4m+l)

.,./加=-2,/H2—2(舍去)，

:.M（-2,1）,

YE为线段HF的黄金分割点，

：.EH=y^~1FH^A/5-1或EH=2-（V5-1）=3-代，

=

当£7/=代_I时，SAHME=yEH-|xH|yX2X（遥-1）=«-1，

当EH=3-代时，SWME=3-疾,

二/XHME的面积是依-1或3-遥.

10.（2021•鄂州）如图，直线y=-m+6与x轴交于点8,与y轴交于点A,点P为线段

2

AB的中点，点Q是线段。4上一动点（不与点。、A重合）.

（1）请直接写出点4、点2、点尸的坐标；

（2）连接PQ,在第一象限内将△OP。沿PQ翻折得到△EPQ,点O的对应点为点E.若

NOQE=90°,求线段4Q的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线丫=0?-2/》+。3+。+1（40）的顶点为点C.

①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C,使|CQ-CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐

标；若不存在，请说明理由.

.•.点A(0,6),点3(4,0),

；点P是线段AB中点，

.•.点P(2,3)；

(2)过点P作PFLOA于F,

・・,将△。尸。沿P。翻折得到△EPQ,NOQE=90°,

AZOQP=1-ZOQE=45O,OQ=QE,

2

:.QF=PF,

•・,点户(2,3),

：.QF=PF=2fOF=3,

:.0Q=5,

•1点A(0,6),

：.AO=6f

.'.AQ=6-5=1,

即AQ的长为1；

顶点C的坐标为(a,a+1),

••.点C是直线y=x+l(xWO)上一点，

VZOQE=90°,0Q=5,

当y=5时，x=4,

又：点P(2,3)在直线y=x+l上，

当点C在aPOE内部(不含边)时，”的取值范围是2VaV4；

②存在点C使|CQ-CE|最大，

理由如下：V0Q=QE=5,NOQE=90°,

.,.点E（5,5）,

如图3,作点E关于直线y=x+l的对称点E（4,6）,连接QE交直线y=x+l于点C,

此时|CQ-CE|最大，

图3

设直线QC的解析式为y=fcv+5,

；.6=4k+5,

直线QC的解析式为y=1+5,

4

'y=x+l

联立方程组可得［1,

yqx+5

解得：，

；•点C坐标为（工殳，」良）.

33

11.（2020•鄂州）如图，抛物线y=_1K+fex+c与x轴交于A、8两点（点A在点B左边）,

与y轴交于点C.直线y=1-2经过8、C两点.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于

点。、M.PN±BC,垂足为N.设M（m,0）.

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三

点重合除外）.请直接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时,是否存在一点P,使△PNC与△AOC相似.若

存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(第24题图)(备用图)

【解答】解：(1)针对于直线了=阻-2,

令x=0,则y=-2,

：.C(0,-2),

令y=0,则0=1-2,

2

**«x—4,

：.B(4,0),

将点B,C坐标代入抛物线y="+fev+c中，得卜=-2,

218+4b+c=0

3

.b=F

c=-2

抛物线的解析式为y=Xx1--1r-2；

(2)①轴，M(m,0),

2

.,.P(/M,—m--2),D(in,Am-2),

222

:P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，

二I、当点。是PM的中点时，-1(0+X?/2-1m-2)=lm-2,

2222

，机=1或m=4(止匕时点£),M,P三点重合，舍去)，

2

H、当点P是。M的中点时，A(0+Aw-2)=Xn

2222

-上或，w=4(此时点£>,M,P三点重合，舍去),

2

Ilk当点M是£＞尸的中点时，A(XH2--2+lm-2)=0,

2222

・•・/%=-2或m=4(此时点。，M,P三点重合，舍去),

即满足条件的m的值为-1或1或-2；

2

②存在，

由(1)知，抛物线的解析式为y=y-寺-2,

令y=0,则0=工？-当-2,

22

-1或x=4,

・,•点A(-1,0),

：.OA=\,

,:B(4,0),C(0,-2),

：・OB=4,OC=2,

・0A0C

•・记而

VZAOC=ZCOB=90°,

・•・△AOCsMOB,

：.ZOAC=ZOCB,ZACO=ZOBC,

*/△尸NC与△A。。相似，

・•・I、当△PNCs&oc,

:./PCN=ZACO,

:./PCN=/OBC,

:.CP〃OB,

・・.点。的纵坐标为-2,

.•.L/--2=-2,

22

，m=0(舍)或tn=3,

：.P(3,-2)；

n、当△PVCSACOA时，

:・/PCN=NCAO,

：・/OCB=/PCD,

*：PD//OC,

：.ZOCB=ZCDP,

：.ZPCD=ZPDCf

:.PC=PD,

由①知，PGn,—m2--2）,D（加，-m-2）,

222

VC（0,-2）,

PD=2m--1-w2,PC=yJm2+（ym2-|m-2+2）2m2+（ym2-ym）2,

2"'--|^2=^m2+（ym2-ym）2'

：.m=—^,m=0（舍），

2

:.p（2,-丝）.

28

即满足条件的点尸的坐标为（3,-2）或（3,-25）.

28

七.三角形综合题（共1小题）

12.（2022•鄂州）如图1,在平面直角坐标系中，RtZiOAB的直角边。4在y轴的正半轴上,

且。4=6,斜边08=10,点P为线段A8上一动点.

（1）请直接写出点B的坐标；

（2）若动点P满足/POB=45°,求此时点P的坐标；

（3）如图2,若点E为线段08的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将4426折

叠，点A的对应点为A',当啊'_LOB时，求此时点P的坐标；

（4）如图3,若广为线段A0上一点，且4尸=2,连接“，将线段尸P绕点尸顺时针方

向旋转60°得线段FG,连接0G,当0G取最小值时;请直接写出0G的最小值和此时

线段扫过的面积.

【解答】解：(1)如