【数学】习题课 空间向量研究线、面角问题课件-2023-2024学年高二上人教A版2019选择性必修第一册

空间向量研究线、面角问题习题课21.理解线、面角的向量求解方法，能用空间向量方法求解线、面角.目标一：理解线、面角的向量求解方法，能用空间向量方法求解线、面角.任务1：复习线面角的向量表示，用空间向量判定证明线面平行.如何用向量求解空间中的异面直线角问题？归纳总结异面直线所成角向量求法：若异面直线l1,l2所成的角为θ，其方向向量分别为u,v则

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）.A.B.C.D.法1：如图,以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建系，则，所以.因为,所以直线AD1与DB1所成角的余弦值为，选C.C法2：由长方体的性质得DA，DC，DD1两两垂直，因为AB=BC=1，AA1=,所以DA=DC=1，DD1=.因为,所以,,,所以所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.任务2：复习线面角的向量求法，用空间向量求线面角.归纳总结直线与平面所成角的一般表达式：,其中，u为直线的方向向量，n为平面的法向量.A

BCnuθ如何用向量求解空间中的线面角问题？

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.(1)证明：AB⊥PM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.(1)在△DCM中，DC=1，CM=2，∠DCM=60°，由余弦定理可得，所以，所以DM⊥DC．由题意知且，所以DC⊥平面PDM，而PM⊂平面PDM，所以DC⊥PM，又AB∥DC，所以AB⊥PM．(2)由PM⊥MD，AB⊥PM，而AB与MD相交，所以PM⊥平面ABCD，由余弦定理可得，所以，取AD中点E，连接ME，则ME，DM，PM两两垂直.以M点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则,.又N为PC中点，所以.由(1)得DC⊥平面PDM，所以平面PDM的一个法向量，从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为．任务3：复习面面角的向量求法，用空间向量求面面角.αβn1n2面面角：若平面α,β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=，QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．解：(1)取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QA=QD，OA=OD，则QO⊥AD，而AD=2，QA=，故QO=.O在正方形ABCD中，因为AD=2，故DO=1，故CO=，因为QC=3，故QC2=QO2=OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC，因为OC∩AD=O，故QO⊥平面ABCD，因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.(2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.T设平面QBD的法向量，则，即，取x=1，则，故.而平面QAD的法向量为，故.二面角B-QD-A的平面角为锐角，故其余弦值