湖南省衡阳市八中学2022年中考数学模试卷含解析

湖南省衡阳市八中学2022年中考数学模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知4E与48的夹角为48。，若CF与E户的长度相等，则NC

的度数为（）

A.48°B.40°C.30°D.24°

2.观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.B.LUD.0

3.如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块

拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）

4.第四届济南国际旅游节期间，全市共接待游客686000人次.将686000用科学记数法表示为（）

A.686x104B.68.6xl05C.6.86xl06D.6.86x10s

5.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P,若SAAPB=L则b与c满足的关系是（）

A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=0

6.如图所示是放置在正方形网格中的一个AABC，则幻〃Z/WC的值为（）

7.已知平面内不同的两点A（a+2,4）和5（3,2«+2）到x轴的距离相等，则a的值为（）

A.-3B.-5C.1或-3D.1或-5

8.如图，在边长为6的菱形ABC。中,=60°，以点。为圆心，菱形的高。/为半径画弧，交AO于点E,交C£）于

点G,则图中阴影部分的面积是（）

94

A.18—3万B.18君一9万C.9丁3一万D.186—3万

9.方程（m-2）x2+3mx+l=0是关于x的一元二次方程，则（）

A.m#2B.m=2C.m=-2D.m#2

10.目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004孙将0.00000004用科学记数法表示为（）

A.0.4xl08B.4x108C.4x108D.-4xl08

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.函数>的定义域是.

12.如图，在CJABCD中，AC与BD交于点M,点F在AD上，AF=6cm,BF=12cm,ZFBM=ZCBM,点E是

BC的中点，若点P以km/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB

向点B运动.点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动.当点P运动秒时，以点P、Q、E、F为顶点

的四边形是平行四边形.

13.甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示,则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为*（填“>”

或"V”)

14.不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取

出1个球，则它是黑球的概率是.

15.在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果江=挺，那么点C叫做线段AB的黄

ABAC

金分割点.若点P是线段MN的黄金分割点，当MN=1时，PM的长是.

16.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9,那么阴影部分的面积为.

39

17.如图，AB,AC分别为。。的内接正六边形，内接正方形的一边，是圆内接"边形的一边，则〃等于

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现

这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.

（1）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获

利润最大？

19.（5分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件，

B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.

（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于

7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）间的各种进货方案中，哪一

种方案获利最大？最大利润是多少元？

20.（8分）综合与探究

如图1,平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+3与x轴分别交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C,点

D是y轴负半轴上一点，直线BD与抛物线y=ax2+bx+3在第三象限交于点E(-4,y)点F是抛物线y=ax2+bx+3

上的一点，且点F在直线BE上方，将点F沿平行于x轴的直线向右平移m个单位长度后恰好落在直线BE上的点

G处.

(1)求抛物线y=ax2+bx+3的表达式，并求点E的坐标；

(2)设点F的横坐标为x(-4<x<4),解决下列问题：

①当点G与点D重合时，求平移距离m的值；

②用含x的式子表示平移距离m,并求m的最大值；

(3)如图2,过点F作x轴的垂线FP,交直线BE于点P,垂足为F,连接FD.是否存在点F,使白FDP与AFDG

的面积比为1：2?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由.

21.(10分)某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的“创文活动”为了了解该校志愿者参

与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查.根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图.条形统计图中七

年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分

数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比.

请补全条形统计图；若该校共有志愿

者600人，则该校九年级大约有多少志愿者?

22.(10分)已知：如图，AB=AC,点。是8c的中点，48平分NOAE,AELBE,垂足为E.

求证：AD=AE.

23.（12分）如图1,三个正方形ABCD、AEMN、CEFG,其中顶点D、C、G在同一条直线上，点E是BC边上的

动点，连结AC、AM.

（1）求证：AACMs/iABE.

（2）如图2,连结BD、DM、MF、BF,求证：四边形BFMD是平行四边形.

24.（14分）在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的

测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶

部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的

高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.

讣A、

BCD

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

解：'JAB//CD,.*.N1=N3AE=48°.VCF=EF,：.ZC=ZE.VZ1=ZC+ZE,/.ZC=-Zl=-x48°=24°.故选D.

22-

点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直

线平行，内错角相等.

2、C

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故本选项正确；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3、A

【解析】

根据这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长一边长为2b的小正方形的边长+边长为2b的小正方形的边长的

2倍代入数据即可.

【详解】

依题意有：3a-26+28x2=3。-2b+4b=3a+2b.

故这块矩形较长的边长为3a+25.故选A.

【点睛】

本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键.

4、D

【解析】

根据科学记数法的表示形式（axion,其中iqa|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了

多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数）可

得：

686000=6.86x105,

故选：D.

5、D

【解析】

抛物线的顶点坐标为P（-丁丝/-），设A、B两点的坐标为A（司，0）、B（々，0）则AB=|%—司，根据

根与系数的关系把AB的长度用b,c表示，而SAAPB=1,然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.

【详解】

解：V+x2=-Z?,x（x2=

:.AB=|xj-x2|=+/）~-4中2=J。?-4ac，

•:若SAAPB=1

/.SAAPB=-xABxI=1,

24

1rj——4c-/?12,

24

，一gxJ加-4cxb14c=J,

-4ac）Ji?-4ac=8,

设\/b2-4ac=s,

则/=8，

故s=2,

yjb2-4c=2,

•••〃-4c—4=0.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与X轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性

比较强.

6、D

【解析】

首先过点A向CB引垂线，与CB交于D,表示出BD、AD的长，根据正切的计算公式可算出答案.

【详解】

解：过点A向CB引垂线，与CB交于D,

AABD是直角三角形,

VBD=4,AD=2,

,AD21

..tanZABC=-----=—=—

8。42

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做NA的正切，记作tanA.

7、A

【解析】

分析：根据点A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x轴的距离相等，得到4=|2a+2|,即可解答.

详解：,••点A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x轴的距离相等，

.♦.4=|2a+2|,a+2#,

解得：a=-3,

故选A.

点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数.

8、B

【解析】

由菱形的性质得出AD=AB=6,ZADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF,图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面

积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可.

【详解】

V四边形ABCD是菱形，NDAB=60。，

.••AD=AB=6,ZADC=180°-60°=120°,

VDF是菱形的高，

ADFIAB,

:.DF=AD»sin60°=6x电?=3，

2

••・阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6x3百-坤色篙叵=1897r.

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.

9,D

【解析】

试题分析：根据一元二次方程的概念，可知m-2M，解得m先.

故选D

10、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中Ka|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

【详解】

0.00000004=4X10«,

故选C

【点睛】

此题考查科学记数法，难度不大

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、x>-l

【解析】

分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.

详解：根据题意得：x+l>0,解得：x>-1.

故答案为迂-1.

点睛：考查了函数的定义域，函数的定义域一般从三个方面考虑:

（1）当函数表达式是整式时，定义域可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（1）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

12、3或1

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形得出：AD/7BC,AD=BC,ZADB=ZCBD,又由NFBM=NCBM,即可证得FB=FD,

求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出

方程并解方程即可得出结果.

【详解】

解：,••四边形ABCD是平行四边形，

/.AD/7BC,AD=BC,

.*.ZADB=ZCBD,

VZFBM=ZCBM,

/.ZFBD=ZFDB,

.*.FB=FD=12cm,

VAF=6cm,

AD=18cm,

•点E是BC的中点，

11

:.CE=—BC=—AD=9cm,

22

要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，

设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9,

解得：t=3或t=L

故答案为3或1.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识.注意掌握分类讨论

思想的应用是解此题的关键.

13、＞

【解析】

观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；波动越小越稳定.

【详解】

解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；

则乙地的日平均气温的方差小，

故S2甲AS?以

故答案为：＞.

【点睛】

本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越

大，数据越不稳定.反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳

定.

3

14、-

7

【解析】

一般方法:如果一个事件有〃种可能,而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率PU)

='.根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概

n

率的大小.

【详解】

•••不透明袋子中装有7个球,其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，

...从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是:士

7

3

故答案为:

【点睛】

本题主要考查概率的求法与运用，解决本题的关键是要熟练掌握概率的定义和求概率的公式.

15,叵^

2

【解析】

设PM=x,根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可.

【详解】

设PM=x,贝！|PN=Lx,

」PMPN但x\-x

由----=----得，一=■----,

MNPM1x

化简得：x2+x-l=0,

解得：X1=2^zl,X2=二县］(负值舍去)，

22

所以PM的长为避二1.

2

【点睛】

本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和BC的比例

中项，叫做把线段AB黄金分割.

16、173-1

【解析】

设两个正方形的边长是小J(x<j),得出方程*2=1,y2=%求出x=G，y=l,代入阴影部分的面积是(y-x)x

求出即可.

【详解】

设两个正方形的边长是心y(x<j),则f=1,y2=9,x=G，j=l,则阴影部分的面积是(y-x)x=

(1-6)xH=3百-L

故答案为16-L

【点睛】

本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力.

17、12

【解析】

连接AO,BO,CO,如图所示：

TAB、AC分别为。。的内接正六边形、内接正方形的一边,

.•.NAOB=^^=60。，NAOC=^£=90。，

604

:.ZBOC=30°,

30"

故答案为12.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；(2)y=-10x2+100x+2000,当x=5

时，商场获取最大利润为2250元.

【解析】

(1)根据“总利润=每件的利润x每天的销量”列方程求解可得；

(2)利用(1)中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得.

【详解】

解：⑴依题意得：(100-80-x)(100+10X)=2160,

即x2-10x+16=0,

解得：xi=2,X2=8,

经检验：xi=2,X2=8,

答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；

(2)依题意得：y=(100-80-x)(100+lOx)

=-10x2+100x+2000

=-10(x-5)2+2250,

V-10<0,

...当x=5时，y取得最大值为2250元.

答：y=-10x2+100x+2000,当x=5时，商场获取最大利润为2250元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函

数解析式.

19、(1)A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元(2)共有4种进货方案(3)当购进A种纪念品50

件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元

【解析】

解：(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，

根据题意得方程组得：4[8a+3i=9250,分

5a+6Z»=800

[a=100

解方程组得：

Z>=50

...购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元…4分;

(2)设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有(100-x)个，

.fl00x+50(1007500

•,...6分

100x+50(100-x)<7650

解得：50SXW53,...7分

:x为正整数，

,共有4种进货方案…8分；

(3)因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，

因此选择购A种50件，B种50件.…10分

总利润=50x20+50x30=2500(元)

•••当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元.…12分

20、(3)(-4,-6)；(3)①J17-3；②4；(2)F的坐标为(-3,0)或(JF7-3,).

2

【解析】

(3)先将A(-3,0),B(4,0),代入y=ax3+bx+2求出a,b的值即可求出抛物线的表达式，再将E点坐标代入表

达式求出y的值即可；

(3)①设直线BD的表达式为y=kx+b,将B(4,0),E(-4,-6)代入求出k,b的值，再将x=0代入表达式求

出D点坐标，当点G与点D重合时，可得G点坐标，GF〃x轴，故可得F的纵坐标，再将y=-2代入抛物线的解

析式求解可得点F的坐标，再根据m=FG即可得m的值；

②设点F与点G的坐标，根据m=FG列出方程化简可得出m的二次函数关系式，再根据二次函数的图象可得m的取

值范围；

(2)分别分析当点F在x轴的左侧时与右侧时的两种情况，根据AFDP与AFDG的面积比为3：3,故PD：DG=3：

3.已知FP〃HD,贝IJFH：HG=3：3.再分别设出F,G点的坐标，再根据两点关系列出等式化简求解即可得F的坐标.

【详解】

‘4。一28+3=0

解：(3)将A(-3,0),B(4,0),代入y=a、3+bx+2得：\,

16。+4〃+3=0

3

a=——

Q

解得：《，

b=—

[4

.••抛物线的表达式为y=-13x3+-3x+2,

84

把E(-4,y)代入得：y=-6,

・••点E的坐标为(-4,-6).

4+0=0

(3)①设直线BD的表达式为y=kx+b,将B(4,0),E(-4,-6)代入得:

-4k+b=-6

k=3

解得：1,

b=-3

3

二直线BD的表达式为y=-x-2.

4

3

把x=0代入y=-x-2得：y=-2,

4

AD(0,-2).

当点G与点D重合时，G的坐标为(0,-2).

：GF〃x轴，

AF的纵坐标为-2.

将y=-2代入抛物线的解析式得：-：3x3+—3x+2=-2,

84

解得：x=V17+3或x=-V17+3.

-4VxV4,

•••点F的坐标为(-J万+3,-2).

m=FG=VlV-3.

333

②设点F的坐标为(x,-^x3+—x+2),则点G的坐标为(x+m,—(x+m)2),

844

3331

—x3+—x+2=—(x+m)-2,化简得，m=-----x3+4,

8442

，m有最大值，

当x=0时，m的最大值为4.

(2)当点F在x轴的左侧时，如下图所示:

/.PD；DG=3：3.

VFP/7HD,

AFH：HG=3：3.

333

设F的坐标为(x,--x3+—x+2),则点G的坐标为(-3x,--x-2),

842

333

/.--x3+—x+2=----x-2,整理得：x3-6x-36=0,

842

解得：x=-3或x=4(舍去)，

，点F的坐标为(-3,0).

当点F在x轴的右侧时，如下图所示：

VAFDP与4FDG的面积比为3：3,

APD：DG=3：3.

VFP/7HD,

AFH：HG=3：3.

设F的坐标为(x,-^3x3+3-x+2),则点G的坐标为(3x,3=x-2),

842

333

/•—x3+—x+2=—x-2,整理得：x3+3x-36=0,

842

解得：x=V17_3或x=-VI7-3(舍去),

点F的坐标为（后-3,一9）.

2

综上所述，点F的坐标为（-3,0）或（J万-3,台历）.

2

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.

21、（1）作图见解析；⑵1.

【解析】

宙■上人数

试题分析：（1）根据百分比=号膏■计算即可解决问题，求出八年级、九年级、被抽到的志愿者人数画出条形图即

可;

（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；

试题解析：解：（1）由题意总人数=20+40%=50人，八年级被抽到的志愿者：50x30%=15人

（2）该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有600x20%=1人.

答：该校九年级大约有1名志愿者.

22、见解析

【解析】

试题分析：证明简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△A