初中数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)

./数学平行四边形提高题与常考题和培优题<含解析>一．选择题〔共12小题1．如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是〔A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE2．如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6．若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为〔A．7 B．8 C．9 D．103．如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是〔A．5 B．7 C．8 D．104．如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为〔A．4 B．8 C．2 D．45．如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为〔A．11 B．16 C．19 D．226．如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于〔A．2 B．3 C．4 D．67．如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为〔A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm8．如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为〔A． B．4 C．2 D．9．关于▱ABCD的叙述,正确的是〔A．若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C．若AC=BD,则▱ABCD是矩形 D．若AB=AD,则▱ABCD是正方形10．如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为〔A．8 B．10 C．12 D．1411．如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为〔A．66° B．104° C．114° D．124°12．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A〔5,0,OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D〔0,1,当CP+DP最短时,点P的坐标为〔A．〔0,0 B．〔1, C．〔, D．〔,二．填空题〔共12小题13．如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE=．14．如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于cm．15．如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,则AB的长是．16．有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1：S2=．17．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN．若AB=6,则DN=．18．如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F．若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为．19．如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC＞AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是．20．如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD=．21．如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是．22．如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=．23．如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则=．24．如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点．若△CEF的周长为18,则OF的长为．三．解答题〔共16小题25．如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．26．如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F．〔1求证：AE=AF；〔2求证：BE=〔AB+AC．27．已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E．求证：AC=EC．28．如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O．〔1求证：BO=DO；〔2若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长．29．如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN．〔1求证：BM=MN；〔2∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长．30．在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG．〔1如图①,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证：EG=AG+BG；〔2如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论．31．如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．〔1求证：BE=CD；〔2连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积．32．如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E．〔1求证：四边形BCED′是菱形；〔2若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值．33．如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE．求证：AF∥CE．34．如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F．〔1求证：AB=CF；〔2连接DE,若AD=2AB,求证：DE⊥AF．35．如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC．〔1求证：OE=OF；〔2若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长．36．如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H．求证：AG=CH．37．如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知：∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF．〔1试说明AC=EF；〔2求证：四边形ADFE是平行四边形．38．如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG．〔1请判断四边形EBGD的形状,并说明理由；〔2若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值．39．如图1,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：〔1如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证：四边形CFGH是平行四边形；〔2如图3,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH；〔3在〔2条件下求出正方形CFGH的边长．40．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．〔1如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；〔2如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想；〔3若改变〔2中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状．〔不必证明数学平行四边形提高题与常考题和培优题<含解析>参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题1．〔2016•XX如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是〔A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE[分析]首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC,然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F,继而根据AAS证得△ADE≌△CFE,最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．[解答]解：∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC中点,∴AE=EC,∵CF∥BD,∴∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中,∵,∴△ADE≌△CFE〔AAS,∴DE=FE．故选B．[点评]本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F,判定三角形的全等．2．〔2016•XX如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6．若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为〔A．7 B．8 C．9 D．10[分析]根据三角形中位线定理求出DE,得到DF∥BM,再证明EC=EF=AC,由此即可解决问题．[解答]解：在RT△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC===10,∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE=BC=3,∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．[点评]本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,掌握等腰三角形的判定和性质,属于中考常考题型．3．〔2016•来宾如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是〔A．5 B．7 C．8 D．10[分析]由中位线的性质可知DE=,DF=,DE∥BF,DF∥BE,可知四边形BEDF为平行四边形,从而可得周长．[解答]解：∵AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,∴DE==2,DF==3,DE∥BF,DF∥BE,∴四边形BEDF为平行四边形,∴四边形BEDF的周长为：2×2+3×2=10,故选D．[点评]本题主要考查了三角形中位线的性质,利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键4．〔2016•XX如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为〔A．4 B．8 C．2 D．4[分析]先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在RT△ABF中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF即可解决问题．[解答]解：在RT△ABF中,∵∠AFB=90°,AD=DB,DF=4,∴AB=2DF=8,∵AD=DB,AE=EC,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABF=30°,∴AF=AB=4,∴BF===4．故选D．[点评]本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型．5．〔2017•XX一模如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为〔A．11 B．16 C．19 D．22[分析]首先由四边形ABCD为矩形及折叠的特性,得到B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,∠B′EC=∠DEA,得到△AED≌△CEB′,得出EA=EC,再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,即矩形的周长解答即可．[解答]解：∵四边形ABCD为矩形,∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°∵∠B′EC=∠DEA,在△AED和△CEB′中,,∴△AED≌△CEB′〔AAS；∴EA=EC,∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C,=AD+DC+AB′+B′C,=3+8+8+3,=22,故选D．[点评]本题主要考查了图形的折叠问题,全等三角形的判定和性质,及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键．6．〔2016•XX如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于〔A．2 B．3 C．4 D．6[分析]由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB,证出BF=BC=8,同理：DE=CD=6,求出AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,∴∠F=∠DCF,∵CF平分∠BCD,∴∠FCB=∠DCF,∴∠F=∠FCB,∴BF=BC=8,同理：DE=CD=6,∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,∴AE+AF=4；故选：C．[点评]本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．7．〔2016•XX如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为〔A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm[分析]由▱ABCD的周长为26cm,对角线AC、BD相交于点O,若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,可得AB+AD=13cm,AD﹣AB=3cm,求出AB和AD的长,得出BC的长,再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．[解答]解：∵▱ABCD的周长为26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,∴〔OA+OD+AD﹣〔OA+OB+AB=AD﹣AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB,E是BC中点,∴AE=BC=4cm；故选：B．[点评]此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质,由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．8．〔2016•XX如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为〔A． B．4 C．2 D．[分析]先由平行四边形的性质和角平分线的定义,判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,从而得到CF=BC=8,AE=AB=12,再用平行线分线段成比例定理求出BE,然后用等腰三角形的三线合一求出BG,最后用勾股定理即可．[解答]解：∵∠ABC的平分线交CD于点F,∴∠ABE=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,∴CF=BC=AD=8,AE=AB=12,∵AD=8,∴DE=4,∵DC∥AB,∴,∴,∴EB=6,∵CF=CB,CG⊥BF,∴BG=BF=2,在Rt△BCG中,BC=8,BG=2,根据勾股定理得,CG===2,故选：C．[点评]此题是平行四边形的性质,主要考查了角平分线的定义,平行线分线段成比例定理,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,解本题的关键是求出AE,记住：题目中出现平行线和角平分线时,极易出现等腰三角形这一特点．9．〔2016•XX关于▱ABCD的叙述,正确的是〔A．若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C．若AC=BD,则▱ABCD是矩形 D．若AB=AD,则▱ABCD是正方形[分析]由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误,C正确；即可得出结论．[解答]解：∵▱ABCD中,AB⊥BC,∴四边形ABCD是矩形,不一定是菱形,选项A错误；∵▱ABCD中,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B错误；∵▱ABCD中,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,选项C正确；∵▱ABCD中,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项D错误；故选：C．[点评]本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．10．〔2016•XX如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为〔A．8 B．10 C．12 D．14[分析]由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出AF=AB=6,同理可证DE=DC=6,再由EF的长,即可求出BC的长．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,∴∠AFB=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,则∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=6,同理可证：DE=DC=6,∵EF=AF+DE﹣AD=2,即6+6﹣AD=2,解得：AD=10；故选：B．[点评]本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质,证出AF=AB是解决问题的关键．11．〔2016•XX如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为〔A．66° B．104° C．114° D．124°[分析]由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC,由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,再由三角形内角和定理求出∠B即可．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．[点评]本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的关键．12．〔2016•XX已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A〔5,0,OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D〔0,1,当CP+DP最短时,点P的坐标为〔A．〔0,0 B．〔1, C．〔, D．〔,[分析]如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点,再求出点B坐标,求出直线OB、DA,列方程组即可解决问题．[解答]解：如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BK⊥OA于K．∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2,A、C关于直线OB对称,∴PC+PD=PA+PD=DA,∴此时PC+PD最短,在RT△AOG中,AG===,∴AC=2,∵OA•BK=•AC•OB,∴BK=4,AK==3,∴点B坐标〔8,4,∴直线OB解析式为y=x,直线AD解析式为y=﹣x+1,由解得,∴点P坐标〔,．故选D．[点评]本题考查菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识,解题的关键是正确找到点P位置,构建一次函数,列出方程组求交点坐标,属于中考常考题型．二．填空题〔共12小题13．〔2017•新城区校级模拟如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE=．[分析]作CF⊥AD于F,由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,求出∠DCF=30°,由直角三角形的性质得出DF=CD=2,求出CF=DF=2,证出OE是△ACF的中位线,由三角形中位线定理得出OE的长即可．[解答]解：作CF⊥AD于F,如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,∴∠DCF=30°,∴DF=CD=2,∴CF=DF=2,∵CF⊥AD,OE⊥AD,CF∥OE,∵OA=OC,∴OE是△ACF的中位线,∴OE=CF=；故答案为：．[点评]本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质,证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．14．〔2016•XX如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于14cm．[分析]首先证明四边形ADEF是平行四边形,根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．[解答]解：∵BD=AD,BE=EC,∴DE=AC=4cm,DE∥AC,∵CF=FA,CE=BE,∴EF=AB=3cm,EF∥AB,∴四边形ADEF是平行四边形,∴四边形ADEF的周长=2〔DE+EF=14cm．故答案为14．[点评]本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理,记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半,属于中考常考题型．15．〔2017秋•XX市校级月考如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,则AB的长是．[分析]根据直角三角形性质求出CE长,利用勾股定理即可求出AB的长．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°,∵EF=3,∴CE==2,∴AB=,故答案为：．[点评]本题考查了平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强．16．〔2017•XX区模拟有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1：S2=4：9．[分析]设大正方形的边长为x,再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案．[解答]解：设大正方形的边长为x,根据图形可得：∵=,∴=,∴=,∴S1=S正方形ABCD,∴S1=x2,∵=,∴=,∴S2=S正方形ABCD,∴S2=x2,∴S1：S2=x2：x2=4：9．故答案是：4：9．[点评]此题考查了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式,关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．17．〔2016•随州如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN．若AB=6,则DN=3．[分析]连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MN∥BC,证明四边形DCMN是平行四边形,得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=AB=3,等量代换即可．[解答]解：连接CM,∵M、N分别是AB、AC的中点,∴NM=CB,MN∥BC,又CD=BD,∴MN=CD,又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB=3,∴DN=3,故答案为：3．[点评]本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键．18．〔2016•XX如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F．若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为36°．[分析]由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°,由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,由三角形的外角性质求出∠AEF=72°,与三角形内角和定理求出∠AED′=108°,即可得出∠FED′的大小．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°,∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．[点评]本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质,求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．19．〔2016•东营如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC＞AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是4．[分析]首先证明BC∥AE,当DE⊥BC时,DE最短,只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．[解答]解：∵四边形ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,∴当DE⊥BC时,DE最短,此时∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠B=90°,∴四边形ABDE是矩形,∴DE=AB=4,∴DE的最小值为4．故答案为4．[点评]本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识,解题的关键是找到DE的位置,学会利用垂线段最短解决问题,属于中考常考题型．20．〔2016•XX如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD=55°．[分析]由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD,得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠的性质得：∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．[点评]本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．21．〔2016•XX如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是1．[分析]先延长EP交BC于点F,得出PF⊥BC,再判定四边形CDEP为平行四边形,根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,最后根据a2+b2=4,判断ab的最大值即可．[解答]解：延长EP交BC于点F,∵∠APB=90°,∠APE=∠BPC=60°,∴∠EPC=150°,∴∠CPF=180°﹣150°=30°,∴PF平分∠BPC,又∵PB=PC,∴PF⊥BC,设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则CF=CP=b,a2+b2=22=4,∵△APE和△ABD都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,∴∠EAD=∠PAB,∴△EAD≌△PAB〔SAS,∴ED=PB=CP,同理可得：△APB≌△DCB〔SAS,∴EP=AP=CD,∴四边形CDEP是平行四边形,∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,又∵〔a﹣b2=a2﹣2ab+b2≥0,∴2ab≤a2+b2=4,∴ab≤1,即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1[点评]本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．22．〔2016•XX如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=．[分析]延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,得出MG=x+1,由勾股定理得出〔x+12+〔x2=〔2﹣2x2,解方程得出DF=0.6,AF=1.4,求出AH=AF=0.7,FH=,证明△DCB是等边三角形,得出BG⊥CD,由勾股定理求出BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,由勾股定理得出〔2+y2=〔2﹣y2,解方程求出y=0.25,得出AE、EH,再由勾股定理求出EF即可．[解答]解：延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,如图所示：∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,∴∠MDF=60°,∴∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,∵DG=1,∴MG=x+1,∴〔x+12+〔x2=〔2﹣2x2,解得：x=0.3,∴DF=0.6,AF=1.4,∴AH=AF=0.7,FH=AF•sin∠A=1.4×=,∵CD=BC,∠C=60°,∴△DCB是等边三角形,∵G是CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,∴〔2+y2=〔2﹣y2,解得：y=0.25,∴AE=1.75,∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===．故答案为：．[点评]本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强,难度较大,运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．23．〔2016•XX如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则=．[分析]连接AC、EF,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD,然后判断出△ABD是等边三角形,再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH,再求出DH,从而得到GH,利用勾股定理列式求出EG,最后求出比值即可．[解答]解：如图,连接AC、EF,在菱形ABCD中,AC⊥BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴AB=BD,又∵菱形的边AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,∵AE=DE,∴由菱形的对称性,CF=DF,∴EF是△ACD的中位线,∴DH=DO=BD=x,在Rt△EDH中,EH=DH=x,∵DG=BD,∴GH=BD+DH=4x+x=5x,在Rt△EGH中,由勾股定理得,EG===2x,所以,==．故答案为：．[点评]本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．24．〔2016•XX如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点．若△CEF的周长为18,则OF的长为．[分析]先根据直角三角形的性质求出DE的长,再由勾股定理得出CD的长,进而可得出BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论．[解答]解：∵CE=5,△CEF的周长为18,∴CF+EF=18﹣5=13．∵F为DE的中点,∴DF=EF．∵∠BCD=90°,∴CF=DE,∴EF=CF=DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD===12．∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O为BD的中点,∴OF是△BDE的中位线,∴OF=〔BC﹣CE=〔12﹣5=．故答案为：．[点评]本题考查的是正方形的性质,涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中．三．解答题〔共16小题25．〔2016•北京如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．[分析]由平行四边形的性质得出AB∥CD,得出内错角相等∠E=∠BAE,再由角平分线证出∠E=∠DAE,即可得出结论．[解答]证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠E=∠BAE,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠E=∠DAE,∴DA=DE．[点评]本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质,证出∠E=∠DAE是解决问题的关键．26．〔2016•XX如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F．〔1求证：AE=AF；〔2求证：BE=〔AB+AC．[分析]〔1欲证明AE=AF,只要证明∠AEF=∠AFE即可．〔2作CG∥EM,交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题．[解答]证明：〔1∵DA平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵AD∥EM,∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF．〔2作CG∥EM,交BA的延长线于G．∵EF∥CG,∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE,∵∠AEF=∠AFE,∴∠G=∠ACG,∴AG=AC,∵EM∥CG,∴=,∵BM=CM,∴BE=EG,∴BE=BG=〔BA+AG=〔AB+AC．[点评]本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,以及三角形中位线,属于中考常考题型．27．〔2017春•泉山区校级月考已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E．求证：AC=EC．[分析]先由矩形的对角线相等得出AC=DB,再证明四边形CDBE是平行四边形,得出对边相等DB=CE,即可得出AC=CE．[解答]证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=DB,AB∥DC,∴DC∥BE,又∵CE∥DB,∴四边形CDBE是平行四边形,∴DB=CE,∴AC=CE．[点评]本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键．28．〔2016•XX如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O．〔1求证：BO=DO；〔2若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长．[分析]〔1由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF,得出对应边相等即可；〔2证出AE=GE,再证明DG=DO,得出OF=FG=1,即可得出结果．[解答]〔1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠OBE=∠ODF．在△OBE与△ODF中,∴△OBE≌△ODF〔AAS．∴BO=DO．〔2解：∵EF⊥AB,AB∥DC,∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°,∴∠G=∠A=45°．∴AE=GE∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠GDO=90°．∴∠GOD=∠G=45°．∴DG=DO,∴OF=FG=1,由〔1可知,OE=OF=1,∴GE=OE+OF+FG=3,∴AE=3．[点评]本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题〔1的关键．29．〔2016•北京如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN．〔1求证：BM=MN；〔2∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长．[分析]〔1根据三角形中位线定理得MN=AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明．〔2首先证明∠BMN=90°,根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．[解答]〔1证明：在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,∴MN∥AD,MN=AD,在RT△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=AC,∵AC=AD,∴MN=BM．〔2解：∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由〔1可知,BM=AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,由〔1可知MN=BM=AC=1,∴BN=[点评]本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型．30．〔2017•大石桥市校级一模在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG．〔1如图①,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证：EG=AG+BG；〔2如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论．[分析]〔1首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H,易证得△ABG≌△AEH,又由∠EAB=60°,可证得△AGH是等边三角形,继而证得结论；〔2首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H,易证得△ABG≌△AEH,继而可得△AGH是等腰直角三角形,则可求得答案．[解答]〔1证明：如图①,作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB,∠APE=∠BPG,∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中,,∴△ABG≌△AEH〔ASA．∴BG=EH,AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=60°,∴△AGH是等边三角形．∴AG=HG．∴EG=AG+BG；〔2EG=AG﹣BG．如图②,作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°,∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH．∵又AB=AE,∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH,AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=90°,∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG=HG．∴EG=AG﹣BG．[点评]此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用．31．〔2016•永州如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．〔1求证：BE=CD；〔2连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积．[分析]〔1由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA,即可得出AB=BE；〔2先证明△ABE是等边三角形,得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理求出BF,由AAS证明△ADF≌△ECF,得出△ADF的面积=△ECF的面积,因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF,即可得出结果．[解答]〔1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,∴∠AEB=∠DAE,∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=CD；〔2解：∵AB=BE,∠BEA=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AE=AB=4,∵BF⊥AE,∴AF=EF=2,∴BF===2,∵AD∥BC,∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E,在△ADF和△ECF中,,∴△ADF≌△ECF〔AAS,∴△ADF的面积=△ECF的面积,∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．[点评]此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题〔2的关键．32．〔2016•新疆如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E．〔1求证：四边形BCED′是菱形；〔2若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值．[分析]〔1利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形,进而求出四边形BCED′是平行四边形,根据折叠的性质得到AD=AD′,然后又菱形的判定定理即可得到结论；〔2由四边形DAD′E是平行四边形,得到▱DAD′E是菱形,推出D与D′关于AE对称,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,过D作DG⊥BA于G,解直角三角形得到AG=,DG=,根据勾股定理即可得到结论．[解答]证明：〔1∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,∵DE∥AD′,∴∠DEA=∠EAD′,∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,∴∠DAD′=∠DED′,∴四边形DAD′E是平行四边形,∴DE=AD′,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC,∴CE=D′B,CE∥D′B,∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′,∵AB=2,AD=1,∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1,∴▱BCED′是菱形,〔2∵四边形DAD′E是菱形,∴D与D′关于AE对称,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,过D作DG⊥BA于G,∵CD∥AB,∴∠DAG=∠CDA=60°,∵AD=1,∴AG=,DG=,∴BG=,∴BD==,∴PD′+PB的最小值为．[点评]本题考查了平行四边形的性质,最短距离问题,勾股定理,菱形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键．33．〔2016•XX如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE．求证：AF∥CE．[分析]由平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,证出∠1=∠2,DF=BE,由SAS证明△ADF≌△CBE,得出对应角相等,再由平行线的判定即可得出结论．[解答]证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠1=∠2,∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,即DF=BE,在△ADF和△CBE中,,∴△ADF≌△CBE〔SAS,∴∠AFD=∠CEB,∴AF∥CE．[点评]本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键．34．〔2016•XX如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F．〔1求证：AB=CF；〔2连接DE,若AD=2AB,求证：DE⊥AF．[分析]〔1由在▱ABCD中,E是BC的中点,利用ASA,即可判定△ABE≌△FCE,继而证得结论；〔2由AD=2AB,AB=FC=CD,可得AD=DF,又由△ABE≌△FCE,可得AE=EF,然后利用三线合一,证得结论．[解答]证明：〔1∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF,∴∠ABE=∠FCE,∵E为BC中点,∴BE=CE,在△ABE与△FCE中,,∴△ABE≌△FCE〔ASA,∴AB=FC；〔2∵AD=2AB,AB=FC=CD,∴AD=DF,∵△ABE≌△FCE,∴AE=EF,∴DE⊥AF．[点评]此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用．35．〔2016•XX如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC．〔1求证：OE=OF；〔2若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长．[分析]根据平行四边形的性质得出OD=OB,DC∥AB,推出∠FDO=∠EBO,证出△DFO≌△BEO即可；〔2由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由线段垂直平分线的性质得出AE=CE,由已知条件得出BC+AB=10,即可得出▱ABCD的周长．[解答]〔1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,DC∥AB,∴∠FDO=∠EBO,在△DFO和△BEO中,,∴△DFO≌△BEO〔ASA,∴OE=OF．〔2解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵EF⊥AC,∴AE=CE,∵△BEC的周长是10,∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,∴▱ABCD的周长=2〔BC+AB=20．[点评]本题考查了平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键．36．〔2016•黄冈如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H．求证：AG=CH．[分析]根据平行四边形的性质得到AD∥BC,得出∠ADF=∠CFH,∠EAG=∠FCH,证出四边形BFDE是平行四边形,得出BE∥DF,证出∠AEG=∠CFH,由ASA证明△AEG≌△CFH,得出对应边相等即可．[解答]证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADF=∠CFH,∠EAG=∠FCH,∵E、F分别为AD、BC边的中点,∴AE=DE=AD,CF=BF=BC,∴DE∥BF,DE=BF,∴四边形BFDE是平行四边形,∴BE∥DF,∴∠AEG=∠ADF,∴∠AEG=∠CFH,在△AEG和△CFH中,,∴△AEG≌△CFH〔ASA,∴AG=CH．[点评]本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键．37．〔2016•呼伦贝尔如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知：∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF．〔1试说明AC=EF；〔2求证：四边形ADFE是平行四边形．[分析]〔1首先由Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又由△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后证得△AFE≌△BCA,继而证得结论；〔2根据〔1知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．[解答]证明：〔1∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC,又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF∴AF=BC,在Rt△AFE和Rt△BCA中,,∴Rt△AFE≌Rt△BCA〔HL,∴AC=EF；〔2∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB,∴EF∥AD,∵AC=EF,AC=AD,∴EF=AD,∴四边形ADFE是平行四边形．[点评]此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键．38．〔2016•滨州