力系的等效及简化

1第2章力系的等效与简化理论力学第2章力系的等效与简化2.1汇交力系的合成2.2力对点之矩2.3力对轴之矩2.4力偶与力偶系2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩2.1.1力在直角坐标轴上的投影

2.1汇交力系的合成直接投影法

汇交力系(平面和空间)：各力作用线交于一点。2.1.1力在直角坐标轴上的投影

2.1汇交力系的合成间接投影法

2.1.2汇交力系合成的几何法〔力多边形法那么〕2.1汇交力系的合成两个汇交力合成:2.1.2汇交力系合成的几何法〔力多边形法那么〕2.1汇交力系的合成三个汇交力合成：2.1汇交力系的合成汇交力系可合成为一个合力，其大小与方向分别等于个分力的矢量和，作用线通过汇交点。n个汇交力合成：力的多边形法的矢序规那么各分力矢顺序首尾相接，而合力矢沿着相反方向封闭力多边形的缺口。2.1.3汇交力系合成的解析法2.1汇交力系的合成Fx,Fy,Fz

是合力在直角坐标轴上的投影。合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。2.1.3汇交力系合成的解析法2.1汇交力系的合成合力大小方向余弦运动状态2.2力对点之矩移动转动力矢力矩〔平面力系〕力矩矢〔空间力系〕移动+转动力矢+力矩矢2.2.1力对点之矩〔力矩〕力对点之矩是力对刚体的转动效应的度量。力F与点O位于同一个平面内，点O称为矩心。点O到力F作用线的垂直距离d，称为力臂。力对点之矩：一个代数量，绝对值等于力的大小与力臂的乘积。力使得物体绕矩心逆时针转向为正，反之为负。2.2力对点之矩rOFABd2.2.2力对点之矩〔力矩矢〕2.2力对点之矩力对点的矩以矢量表示—力矩矢〔3〕作用面：矢径r与力作用线确定的平面〔2〕方向：转动方向〔右手螺旋法那么〕力矩矢三要素：〔1〕大小：力与力臂的乘积FrMO2.2力对点之矩力矩矢是一个定位矢量。力矩矢力矩矢2.2力对点之矩力矩矢在坐标轴上的投影MO(F)的模2.2.3合力矩定理2.2力对点之矩汇交力系的合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的矢量和。例题支架受力F作用，如下图。l1、l2、l3与角均为，求力F对O点之矩。2.2力对点之矩17xyz解：18xyz解二：利用合力矩定理解三：2.3力对轴之矩刚体绕定轴转动当力与轴平行或相交时，也就是力与轴共面时，刚体在力的作用下不能绕该轴转动，这说明力对该轴之矩为零。2.3.1力对轴之矩的计算〔方法一〕将力向垂直于该轴的平面投影，力对z轴之矩等于力的投影Fxy与投影至轴的垂直距离d的乘积2.3力对轴之矩力对轴之矩是使刚体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量。符号规定：从z轴正端看，假设力的投影是物体绕该轴逆时针转动为正；反之为负。〔右手螺旋法那么〕2.3.1力对轴之矩的计算〔方法二〕2.3力对轴之矩将力向三个坐标轴分解，分别求三个分力对轴之矩。2.3.1力对轴之矩的计算〔方法二〕2.3力对轴之矩x、y、z为力作用点的坐标；

Fx、Fy、Fz为力在坐标轴上的投影；均为代数量。2.3.2力对点之矩与力对通过该点的轴之矩关系2.3力对轴之矩力对点之矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。例题折杆ABCE在平面xy内，力F在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线z轴的角度为。假设CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x、y和z三轴之矩。xyzABCED

F2.3力对轴之矩25xyzABCED

F解一：〔计算力对点之矩〕26xyzABCED

F直接用三个分力计算对轴之矩解二：解三：2.4力偶和力偶系2.4.1力偶2.4力偶和力偶系力偶的定义：大小相等、方向相反、不共线的两个平行力所组成的力系。力偶的作用面：构成力偶的两个力所在平面。力偶臂：构成力偶的两个力作用线之间的垂直距离。F1F2力与力偶是静力学的两个根本要素2.4.2力偶矩〔矢〕2.4力偶和力偶系力偶矩〔矢〕：力偶对物体转动效应之度量。 模：力偶矩的大小力偶矩矢 方位：与力偶作用面法线的方位相同 指向与转向：服从右手螺旋法则力偶矩矢：力偶对任意点之矩，等于构成力偶的两个力对同一点之矩的矢量和。2.4力偶和力偶系力偶对空间任一点的矩矢都等于力偶矩矢，与点的位置无关，因此是自由矢。2.4力偶和力偶系2〕组成力偶的两个力在任何轴上投影之和恒等于零。1〕力偶只能使物体转动。力偶与力不等效，力偶只能用力偶来平衡〔最简力系之一〕。2.4.3力偶的性质3〕组成力偶的两个力对任意点的矩恒等于力偶矩矢，与矩心的位置无关。2.4力偶和力偶系2.4.3力偶的性质4〕只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，上述操作均不改变刚体的转动效果。==========力偶矩矢量是一自由矢量=5)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.2.4力偶和力偶系力偶系：由两个或两个以上力偶组成的特殊力系。力偶的等效条件：力偶矩矢相等。2.4.4力偶系合成力偶系的合成：合力偶矩矢在坐标轴上的投影，等于各分力偶矩矢在同一坐标轴上投影的代数和。例题结构受力如下图，图中M、r均为，且l=2r。试画出AB和BDC杆的受力图，并求A、C二处的约束力。2.4力偶和力偶系37研究AB研究BDC6个未知数，6个方程解一：38解二：AB杆是二力杆，BDC杆不是二力杆〔因为杆上作用有力偶〕研究BDC2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩2.5.1力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力平行移动到任一点，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩矢等于原来的力对新作用点的矩矢。1.一个力可以分解为一个力和一个力偶。2.同平面内的一个力和一个力偶能合成为一个力。FBMBA2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩2.5.2任意力系向一点的简化·主矢和主矩力平移简化中心O简化任意力系空间汇交力系空间力偶系主矢主矩2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩主矢和主矩的性质主矢：力系中各力的矢量和。主矢大小：式中：主矢与x、y、z轴的方向余弦为：2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩主矩：力系中各力对O点的矩矢的矢量和，称为力系对点O的主矩。主矩大小：主矩与x、y、z轴的方向余弦为：式中：2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩空间问题中，这群力为空间一般力系。A简化应用实例：固定端〔插入端〕约束=A=2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩2.5.3空间任意力系的简化结果分析

简化为一个力偶。

主矩与简化中心的位置无关。

使刚体作加速转动。

简化为一个力，作用线恰好通过简化中心。

力系使刚体产生沿着力方向的加速运动。2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩

简化为一个力。该力到简化中心O点的距离为：2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩力螺旋的力作用线称为该力系的中心轴。力螺旋是最根本的力系，不能再进一步合成。力螺旋：

一个力和一个力偶组成的力系，且力垂直于力偶的作用面。

力系简化为力螺旋。右螺旋左螺旋2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩和组成力螺旋，中心轴偏离O点距离d

。且二者既不平行也不垂直

力系简化为力螺旋。αOO′2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩平衡力系力系平衡简化为一个力，作用线通过简化中心o简化为一力偶与简化中心无关简化为力，作用线距简化中心o：平面任意力系的合成结果*力系平衡简化为一个力力的作用线通过简化中心o点简化为一力偶与简化中心无关与既不平行也不垂直（夹角α）简化为力，作用线距简化中心o：简化为力螺旋力系的中心轴通过简化中心o力系的中心轴距简化中心o为：空间任意力系简化结果合力作用线方程合力作用点可在该线上任意点，假设是平面问题，那么力平移附加的力偶应为力系可以继续向简化为一个合力：该力到简化中心O点的距离为：设〔x,y,z)为合力作用线上任意点的坐标假设O为原点，那么合力作用线方程：即0.5m10.7m21m0.4m0.4mCGOF1F2F3F4例题铁路桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力F1=1940kN和F2=800kN，机车传递制动力F3=193kN，风力F4=140kN，桥墩自重G=5280kN。试求：1〕力系向根底中心O简化的结果；2〕如能简化为一个力，确定合力作用线位置。2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩O'FRd

F'ROxy2.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩MO1)2)可以简化为后一个合力合力作用线上的点〔x,y)，合力作用点矢径：应满足：即为合力作用线方程例题由F1、F2组成的空间力系，F1

=F2=F，立方体的边长均为1。试求力系的主矢FR以及力系对O、A、E三点的主矩。xyzEAOF1F22.5任意力系向一点的简化·主矢和主矩55xyzEAOF1F2r1r2解：主矢：主矩：同理：同理：56xyzEAOF1F2r1r2利用力平移定理求解对A点和对E点的主矩：把力主矢从O移到A，要附加一个力偶，这个附加力偶的矩矢等于原来的力对新作用点的矩矢解二：主矢：主矩：能产生约束力偶的约束

活页铰FxFzFyMxMz2.6实际约束的简化模型FxFzMxMz能产生约束力偶的约束滑动轴承2.6实际约束的简化模型能产生约束力偶的约束止推轴承FxFzFyMxMz2.6实际约束的简化模型能产生约束力偶的约束夹持铰支座FxFzFyMxMz2.6实际约束的简化模型能产生约束力偶的约束三维固定端FxFzFyMxMzMy2.6实际约束的简化模型铰链约束与固定端约束这两种约束的差异在于前者允许被约束物体转动，后者那么不允许。因此，固定端约束与铰链约束相比，增加了一个约束力偶。实际结构中的约束，有时介于铰链和固定端之间，其连接方式以及连接处刚度决定它们属于哪一种约束，有时还需要经过实验验证。