4.2.4+随机变量的数字特征课件-【基础夯实与拓展提升】高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

课时11随机变量的数字特征新授课1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握二项分布的方差.2.能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题.目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，能掌握其性质.任务1：类比样本方差，理解离散型随机变量的方差和标准差.

情境：某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会(简称“全运会”)，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下甲的环数X18910P0.20.60.2乙的环数X28910P0.40.20.41.试根据分布列求出X1、X2的均值，由此可以决定选谁参加全运会吗？E(X1)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，E(X2)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，所以E(X1)=E(X2)，即从平均水平的角度，是不能决定选谁参加的.2.由(1)可知，仅从平均水平的角度考虑，是不能决定选谁参加，怎样来衡量它们的稳定性呢？提示：设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)，求两组数的方差.设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)，甲所得环数可估计为乙所得环数可估计为两组数据的平均数均为9，则甲这组数据的方差为类似地，乙这组数的方差为由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，从这一角度来说，应该排甲参加全运会.新知讲解如果设离散型随机变量X的分布列如下表所示:Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn因为X的均值为E(X)，所以能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.一般地，

称为离散型随机变量X的标准差.

例1在一个不透明的纸袋里装有5个大小质地相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差.解：X可能取值为1，2，3，4，5.所以X的分布列为X12345P0.20.20.20.20.2由定义知，E(X)=0.2×(1+2+3+4+5)=3.D(X)=0.2×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2.求离散型随机变量X的方差的一般步骤：(1)确定随机变量的所有可能的取值；(2)求出随机变量各个取值对应的概率；(3)利用公式

求出方差.归纳总结练一练

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、均值和方差.解：ξ可能取值为0，1，2，3，4.ξ的分布列为ξ01234P则

任务2：类比样本方差，理解离散型随机变量的方差和标准差.已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b.(1)D(X)，D(Y)如何表示？(2)D(Y)与D(X)之间有什么联系？思考：(1)若Y=aX，D(Y)与D(X)有什么关系？(2)若Y=X+b，D(Y)与D(X)有什么关系？离散型随机变量的方差的性质：特别的(1)当a=1，D(X+b)=D(X);(2)当b=0，D(aX)=a2D(X);(3)当a，b均为非零常数时，随机变量Y=aX+b，则D(aX+b)=a2D(X).归纳总结已知随机变量X满足E(1-X)=5，D(1-X)=5，则下列说法正确的是()A.E(X)=-5，D(X)=5B.E(X)=-4，D(X)=-4C.E(X)=-5，D(X)=-5D.E(X)=-4，D(X)=5练一练解析：已知E(1-X)=5，D(1-X)=5，根据均值和方差的性质可得1-E(X)=5，D(X)=5，解得E(X)=-4，D(X)=5.故选D.D

任务3：掌握两点分布和二项分布的方差.例2

已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X).解：因为X只能取1,0这两个值，而且P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，其分布列如下X10Pp1-p所以E(X)=p，D(X)=(1-p)2×p+(0-p)2×(1-p)=p(1-p).归纳总结两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)p(1－p)

np(1－p)例2

已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数.(1)求D(X)；(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y).解：(1)因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即X~B(50，0.02)，所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.(2)D(Y)=D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98.归纳总结两点分布与二项分布方差的计算步骤(1)判断：判断随机变量服从什么分布.(2)计算：直接代入相应的公式求解方差.练一练某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．解：(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10，0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差为目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，能掌握其性质.

任务：利用离散型随机变量的方差解决一些实际问题有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如