青浦2022上海高三一模数试卷及详答汇总

上海市青浦区2022届高三一模数试卷

2021.12

一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合C,(MDN)=

2.不等式_L<1的解集是

x-\

3.已知数列{a}为等差数列，数列{a}的前5项和S、=20,as=6,贝!|ao=

4.已知函数y=f(x)的图像经过点⑵3),尸f(x)的反函数为尸f~'(X),则函数

产fT(x-2)的图像必经过点

5.(x+，)9的二项式展开式中x3项的系数为

X

6.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为二;，半径为18cm的扇形，则圆锥的母线与底面所成

角的余弦值为

7.已知中心'在原点的双曲线的一个焦点坐标为M”,0),直线尸T与该双曲线相交于

2

M、N两点，线段MN中点的横坐标；为-一，则此双曲线的方程为

8.设向量a与b的夹角为9,定义a与b的“向量积”axb是一个向量，它的模

laxbl=Ia|.|b|sin。,若£=(一过.」)，右=(1巴，则axb|二

9.把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则

这样的数列共有个

10,已知将函数y=V5sinx+V5cosx的图像向右平移^0<。；个单位第眄数

y=3sinx+acosx(a<0)的图像，贝han。=

x2—x+3,x<1

11.已知函数=.i，设a£R,若关于x的不等式，(x)N|、+q|在R

x+-,x>l2

上恒成立，则a的取值范围是

12.若数列：cosa、cos2a、cos4a、…、cos2"a、…中的每一项都为负数，则实数a

的所有取值组成的集合为

二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)

13.下列条件中，能够确定一个平面的是（）

A.两个点B.三个点C.一条直线和一个点D.两条相交直线

14.已知公差为d的等差数列｛a｝的前n项和为S,,则“S,-na,<0,对n>1,n£等恒

成立”是“d>0”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分也非必要条件

15.已知z为复数，则下列命题不正确的是（）

A.若z=z,则z为实数B.若Z?<0,贝Uz为纯虚数

C.若|z+1|=：z-1|,贝ijz为纯虚数D.若z3=1,则z=z2

16.从圆Cx?+y2=4上的一点向圆C2x?+y2=l引两条切线，连接两切点间的线段称

为切点弦，则圆C2内不与任何切点弦相交的区域面积为（）

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.在正四棱柱ABCD-AB,CD中，AB=2,连接AC、CB、AB,得到三棱锥

B-ABC的体积为2,点P、Q分别为AD和AC的中点.

（1）求正四棱柱ABCD-ABICiD的表面积；

（2）求异面直线D,P与CQ所成角的大小.

18.已知/(x)=V3cos2jr+2sin(^+x)sin(^-x)xeR

(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

（2）已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且f（A）=-J3,a=4,

求BC边上的高的最大值.

19.考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v(公里/小时)控制在[60,120]

范围内.已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗(所需要的

汽油量)为1八，-£+4,0°)升，其中k为常数，不同型号汽车k值不同，且满足60WkW120.

5v

(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号

的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围；

(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.

20.已知抛物线y2二x.

(1)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求0A・0B的值(其中。为坐标原点)；

(2)过抛物线上一点C(xo,Vo),分别作两条直线交抛物线于另外两点P(xp,yp)、

Q(xe,Yo),交直线x=-1于A(-1,1)、B(-1,-1)两点，求证：yp-yo为常数；

(3)己知点D(l,1),在抛物线上是否存在异于点D的两个不同点M、N,使得DM工MN?

若存在，求N点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

21.如果数列｛A｝每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数礴足a?Wa。-an+1,

则称数列｛&｝具有性质M

(1)若4"勺“力=211+1)8、q、a、b均为正实数)，判断数列｛a｝、｛b,｝是否

具有性质M并说明理由；

⑵若数列｛a｝、｛b,｝都具有性质M,c=a,+b,证明:数列｛c｝也具有性质M;

(3)设实数吟2,方程x2-ax+l=0的两根为x、x2,a,=x,,+x2(n£N*),

若氏+5+1对任意田酢恒成立，求所有满足条件的a

%%%

上海市青浦区2022届高三一模数答案

一.填空题

1.{1,2,5,6},MnN={3,4},U={1,2,3,4,5,6},Cu(MClN)={1,2,5,6}

2.(-o,1)U(2,+oo),—<1=>--l<0=>^—^<0=>(x-lXx-2)>0

x-lx-\x-1

解得x〈l或x>2,不等式解集为(-，l)u(2,+co)

3.11,Ss=5a3=20=a3=4,as=a3+2d=6=d=1,丁ao=as+5d=6+5=11

4.(5,2),由题意，f(2)=3=f~'(3)=2=f~'(5-2)=2,即y=f~'(x-2)经过点(5,2)

5.84,G；•,/•(•!•)'=X4f,即x3项的系数为84

X

6.三设圆锥底面半径为r,母线长为1,由扇形弧长等于圆锥底面周长，即％.18=2k：

•圆锥的母线与底面所成角的余弦值COS®=2=?=2

I183

2222

7.工-二=11,设双曲线方程为二一二二1,•..焦点坐标为F(V7,0),a?+b2=7,

25a。h，

225

设线段MN中点为P,,•,其横坐标为一不且在直线y=x-1上，••,点P坐标为(-；「Q),

设原点为0,由双曲线弦中点结论及“「A,.=二=>1.二=Y-,.a2=2,b2=5

a2a

(双曲线弦中点结论可用点差法推导)

8.LWal=|bl=1,cos6=^^“正,・sin®」

)44)IZ>I.IAI27

一■?.一:.♦八11

|ax/>|=\a\-\h\sin0-lx|x-=—

9.14,①数字5排在第二位，1、2、3、4中选一个排在第一位，剩余数字在第三、四、

五位递减排列，这样的数列有Cl=4个；②数字5排在第三位，1、2、3、4中选两个按递

增顺序排在第一、二位，剩余数字在第四、五位递减排列，这样的数列有C2=6个；③数

字5排在第四位，类似于第①种情况，有Cl=4个.这样的数列共有4+6+4=14个

10.2,,；『=J^3inx+石cosx=JF5§in(x+£))，向右平移0(0<6<生)个单位，即

47

y=V10sin(x-6+—)=4\0sin[x+(--£)]=V10sinxcos(--8)+Viosin(--夕)cosx

4444

=3sinx+acosx=A/9+a2sin(x+p),^9+a2=A/0,a<0,a=-1,

/.VlOcos(--^)=3VlOsiiH--^)=-L即tan(£_S=_l=^^^ntan®=2

44431+tan0

11-[-77.2],设g(x)=|；+a|，*/(x)N即f(x)图像恒在g(x)图像上方,

162

如图所示，当介于如下两种相切状态之间时,可确定a的取值范围.

|y=x2-x+3

147

由,।联立可得，工：一.1+。+3=0,A=--4(3)^0=>>--

y=­x-a)fl+fl

12

「2

y=x+—

47

由,联立可得，x2-2ax+4=0,A=4a2-4x4<0^a<2,[一2]

116

y=-x+«

/2

nV

O-2a-2nO|：1

”万士工，kw},以下解析于2017年宝山一模20(3)标答

f<costr<0,贝Ucos%=2cos2a-1<2(一一)一1二一一■即cos2a<一一

4RR

・一1=卫•>0,即cos4a>(),矛盾，

于是cos4a=2CO$22a-1>2(--)2-1=—

83232

由上可知：对任意n£N,均有cos2”a4一得：Icos2"cr-—I>—；

424

又；1,33,1.

18s2a+g|=2|cosa+|•cosa-22|cosa+-|-=-cosa+-

22422

12I

A|cosa+―|<—|cos2a+-，反复利用此式可得：

232

,1.2.c1.：；；

|cosa+-|^-|cos2a+-|<:()”cos4a+146)'1cos8a+|4…

^(|)-|cos2"a+l|<(j)".l=(；)",即lcosa+：|<(；)”，

,.'n为任意自然数,“cosa+—=0)<,a=2kjr±—(AeZ)..........14分

23

另一方面，当a=2ibr土((ke)时，对任意的nwN,有cos2"a=-'

2

7rr1

事实上，对任意的n£N,有8S2・a=COSJ：,显然COS-----=------

?2

假设COS--------=(k《N),则COS----------=2ccis----------1=2(——)—1=——

?)3

由数归纳法得到：COS~=_(nWN)，即当(3=2^±—(此)时，

42

2fr

cos2"or---<0(n@N).综上所述，实数a的取值集合为|a-2Qr士二，ke}

二.选择题

13.选D,选项A,两点显然不能确定一个平面；选项B,当三点共线时，不能确定一个平

面；选项C,当点在直线上时，不能确定一个平面

14.选C,S._“勺.叫+-S；1川_+伽_1)引.—；IM<0对门>],nwN*恒

成立，d>0;以上步骤均可逆，即d>O=S,-na,<O(n>l,neN*).故选C

15.选C，选项A，设z=a+bi,则z=a-bi,即a+bi=a-bi=b=0,•z为实数；

选项B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,ab=0且a2-b2<0,a=OiLb*0,

即z为纯虚数；选项C,由|z+1|=|z-1|,(a+1)2+b2=(a-1)2+b2-*a=0,即

z=bi,若b=0,则z为实数，故C错误；选项D,由z3=l,：z=l或士巫iL

22

均满足z=Z2

16.选B,由题意，如图所示，0P=2,0A=1,0A上AP,

AP=A/3,APO=30°,PAC=60°,C40=30°,

.•.OC-I。4=I，即原点到切点弦AB的距离兴勺L当点位

222

于圆心为原点，半径为[的圆内时，即不与任何切点弦相交，

.・.符合题意的区域面积§="/二£

4

三.解答题

17.解：(1)设正四棱柱ABCD-ABICiD,的高为h,

因为三棱锥B-A,BC的体积为2,所！以3：X2X2XA=2，

-jZ

解得h=3,即D1D=CC=3,S=2x(2x2+2x3+2x3)=32

(2)连接AD与AD,交点为P,连接AC与BD,交点为Q,

在正四棱柱ABCD-AB,CID中，AD//BC,

所以BCiQ为异面直线DP与CQ所成的角或所成角的补角.

因为BD上AC,BDICC,CCNAC=C，所以BD上平面ACCiA,

又因为CiQu面ACCiA,所以BD工CQ,

在RtABCQ中，BCi=413,BQ=q2,CQ=41,

由闾，“八后闹八・阿

所以COS~~二3TCCOS——

Vl43

即异面直线D,P与CiQ所成角的大小为arccos一3

18.解：⑴/(x)=758s2x+2sin(T+x)sin(nT)

=75cos2x-2cosxsinx=^cos2x-sin2x=2cos(2x+—

2n"

f(x)的最小正周期为：F—=n

121

当2as2J+ES2H+K仕eZ)时，即当)5-^4xWH+碧伏wZ)时，

函数f(x)单调递减，所以函数f(x)单调递减区间为：【区一*,E+言］伏GZ)1

⑵因为f(A)=-V3,所为(4)=2cos(24+少=-75=>cos(2/+少=-g

662

n

・/w(0R,.24+-€(-,—))2J+-=—1

设BC边上的高为h,所以有—ah=—/?csin4=力=-^-bc，

22s

由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bccosA,16=b2+c2-bc,

・・・b2+c2N2bc,bcW16(当用仅当b=c时，取等号)，

所以力=y3he<2x/3,因此BC边上的高的最大值2V3.

19.解：(1)由题意，当v=120时，所以4"一片+趣?)=_1(120-4+竺竺)=11.5,

5v5120

即k=100,欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，即l(y-100+竺竺)49.

5v

解得v+^22«145,即v2-145v+4500W0,即45WvW100,

V

又60WvW120,所以60WvW100,即车速v的取值范围为[60,100]

(2)设某种型号汽车行驶100千米的油耗为y,

100lL4500、”20k90000

则M119=——x-(zv-il+-----)=20--------+—：—(60<v<120)

v5vvv(

1LM

^=90000(----------旷+20-------

'v90007900

又「一«1«」-,因为60WkW120,所以60WkW120即—<-i-<2-,

120v60150900090

IL11LQnnn尸

①若」即75WkW120,则当上=」_,即v=?幽时，=20--

120900090v9000k900

②若一!-0<_L,即60Wk<75,则%，=—,即v=120时，v=---

1509000120v12046

答：当75WkW100时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20-”.

900

当60Wk<75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为四-4

46

20.解：⑴设A(xj,yi),B(x2,y2),F(7.0),直线AB的方程为x=my+)

44

y2=xj

由｛1得/-叼-：=°，所以yy解得%x,

x=my+—4八八4]6

4

所以。<•08=X|Xj+yty2=

(2)设C(v6,y°),显然yW±l,直线4P：1，-I=与1(工+1),

VA+1

y-\-^--(x+l)v+]

由M+l得(尸坊)[仇T)y-"T]=o，•*-y=r

2f乂-1

y=x

直线由<y+l=(x+1)

A0:y+l=¥\x+l),得(y-y)[(vo+l)y+yo-l]=0,

资+1

y=x

1->o.\+1i-y।

，•.-----r♦-0=T

%+1K-lfn+l

(3)设点M(y3,y3),N(y2,y4