九年级圆的基础知识点经典例题与课后习题

圆

一：【学问梳理】

(1)圆的有关概念

①圆：平面上到定点的间隔.等于定长的全部点组成的图

形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.

②弧：圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半

圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.

③弦：连接圆上随意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫

做直径.

(2)圆的有关性质

①圆是轴对称图形；其对称轴是随意一条过圆心的直线；

圆是中心对称图形，对称中心为圆心.

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

对的弧.

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分

弦所对的弧.

说明：依据垂径定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，假

如具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的

优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个

结论。

③弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：圆上随意两点间的部分叫做网明，简称弧，用符

号表示，以为端点的弧记为“盘〃，读

作“圆弧〃或“弧〃。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半

网。

优弧：大于半圆的弧叫做坊明

劣弧：小于半圆的弧叫做多处。（为了区分优弧和劣弧,

优弧用三个字母表示。）

④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，假如两个圆

心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对

应的其余各组量都分别相等.

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;

直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直

径.

⑤等圆：可以完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两

个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，可以相互重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做网心用.

⑧弦心距:从圆心到弦的间隔叫做整心、卑.

(3)对圆的定义的理解：

①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心(即定点)，二是

半径〔即定长)

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等

于它所对的弧的度数.

[2)圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆

周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

(3)圆心角及圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对

的圆心角的一半.

(4)圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四

边形.

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于.它相邻内

角的对角.

3.点及圆的位置关系及其数量特征：

假如圆的半径为r,点到圆心的间隔为d,那么

①点在圆上◊;

②点在圆内◊d<r;

③点在圆外<>d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明假设

干个点共圆，方法就是证明这几个点及一个定点、的间隔相

等。

4.确定圆的条件：

1.理解确定一个圆必需的具备两个条件：

圆心和半径，圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.

经过一点可以作多数个圆，经过两点也可以作多数个圆,其

圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

2.经过三点作圆要分两种状况：

(1)经过同始终线上的三点不能作圆.

(2)经过不在同始终线上的三点,能且仅能作一个圆.

定理：不在同始终线上的三个点确定一个圆.

3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三

个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆

的内接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的

外C?.

(3)三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的间隔相

5.直线及圆的位置关系

1.直线和圆相交、相切相离的定义:

(1)相交：直线及圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这

时直线叫做圆的割线.

(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这

时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点.

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

2.直线及圆的位置关系的数量特征：

设。。的半径为r,圆心0到直线的间隔为d；

①d〈r<>直线L和。0相交.

②◊直线L和。0相切.

③d>r<>直线L和。0相离.

3.切线的总断定定理：

经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切

线.

4.切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得如

下结论：

假如一条直线具备以下三个条件中的随意两个,就可推出

第三个.

①垂直于切线；②过切点；③过圆心.

5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的

圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

6.三角形内心的性质：

(1)三角形的内心到三边的间隔相等.

(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的协助线：连接内心和三角形的顶点，该

线平分三角形的这个内角.

6.圆和圆的位置关系.

1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关

系的定义.

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个

圆的外部时，叫做这两个圆外离.

(2)外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，

每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆

外切.这个惟一的公共点叫做切点.

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交.

(4)内切：两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外，

一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.

这个惟一的公共点叫做切点.

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个

圆的内部时，叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的

一个特例.

2.两圆位置关系的性质及断定：

(1)两圆外离◊d>

(2)两圆外切◊

(3)两圆相交<><d<(R2r)

(4)两圆内切<>(R>r)

(5)两圆内含<>d<(R>r)

3.相切两圆的性质：

假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线

上.

4.相交两圆的性质：

相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

7.圆内接四边形

假设四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫

做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.

圆内接四边形的特征：①圆内接四边形的对角互补；

②圆内接四边形随意一个外角等

于它的内错角.

8.弧长及扇形的面积

1.圆周长公式：

圆周长27R(R表示圆的半径)

2.弧长公式：

弧长、蟠（R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度

180

数）

3.扇形定义：

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做

扇形.

4.弓形定义：

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

弓形弧的中点到弦的间隔叫做弓形高.

5.圆的面积公式.

圆的面积5=成？（R表不圆的半径）

6.扇形的面积公式：

扇形的面积S扇形=嘴（R表示圆的半径，n表示弧所对的

圆心角的度数）

弓形的面积公式：（如图5）

（1）当弓形所含耳勺弧是劣弧时，图§弓形=S扇形-S三角形

⑵当弓形所含的弧是优弧时，S弓形=S扇形+S』形

（3）当弓形所含的弧是半圆时，S弓形成2=s扇形

二、例题解析

【例题1】如图1，。。是AABC的外接圆，AB是直径，假设

ZfiOC=80°,那么ZA等于（）

A.60°B.50°C.40°

图2

【例题2】如图2,以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦及小

圆相切于点C,假设大圆半径为

10,小圆半径为6,那么弦的长为

【例题3】如图3,△内接于。0,,Z12O0,为。0的直径，=

6,那么=.

【例题4】如图4Go的两条弦,相交于点E,Z70°,Z5O0,那

么N的值为（）

C.互D,皂

22

图4

【例题5】如图5,半圆的直径AB=10,点。在半圆上，BC=6,

⑴求弦AC的长;

(2)假设〃为的中点，交AC于点反求PE的长.

三、课堂练习

1、如图6,在。。中，Z40°,那么N=度.

图8

2、如图7,是。。的直径，是弦，假设N=32°,那么N的度

数等于_______

3、。。的直径8,。为。。上的一点，Z3O0,那么.

4、如图8,在RtZ\ABC中，ZACB=RtZ,AB=4,分另U以AC,BC为

直径作半圆，面积分别记为5,邑，那么号+邑的值等于.

5、如图9,。。的半径=10,P为上一动点，那么点P到圆心0

的最短间隔为。

(第金

6、如图10,在。0中，ZZ600,243cm,

(1)求/的度数；(2)求。0的周长

7、：如图11,。0的直径及弦相交于E,弧=弧，。。的切线及

弦的延长线相交于点F.

(1)求证〃.

(2)连结，假设。。的半径为4/3,求线段、的长.

4

B

（第24题）

8、如图12,在△中，，以为直径的。0及交于

点D,过。作_1,

交的延长线于E,垂足为F.

(1)求证：直线是。。的切线；

(2)当5,8时，求的值.

图12

四、经典考题解析

13,在。0中，ZA=N=60°，=3,那么△的周长是.

图13图14

图15

2.“圆材埋壁〃是我国古代?九章算术？中的问题：“今有圆材,

埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几

何〃.用数学语言可表述为如图14,为。。的直径，弦_L于点E,

=1寸，10寸，那么直径的长为（）

A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸

15,是半圆0的直径，弦和相交于点P,那么等于（）

A.ZB.ZC.ZD.Z

4.00的半径是5,、为。。的两条弦，且〃，6,8,

求及之间的间隔.

16,在。M中，弧所对的圆心角为120°,圆的半径为2,并建

立如下图的直角坐标系，点C是y轴及弧的交点。

[1）求圆心M的坐标;

12）假设点D是弦所对优弧上一动点，求四边形的最大面春

图16

五、课后训练

17,在。0中，弦L8,圆周角N30°，那么。。的直径等于.

图19

18,C是。。上一点，。是圆心.假设N35°,那么N的度数

为1)

A.35°B.700C.105°D.150°

19,。。内接四边形中，，那么图中和N1相等的角有

4.在半径为1的圆中，弦、分别是6和血，那么/的度数为

多少?

20,弦的长等于。0的半径，点C在。0上，那么NC的度数

是.

21,四边形内接于。0,假设N100°,那么/的度数为（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

22,四边形为。0的内接四边形，点E在的延长线上，假如/

120°那么N等于（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

8.如图，。。的直径10,，于点H,2.

⑴求.的长;

（2）延长到P,.过P作。。的切线，切点为C,

假设22国求.的长.

九年级数学圆练习题

一、填空题：（21分）

1、如图，在。0中，弦〃，ZAOC=115°,那么NBOC二

2、如图，在。。中，是直径，N1,那么ZBAD

3、如图，点0是AABC的夕卜心，ZOAB=40°,那么NAC8

□

题图）

（4题图）

4、如图，是。0的直径，弧弧，ZA=25°,那么Z8O。

[5题图）（6题图）（7题图）

5、如图，。0的直径为8,弦垂直平分半径，那么弦=.

6、00的半径为2,弦=2,P点为弦上一动点，那么线段的范

围是.

7、如图，在。。中，Z50°,Z20°,那么/的

二、解答题（70分）

1、如图，是。。的直径.假设〃，无及的大小有什么关

系？为什么？

2、：如图，在。。中，弦.求证:⑴弧弧;（2）ZZ

cB

3、如图，：。0中，、为弦，交于D,求证：（1）N〉N,（2）Z>

N;

4、如图，，、为弦，1.于M,，于N,是△的中位线吗?

5、如图，、是。。的直径，、是弦，且，求证：ZZB

□

6、如图，是。。的直径，C是。0上的一点，，于D,平分N,

交。0于E,

求证：弧弧

c

7、如图，△,3,4,Z90°,以点。为圆心作。乙半径为r.

(1)当r取什么值时，点儿方在。。外.

⑵当r在什么范围时，点/在。。内，点8在。。外.

⑵当r在什么范围时，。。及线段相切。

Z

三、计算以下各题：(40分)

1、如图，为。。的直径，为弦，〃交于D,=2cm,求的长;

2、如图，在△中，NC=90°,=3,=4,以点C为圆心，为少

径的圆及、分别交于点D、E,求、的长.(

E

B