湖南省衡阳市八中2021年1月高三新高考第五次模拟考试数学试卷（含解析）

衡阳市八中2021年1月高三新高考第五次模拟考试

数学试卷

注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的

X+]

1.已知集合4=*€^^-24“<4},B={x\——>0},则集合AC3中子集的个数是（）

3-x

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】

根据题意，求出集合M与N,进而由交集的定义求得MCN,结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可

得答案.

【详解】

根据题意，A={xGN|-2^x<4}={0,1,2,3）,

X+]

B={x|-----20}={x|TWx<3},

3-x

则ADB={0,1,2）,

则集合AnB中子集的个数是2邑8；

故选B.

【点睛】

本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M、N,属于基础题.

2.复数用二（）

A.iB.-iC.2(V2+i)D.1+/

【答案】A

【解析】

(V2+Q(l+V2z).

试题分析:原式=(1-何(1+后-’故选A.

考点：复数.

3.为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分

配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种

A.36B.48C.60D.16

【答案】A

【分析】

根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.

【详解】

4x3

根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有c：=-y-=6种方式，

所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有

C1A；=6x3x2x1=36种方式.

故选：A

【点睛】

本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.

4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角

试卷第2页，总31页

攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角

攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为a,则侧

棱与底面外接圆半径的比为（）

【答案】A

【分析】

根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.

【详解】

正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R，则底面正边形的边长为R,

因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为a,

R

所以侧棱长为3二R,

cosa2cosa

R

所以侧棱与底面外接圆半径的比为2cosa「L

R2cosa

故选：A

【点睛】

关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.

5.新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1;为了解消费者对各平台销售方

式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错

误的是（）

A.样本容量为240

B.若样本中对平台三满意的人数为40,则利=40%

C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300

D.样本中对平台一满意的人数为24人

【答案】B

【分析】

对每一个选项逐一分析判断得解.求出样本容量为240判断选项A的正误;求出相=40判断选项B的正误；

计算出总体中对平台二满意的消费者人数约为300判断选项C的正误；计算出样本中对平台一满意的人数

为24人判断选项D的正误.

【详解】

选项A,样本容量为6000x4%=240,该选项正确；

40

选项B,根据题意得平台三的满意率——--=40%,加=40,不是加=40%,该选项错误；

2500x4%

选项C,样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为1500x20%=300,该选

项正确；

选项D,总体中对平台一满意人数约为2000x4%x30%=24,该选项正确.

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故选:B.

【点睛】

本题主要考查分层抽样，考查用样本估计总体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6.若log“g<2,则。的取值范围是()

A.(^^,1)(1,+oo)B.(0,2^1)C.D.(0,"^)u(l,+°°)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数函数对底数的要求，及对数的单调性特征，分段讨论a的取值情况，分别解不等式即可求得a的范

围。

【详解】

因为log。g<2

1,

所以log“5<log«a-

i/n

当0va<l时，对数函数为减函数，所以二>。2,可得0<&〈丝

22

当时，对数函数为增函数，所以,<。2,可得

2

综上所述，。的取值范围为0,U（l,+oo）

所以选D

【点睛】

本题考查了对数函数大小的判断，注意对数的底数对单调性的影响，属于中档题。

7.若。为八46。所在平面内任意一点，且满足8c（OB+OC-2Q4）=0,则ASC一定为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

【答案】C

【分析】

由向量的线性运算可知08+0。一2。4=AB+AC，所以8c•（AB+AC）=O,作出图形，结合向量加

法的平行四边形法则，可得BCJ_AD，进而可得/3=AC，即可得出答案.

【详解】

由题意，OB^OC-2OA=（OB-OA^+（OC-O/^=AB+AC,

所以BC-（AB+AC）=O,

取BC的中点£）,连结AO,并延长AD到E,使得|人。=|。耳，连结BE，EC,则四边形ABEC为

平行四边形，所以A8+AC=AE.

所以BC-AE=O,即BCLA。，

故AB=AC,A6C是等腰三角形.

故选：C.

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A

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

8.已知函数/(%)=(/+2x)(/+勿+份,且/(%-3)是偶函数，若函数g(x)=/(%)+用有且只有4个

零点，则实数加的取值范围为()

A.(-16,9)B.(-9,16)c.(-9,15)D.(-15,9)

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数/(X)的图象对称性，解得。,力的值，化简函数的解析式为/(x)=[(x+3)2-5]2-16,令

(X+3)2=?,/>0,把函数g(%)=/(%)+加有且只有4个零点，转化为g(x)=/z⑺+加在区间。+00)上

有两个零点，即可求解.

【详解】

由题意，函数/(x)=(f+2x)(x2+以+。)，且/(%-3)是偶函数，

所以函数7'(x)的图象关于x=—3对称，则/(-6)=/(0),/(T)=/(-2),

24x(36—6a+Z?)=0

所以《,解得a=10,8=24,

[8x(16-4a+与=0

此时函数/(x)=(x2+2x)(x2+10x+24)=x(x+2)(x+4)(x+6)=(x2+6x)(x2+6x+8)

22

=(x+6x>+8(%2+6月=[(%+3)2_歼+8[(x+3)-9]

=(x+3)4-10(x+3)2+9=[(x+3>-5F-16,

令(x+3)2=rjN0,则/"(x)=〃(r)=(r—5)2—16,tN0,

因为函数g(%)=/。)+用有且只有4个零点，且/(x)的图象关于*=—3对称,

即函数g(x)=/(X)+机的图象在(-,3+0O)有两个零点，

所以g(X)=〃⑺+加在区间(0,+00)上有两个零点，

即y=h(t)与y=一6的图象在(0,+8)有两个交点，

当”0时，〃(0)=9,/?(5)=-16,如图所示，

则—9<—m<16,解得—16v/篦v9,

即实数成的取值范围是(一16,9),故选A.

【点睛】

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本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的性质，

求得函数的解析式，合理利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问

题的能力，属于中档试题.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.函数/(x)=sin%+gcosx的()

(27T\

A.图象对称中心为一—+k兀,。(keZ)

I37

57r

B.增区间为----+2br,—+2%乃(ZEZ)

66

JI

C.图象对称轴方程为x=——+k7T,ksZ

3

D.最大值是2,最小值是-2

【答案】ABD

【分析】

化简函数/(X)=2sin(X+()再利用函数的性质，即可得答案；

【详解】

(八

/(x)=2sin/+一,

\37

JT7T27r

对A,当1H—=kjr=>x------Fkjv—------卜伏一X)7t,故A正确；

333

对B♦-----F<XH—<—F2左%,解得：215-------<x<—F2左乃故B正确；

232669

')ITT)L

对C,当xd—=—I■左万时，x=—卜k/c,kGZ,故C错误；

326

对D,/(初侬=2,/(X)min=一2，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】

本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解

能力.

10.若过点(-2,1)的圆M与两坐标轴都相切，则直线3x-4y+10=0与圆M的位置关系可能是()

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

【答案】AB

【分析】

圆M与两坐标轴都相切，且点(-2,1)在该圆上，列方程，可求得圆的方程，得到圆心坐标分别为：(-1,1)

或(-5,5),然后，利用圆心到直线的距离，分情况讨论即可

【详解】

因为圆M与两坐标轴都相切，且点(-2,1)在该圆上，所以可设圆”的方程为。+“)2+°，/)2="2,所以

(-2+a)2+(l-a)2="2,即”2_6a+5=0,解得a=1或a=5.当圆心坐标为(-1,1)时，圆的半径为1,所以圆心到

.3

直线3x-4y+10=0的距离为《<1；当圆心坐标为G5,5)时，圆的半径为5,所以圆心到直线3•4)，+10=0的

25

距蜀为—5.

故选：AB

+丫？

11.已知x〉y>0,xy=l9则---L的最小值和此时x、V应取的值为().

A.最小值为|B.最小值为2拉

「31V6+V2R—V2

C.x=~,y=-D・x=-------------，y=-------------

22272

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【答案】BD

【分析】

v-2,22

根据条件，将——二变形为(％一>)+——，利用基本不等式求解最值，并确定取等条件.

x-yx-y

【详解】

x2+y2x1+y2-2xy+2xy(x-y)2+2/、2

===*_,)+-------,

x-y------------x-y-----------------x-y-------------------x-y

2r~2

vx>^>0,Ax-y>0,(x-3,)+-——2V2,且当尤-y=-------时等号成立，

x-yx-y

.^6+V2V6—>/2

,•x-，y=，

22

故选：BD

12.已知正方体ABC。-44GA的棱长为2,点。为AQ的中点，若以。为球心，而为半径的球面与

正方体ABC。—AgG2的棱有四个交点E,F,G,H,则下列结论正确的是()

A.AR〃平面EFGH

B.AC_L平面EPG”

C.4月与平面EFGH所成的角的大小为45°

D.平面£FGH将正方体分成两部分的体积的比为1：7

【答案】ACD

【分析】

如图，计算可得瓦F,G,H分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B

的正确与否，计算出直线AB与平面所成的角为45。后可得C正确，而几何体-CG广为三棱

柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.

【详解】

如图，连接。4,则=4+1=石,故棱AA，4A，22A。与球面没有交点.

同理，棱A4,8c1,£2与球面没有交点.

因为棱AR与棱BC之间的距离为20＞石，故棱3C与球面没有交点.

因为正方体的棱长为2,而2＜指，

球面与正方体ABCQ-ABCQI的棱有四个交点E,F,G,H,

所以棱AB,C£＞,C,C,B】B与球面各有一个交点，如图各记为E,F,G,H.

因为△OAE为直角三角形，故A£=JOEZ—8Z=J6—5=］，故E为棱AB的中点.

同理F,G,"分别为棱CO,GCg8的中点.

由正方形A8CZ）、瓦F为所在棱的中点可得E广〃3C,

同理G”〃bC,WEFIIGH,故瓦£G,H共面.

由正方体ABC。—44G口可得ADJ/BC,故A\D\〃EF

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因为A。<Z平面EFG”，EFu平面EFGH,故平面EFG”,故A正确.

因为在直角三角BA|C中，"=2日BC=2,=90°>

4。与3c不垂直，故4。与GH不垂直，故A,C_L平面EFG”不成立，故B错误.

由正方体ABCO-ABCQI可得8CL平面而ABu平面A443,

所以8C_LA8,所以

在正方形AAgB中，因为£H分别为AB,8g的中点，故

因为即EH=E,故4B_L平面瓦'G”，

所以ZBEH为直线AB与平面EFGH所成的角，而ZBEH=45°,

故直线A8与平面EFGH所成的角为45。，

因为AB//A}Bt,故4片与平面EFGH所成的角的大小为45。.故C正确.

因为E,£G,H分别为所在棱的中点，故儿何体广为三棱柱，

其体积为，xlxlx2=l,而正方体的体积为8,

2

故平面EFGH将正方体-分成两部分的体积的比为1：7,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交

点，本题属于中档题.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在2x（x-Ip展开式中含*3的系数是.（用数字作答）

【答案】-20

【解析】

试题分析：只需求（无一1）’的展开式中含f的系数即可，由于却「（一1）',令5f=2则厂=3,所

33

以在2x（x-1）'展开式中含/的系数是2C5（-1）=-20,故答案应填—20.

考点：二项式定理.

14.若曲线y=e'在x=0处的切线，也是y=lnx+匕的切线，则。=.

【答案】2.

【分析】

求出y=d的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y=Inx+b相切的切点为（/，%），求

得函数y=lnx+匕的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得

%,用的值，进而得到〃的值.

【详解】

由＞=6*,得y'=e*,

曲线y=e"在》=0处的切线斜率为A=1,

则曲线y=e"在x=O的切线方程为y=x+l,

y=lnx+Z?的导数为V=1,

X

设切点为（*0,No），则—二1，

xo

试卷第14页，总31页

解得％=1,%=2,

即有2=lnl+Z?,得b=2.

故答案为：2

【点睛】

本题考查了基本初等函数的导数以及导数的几何意义，属于基础题.

15.已知数列｛4｝满足4=1,用=2"("eN*),S.为数列｛%｝的前〃项和，则S2022=

【答案】3x2'°"-3

【解析】

【分析】

由％==2",令〃=1,求得的的值，=2",得a,",t=2"T,两式相比，即得—=2,

an-\

从而求得数列｛4｝的前2022项和S2022.

【详解】

a.

V,a„an+,=2",令〃=1,求得利=2,当〃上2时=2"—,：.^-=2数列｛%｝的奇数项成等

an-\

比数列，偶数项成等比数列;

,0112(1-2叫

1-2\------i=3x2,0"-3.

则52022

1-21-2

【点睛】

考查由递推公式求数列中的性质，，解决方法，体现了分类讨论的思想方法，属基础题.

22

16.已知双曲线'-六=1(。＞0力＞0)的左右焦点分别为6，尸2,过鸟的直线交双曲线的右支于P，Q

Q

两点，且忸。|=百伊可|,则双曲线的离心率为.

【分析】

先根据题意得|。用=2俨用，再根据双曲线的定义得|。耳|=号，仍用=£,再在狡。耳月中，利用

勾股定理即可求得e=叵.

4

【详解】

解：如图，

Q

可设P,Q为双曲线右支上一点,由PQ，PK,IPQ|=用，

在直角三角形尸片Q中，|Q用=而布而『=2归耳|，

由双曲线的定义可得：2a=|尸周一|P用=也用一|Q闾，

QQ

由1尸0=石1尸周，即有归段+1。段=办12用，

17Q

即为|P用-2。+石归司-2a=石|P周，

・・.(1-2+2)|P凰=4%解得上用=当，忱用=|牛|一2a=(

\1313/乙乙

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V26

由勾股定理可得:2c=|耳闻=

可得e=H.

故答案为：叵

4

【点睛】

本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,

一般求离心率有以下儿种情况：①直接求出a",从而求出e；②构造&,c的齐次式，求出e；③采用离心率的

定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.本题中，根据双曲线的定义及勾股定理

可以找出凡c之间的关系，求出离心率e.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

B+c

17.(本小题10分)在条件①cosAcos6+cosC=2sinAcos6,(2)Z?sin------=«sinB,③

--2一

要+csii?"C=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

224

在ABC中，角A,B,C的对边分别为。，h,C,a=2旧,b=2c,,求A6C的面积.

【答案】选①，S.c=4；选②，S,„c=—；选③，SABC=—

【分析】

根据选择的条件，利用正余弦定理，求出边长，再利用面积公式即可求出.

【详解】

解：选择①

cosAcosB+cosC=2sinAcosZ?,

cosAcosB—cos(A+=2sinAcosB,

即cosAcosB—cosAcos6+sinAsinB=2sinAcosB，

化简得：2sinAcosB=sinAsinB,

又sinAw0,

/.tanB=2,

即cosB=—，sinB=，

55

/.a-2>/5，b=2c,

由余弦定理得：(2c『=/+(2百了一2xcx2石xg,

解得：c=2,6=4,

A8c的面积为S='acsinB=4；

2

选择②

8sin^^=asinB,

2

由正弦定理可得sin5sin史£=sinAsin5,

2

又sin3K0,

二.sin^=sinA,

2

由A+3+C=180°,

.•.sinXA

=cos—

22

口rAceAA

即cos—=2sin—cos—，

222

COS—7^0,

2

试卷第18页，总31页

A1

即sin—=-，A=60°，

22

2l

由余弦定理得（2逐）=C2+（2C）2-2XCX2CX5,

2而,4vB

解得：c=-------，h=--------，

33

A6c的面积为5=!/?05m4;

23

选择③

由Qsin2'+'+csin2'+。='b及A+B+C=冗,

224

17CoA5,

得：acos~—+ccos—=--b,

224

,1+cosC1+cosA5,

即OIa-----------+c-----------=-b,

224

由正弦定理得：sinA+sin/4cosc+sinC+cosAsinC=—

2

33

/.sinA+sinC=—sinB,即Q+C=一人，

22

b=2c,

Cl—,

由。=2>/5，得：a=h=2后,c=2逐，

_b2+a2-c27

「・cosC=---------------=—

2ah8

.c1V15

sinC=1--=-----，

4Vl8j8

ABC的面积为S=！q〃.「5岳

sinC=--------

24

【点睛】

方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；

求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求

最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

18.(本小题12分)设｛%｝是等比数列，公比大于0,其前八项和为S,,(〃wN*),｛2｝是等差数列.已知

4=1,%=4+2,="+瓦,+2b6.

(1)求｛4｝和色“｝的通项公式；

(2)设数列｛S,J的前〃项和为7；(〃eN*),

(i)求T,;

(ii)设数列｛2｝的前n项和为R.(〃wN*),若&+T“=b“+4a”,求正整数〃的值.

n+,

【答案】(1)%=2"-，％=〃；(2)(i)Tn=2-n-2,(ii)4.

【分析】

(1)先根据q=l，%=%+2解出数列｛4｝的通项公式，然后将由，%的值代入求解4和公差,得出

数列｛勿｝的通项公式；

(2)⑴利用等比数列的求和公式先求出等比数列的前〃项和S“，再求解7；；

(ii)利用等差数列的求和公式求出火“，将尺”、北、4和4等代入(+看="+4勺,解方程即可.

【详解】

(1)设等比数列｛q｝的公比为4.由6=1,%=4+2，

可得^一4一2=0因为q〉0,可得q=2,故凡=2小，

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设等差数列｛2｝的公差为d,由。4=打+用，可得4+34=4,

由的=d+2/可得，34+131=16,从而优=1,d=l,故a=",

所以数列｛4｝的通项公式为%=2小，数列｛a｝的通项公式为

1_2n

(2)⑴由(1)可知4=2"-，则S=----=2"-1，

"1-2

故7；=力(2«_1)=£2*_〃=2X(1_2")_〃=2"+I_/_2.

4=1*=i1-2

(ii)因为么=",所以凡,由&+7；=仇+44,得〃('；1)+2向-〃—2=“+2向

2

整理得：n-3n-4=0>

解得〃=4或〃=—1(舍)，

所以”的值为4.

【点睛】

本题考查等差数列、等比数列的综合运用，要熟练运用等差数列等比数列的通项公式、前八项和公式是关

键.

19.(本小题12分)红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数V

和平均温度%有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均温度X/℃21232527293133

平均产卵数y/个711212466115325

z=\ny1.92.43.03.24.24.75.8

产卵数

400-

350-.

300-

250-

200-

150-

100-•

50-.•

*

0认•],]----1-----1-----1---1-----1-----1_＞、目q

202224262830323436温度

(1)根据散点图判断，,="+4与了=。0%'(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为

平均产卵数y关于平均温度工的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数

据，求出，关于X的回归方程.(计算结果精确到0.01)

(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28。。以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情

况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28。。以上的概率为“.记该地今后5年中，恰好需要3次

人工防治的概率为/(p),求/(〃)的最大值，并求出相应的概率“。.

附：回归方程。=法+吉中，b---------------------=-24；-----------二一，%=y一务x.

%)-3”展

/=li=\

参考数据

777

2柘

yZ

/=|/=11=1

52151771371781.33.6

【答案】(1)¥=£。33-53

试卷第22页，总31页

(2)当p=|时,

【分析】

（1）根据散点图判断丁=。/〃更适宜作为y关于x的回归方程类型；对丁=。6'〃两边取自然对数，求出回

归方程，再化为y关于X的回归方程；

（2）由/（P）对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的〃值.

【详解】

解：（1）由散点图可以判断，y=ce""适宜作为卵数y关于温度》的回归方程类型.

对y=ce"两边取自然对数，得lny=lnc+6Zr,

由数据得-7%z=36.6,2卜一%)=Zx；-7)=112,

i=\i=I'f=l

7xz366

所以d=T^=TFr"033，lnc=z-dx=-5.31，

U2

i=\

所以z关于l的线性回归方程为z=0.33x-5.31，

'关于X的回归方程为y=*337.31

（2）由〃p）=C；,p3（］_〃）2得/（#=仁./（1_〃）（3_5〃）,

3

因为ovpvi,令.,（，）>0得3P—5>0,WWO<p<-；

所以“〃）在上单调递减，在R，1］上单调递增，

\5/\5）

所以,（，）有唯一的极大值为/-，也是最大值；

\57

33216

所以当P=W时，”P)max=/

5625

【点睛】

本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题.

20.（本小题12分）如图，在四棱锥E--"。中，底面ABCC为正方形，一平面C0E,已知4E=DE=2,

厂为线段班的中点.

（1）求证：BE平面XCF;

（2）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值.

【答案】证明：（1）见解析；（2）二面角C—BF—E的平面角的余弦值为一等.

【解析】试题分析：（1）注意做辅助线，连结BD和AC交于0,连结。尸，根据。为助中点，F为DE

中点，得到OFBE,即证得届，平面KCF；（2）应用已知条件，研究得到CD14D,CD一平面ZUE,

CDIDE,创造建立空间直角坐标系的条件，通过以。为原点，以。E为久轴建立如图所示的坐标系，应用“向

量法”解题；解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培

养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：证明：（1）连结和4C交于O,连结。尸，

•••4BCD为正方形，为她中点，:F为DE中点,

.-.OF!!BE,

试卷第24页，总31页

VBE仁平面ACF,OFu平面4CF

平面dC5.

(2)HE一平面CDE，CDu平面CDE，HE_CD,

•••ABC。为正方形，CD1AD,

vAEOAD=A,4D,4Eu平面ZUE,

CD一平面DAE，

VDEu平面DAE,CD1DE

••・以。为原点，以。石为x轴建立如图所示的坐标系，

则E(2,0,0),E(2,0,0),E(2,0,0),E(2,0,0)

•.•dE，平面CDE,DEu平面CDE,.•.AEIDE

•••AE±DE,AD=2V2

「力BCD为正方形，4D=2迎，石=(Xi，%,Zi)

由4BCD为正方形可得：DB=~DA+DC=(2,2>/2,2),AD=2>/2

设平面的法向量为元=(X],y1,Zi)

BE=(0,-2V2,-2)，[AD=272

由白噂UTT烈二k。,令y1,则ZL夜

（九1•FE—0I与一U

•••元=(0,1,一。

设平面BEF的法向量为可=（X1,y1,z1'）,

BC=(-2,0,-2),CF=(1,-2V2,0)

,fnj-BC=0(-2X-2Z=0

N22令y1=1,则Z]=—\[2,z=-2V2

(nJ-CF=0=J-2\[2y2=02

.•.芯=(2夜,1,-20

设二面角C-BF-E的平面角的大小为仇则

cos。=cos（7r-<西雨>）=一cos<耳底>=一=一7^=一警

.•・二面角C一BF-E的平面角的余弦值为一粤

考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义及计算，空间向量的应用.

八X2V2,.,石

21.（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆c：/+%•=1（。>人>0）的离心率e,

且椭圆C上的点到其焦点的距离的最大值为2+0,过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A、B

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上一点，且满足。4+O3=/OP（O为坐标原点），当|A@</时，求实数1的取值

范围.

【答案】（1）9+y2=1；（2）或仆

【解析】

试题分析：（I）利用椭圆性质求最值，求得相应值；（H）先由点P在椭圆上建立实数t与直线4B的斜率k之

间的关系，再由「正卜"求得k的范围，进而求得实数t的取值范围.

试卷第26页，总31页

试题解析：（I）•:e=±=B（1分）

a2

椭圆C上的点到其焦点的距离的最大值为a+c=2+y/3（2分）

解得”=2,c=g（3分），椭圆方程是二+-=1（4分）

4'

（II）设义与j/P（xj）一四方程为j=Hx-3）,

\=k（x-3）,

由，X22

---+=1.

14.

整理得（1+4二）x：-24Mx+36M-4=0.（5分）

由A=24kzk4-l6（9合一1）（1+4左：）＞0,得kYL

24k2交一（6分）

西+乂=-----

*1+4K1+铲

•1-QT+08=（再+巧J1+打）=t（x,J）

E1/、2&

则X=一（再+心）=------—,

t1*X1+4t）

11一6”

广产+川:收+七…+^^.（7分）

由点p在椭圆上’得„山（:，尸

化简得36M=r（1+4二）①（8分）

又由艮B|=Jl+K|x1-x21〈道\

即(1+K)l(玉+玉)~将再+七，七士代入得

24%4（36合一4）

Q+炉）<3,（9分）

（1+4F71+4好

化简，W（8Jt:-lX16Jt2+13）X

则8好一1>0.M>1,（10分）

8

85

由①，得『=坐1=9——

1+4左，1+4左一

联立②，解得3<，;<4,，_2«_6或斥<2.(12分)

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.弦长公式.

22.(本小题12分)已知函数/(x)=e*—Q/-b%(Q>0,bE/?).

(1)若Q=1,b=0,试证明：当％>0时，/(%)>0；

(2)若对任意Q>0,/(%)均有两个极值点%1，%2(X1<X2)*

①试求b应满足的条件；

②当a=：时，证明：/(%I)+/(%2)>2.

【答案】(1)见解析(2)①.b>1,②.见解析

【解析】

【分析】

(1)求出导数/'(X),求出其最小值，由最小值大于0,从而证明出结论.

(2)①首先/'(乃=0有两个不等的实根，再用导数研究f'(x)=g(x)的性质，求导g'Q),利用g'(x)的正负

确定9。)的单调性及最小值点，在b>l时，计算出g(0)<0,9(-*)>0,g(a+Va?+b)>0,由零点存在

试卷第28页，总31页

定理可得((x)