初中数学三角形专题训练50题含答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知AO=OB，OC=OD，AD和BC相交于点E，则图中全等三角形有（

）对．A．1对 B．2对 C．3对 D．4对2．两个同心圆的半径分别是和，则长为的大圆的弦一定和小圆（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定3．在△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，则下列结论正确的是(

)A．△ABC是直角三角形，且∠A=900 B．△ABC是直角三角形，且∠B=900C．△ABC是直角三角形，且∠C=900 D．△ABC不是直角三角形4．若菱形ABCD的对角线，，则菱形ABCD的面积为（

）A．16 B．16 C．32 D．645．用10根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余，重叠和折断），这个三角形一定是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形6．下列命题：①任何实数的0次幂都等于1；②有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；③三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三条边的距离相等；④若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形．正确的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是()A．10 B．8 C．6 D．58．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．∠ACB＝∠DBC，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB9．如图，把纸片沿折叠，当点A落在外部的点F处，此时测得，，则的度数为（

）A． B． C． D．10．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是、的中点，、交于点G，的中点为H，连接、．给出下列结论：①；②；③；④与相似．其中正确的结论有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．411．下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF12．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（

）A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点13．下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等14．已知直角三角形两边的长分别为6和8，则此三角形的周长为（

）A．24 B． C．或24 D．15．如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）16．如图1，已知，为的角平分线上面一点，连接，；如图2，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，；如图3，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；…，依次规律，第个图形中有全等三角形的对数是（

）．A． B． C． D．17．如图，若AC、BD、EF两两互相平分于点O，那么图中的全等三角形共有（

）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为()A． B． C． D．19．如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．420．如图，等边内部有一点，，，，在、上分别有一动点、，且，则的最小值是(

)A．5 B． C． D．7二、填空题21．等腰三角形的两边长为2和3，则等腰三角形的周长为________．22．若3，m，5为某三角形三边长，化简．______．23．如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠DPC＝______°．24．如图，在中，，，，分别是边、上的点，将沿折叠，使点落在的下方，当的边与平行时，的度数是_________．25．《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）．26．如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为______．27．如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CDAB，则∠BCD的度数是______．29．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A，以此类推，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A，则∠A的大小是___30．中，，，，圆是的内切圆，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）31．如图所示，一水库迎水坡的坡度，则求坡角的正弦值______．32．一根旗杆在离地面4.5m的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6m外，则旗杆折断前的高度是________．33．如图，的弦长为2，是的直径，．①的半径长为_________．②P是上的动点，则的最小值是_________．34．直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为___________．35．如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是____.36．在等边中，点D在边上，若，，则线段的长为______．37．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为________．38．已知点是面积为的的重心，那么的面积等于____39．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.40．如图，平行四边形ABCD中，点P为边AD上一个动点，连接BP，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BQ，连接AQ，若∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，则线段AQ的取值范围是______．三、解答题41．如图，已知，求证：．42．已知：如图中，BD平分交AC于点D，E为AB中点，过点A作，交DE延长线于点F.(1)求证：(2)当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.43．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°，连接AC．(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？44．尺规作图如图，中，，在边上找一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）45．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠1=35°，求∠2、∠B与∠A的度数.46．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．47．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．(1)如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；(2)判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；(3)当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．48．如图，在平面直角坐标系内有一正方形，点C坐标为，点D为的中点，直线经过点C，D并交x轴于点E，沿着折叠，顶点B恰好落在边上方F处，连接，点P为直线上的一动点，点Q是线段BE的中点．连接，．（1）求点F的坐标；（2）求出点P运动过程中，的最小值；（3）是否存在点P，使其在运动过程中满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．49．在中，，，为上一点，连结，将绕点逆时针旋转90°至，连结，过作交于，连结．（1）求证：．（2）试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．（3）若，，求．（注：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）50．如图1，在ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，如图2，连接CE，BD，CD．(1)当0°＜α＜90°时，求证：CE＝BD；(2)如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)在旋转过程中，求BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】由条件可证△AOD≌△BOC，可得∠A＝∠B，则可证明△ACE≌△BDE，可得AE＝BE，则可证明△AOE≌△BOE，可得∠COE＝∠DOE，可证△COE≌△DOE，可求得答案．【详解】解：在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠A＝∠B，∵OC＝OD，OA＝OB，∴AC＝BD，在△ACE和△BDE中∴△ACE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE，在△AOE和△BOE中∴△AOE≌△BOE（SAS），∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中∴△COE≌△DOE（SAS），故全等的三角形有4对，故选：D．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．2．B【分析】连接，作，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，即可得到判断．【详解】解：连接，作，∵，∴，在中，，∴点C在小圆上，∵，∴长为的大圆的弦和小圆相切，故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系，正确理解垂径定理是解题的关键．3．B【详解】,∴△ABC是直角三角形，∵AC是斜边,∴∠B=900,故B正确;故选B.4．C【分析】过A作AE⊥BC于E，由菱形性质和∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，解Rt△ABE求得AE即可解答；【详解】解：由题意作图如下，过A作AE⊥BC于E，由菱形的性质可得：AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=8，Rt△ABE中，AE=ABsin∠B=，∴菱形ABCD面积=BC•AE=，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数等知识；掌握菱形的性质是解题关键．5．B【分析】根据题意可知三角形的周长为10，再根据三角形的三边关系找到符合条件的三边，看符合哪类三角形即可．【详解】根据题意可知三角形的周长为10，又因为三角形任意两边之和大于第三边，∴最大边要小于5，∴三角形的三边可以为4，2，4或4，3，3．∴这个三角形一定是等腰三角形．故选B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的判定．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．6．B【分析】根据0指数幂的定义，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定，线段垂直平分线性质逐个进行判断即可．【详解】解：∵0的0次幂不存在，∴①错误；∵有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故②错误；∵三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故③错误；∵若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形，故④正确∴正确的个数为：1个．故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，0指数幂的定义，等腰三角形性质，等边三角形的判定的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解此题的关键．7．A【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分别为12和16，求得OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长．【详解】如图，∵菱形ABCD中，AC=12，BD=16，∴OA=AC=6，OB=BD=8，AC⊥BD，∴AB==10．即菱形的边长是10.故选：A.【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键．8．D【详解】解：根据题意知，BC=BC．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；C、由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项符合题意．故选：D．9．B【分析】设与交于D，由折叠可得，根据三角形的外角性质得到，，则由，即可求解．【详解】解：设与交于D，如图，∵，又，，故选：B．【点睛】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形外角的性质与折叠的性质是解题的关键．10．B【分析】利用正方形的性质和线段中点性质，证明，得到，即可判断①；利用勾股定理求，再利用三角形的面积公式求出的长，即可判断②；利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得到，进而得到，然后根据平行线的性质，得到，由勾股定理求出，再利用对应边成比例，夹角相等即可判断④；根据，得到，又因为，得到，进而得到，即可判断③．【详解】解：四边形为正方形，，，、分别是、的中点，，在和中，，，，，，，，①结论正确；，，，，，②结论错误；为的中点，，，，，，，，，，，，，④结论正确；，，，，，，与不平行，③结论错误，综上可知，正确的结论为：①④，故选B．【点睛】本题考查了三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的斜边中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题关键．11．D【详解】解：A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E，SSA不能确定全等；B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D，AB和EF不是对应边，不能确定全等；C．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AAA不能确定全等；D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，根据AAS，能判断△ABC≌△DEF．故选D．12．D【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，设P(x，y)，则===，∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，AC边上中线所在直线表达式为：，又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，∴点P是三条中线的交点，故选D．【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．13．D【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【详解】A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．14．C【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x为斜边两种情况讨论．【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当8为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，，此时这个三角形的周长=6+8+10=24；②当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，此时这个三角形的周长=，∴此三角形的周长为：或24．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，二次根式的化简，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．D【分析】连接AQ、PA，如图，利用切线的性质得到∠AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=，则AP⊥x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、PA，如图，∵PQ切⊙A于点Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ＝，当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，∵A（﹣3，2），∴此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理，垂线段最短．16．C【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．17．D【分析】根据AC、BD、EF两两互相平分于点O，则有OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；图中的对顶角有∠AOB与∠DOC，∠AOE与∠COF，∠BOF与∠DOE，∠AOD与∠BOC；根据两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）可得△AOB≌△DOC；△AOE≌△COF；再利用前面所证全等三角形，易证四边形ABCD是平行四边形，故△BOF≌△DOE；△AOD≌△BOC．【详解】解：∵AC、BD、EF两两互相平分于点O∴OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；∵∠AOB=∠DOC，∠AOE=∠COF，∠BOF=∠DOE，∠AOD=∠BOC；∴△AOB≌△DOC（SAS）△AOE≌△COF（SAS）∵OA＝OC，OB＝OD；∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC∴∠EDO=∠FBO，△AOD≌△BOC∴△BOF≌△DOE故图中所有的全等三角形有6对，分别是△AOB≌△DOC；△AOE≌△COF；△BOF≌△DOE；△AOD≌△BOC；△ABD≌△CDB；△ABC≌△CDA．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定；找寻全等三角形时要从最明显的开始，由易到难，不重不漏．18．D【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题．【详解】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．19．C【分析】①先证出AF=FD=CD，得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF，可得∠DCF=∠BCD，故①正确；②做辅助线延长EF，交CD延长线于M，先证△AEF≌△DMF（ASA），得到FE=MF即，再通过在中斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到CF=EF，故②正确；③根据EF=FM，可得，那么，再通过MC＞BE，得到，即，故③的正确；④先证FC=FE，设∠FCE=x，那么，再通过证∠DCF=∠DFC，那么，则，进一步证得，即可证得，故④错误．【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，即，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∴∵，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴，∴，∵MC＞BE，∴∴故③正确；④设∠FEC=x，∵CE⊥AB，，∴，∵F是EM的中点，∴FC=FE，∴∠FCE=x，∴，∵∴∠FCB=∠DFC∵∠DCF＝∠FCB；∴∠DCF=∠DFC∴∴，∴，∵，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．综上所述正确的是：①②③．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．20．A【分析】过作于，使，连接，，根据证明，得出，则，当的最小时，最小，当、、在同一条直线时，最小，根据勾股定理算出结果即可．【详解】解：如图，过作于，使，连接，，，，，，∵为等边三角形，，，，，，，∵在和中，，，，当的最小时，最小，当、、在同一条直线时，最小，在中，，，，∴的最小值是5，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明．21．7或8【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为2时，②当腰长为3时，解答出即可．【详解】解：根据题意，①当腰长为2时，周长=2+2+3=7；②当腰长为3时，周长=3+3+2=8，故答案为：7或8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．22．3m﹣18．【分析】先根据三角形三边关系确定m的取值范围，然后利用二次根式的性质化简即可．【详解】∵三角形的三边长分别为3、m、5，∴2＜m＜8，∴|2﹣m|﹣2|m﹣8|=m﹣2﹣2(8﹣m)=3m﹣18．故答案为：3m﹣18．【点睛】本题主要考查三角形三边关系和二次根式的性质，掌握三角形三边关系和二次根式的性质是解题的关键．23．112.5【分析】根据正方形的性质，可以得到∠PBC的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，求得∠BPC的度数，即可求得∠DPC的度数．【详解】解：∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴∠PBC=45°，∵BP=BC，∴∠BPC=∠BCP==67.5°，∴∠DPC=180°-∠BPC=112.5°，故答案为：112.5．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．24．或度【分析】根据三角形内角和，得的角度，根据折叠得，，；又根据，得，再根据三角形内角和，求出，最后根据三角形的外角和，即可求出．【详解】∵中，，∴∵是折叠得到的∴，∵∴∴∴∵∴∴．故答案为：或度．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内角和、外角和定理．25．【分析】先表示出的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知丈尺，门的对角线距离恰好为丈，门的对角线距离恰好为尺，∵高比宽多尺，设门高为尺，∴尺，∴可列方程为：，整理得：故答案为：．【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．26．【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案为：118°．【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．27．

（6）

（3）（5）【分析】利用全等图形的概念可得答案．【详解】解：（1）与（6）是全等图形，（2）与（3）（5）是全等图形，故答案为：（6），（3）（5）．【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．28．110°##110度【分析】根据等腰三角形性质，可得∠B＝∠ACB＝70°，再根据平行线的性质，即可求出∠BCD的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝（180°－40°）＝70°，∵，∴∠B＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°．故答案为：110°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用已知条件，进行正确的推理计算．29．3°##3度【分析】先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A=∠A，再依此类推得，∠A=∠A；…∠A5=∠A；找出规律，从而求∠A的值．【详解】∠BAC+∠ABC=∠ACD，2∠ACD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，∴2(∠BAC+∠ABC)=∠BAC+∠ABC，2∠BAC+2∠ABC=∠BAC+∠ABC，而2∠ABC=∠ABC，∴2∠BAC=∠BAC，同理，可得2∠BAC=∠BAC，2∠BAC=∠BAC，2∠BAC=∠BAC，2∠BAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BAC=∠BAC=∠BAC=∠BAC=∠BAC=96°÷32=3°，故∠A=3°．故答案为：3°．【点睛】此题考查三角形的外角性质，解题关键在于找到规律30．【分析】由，，，得到，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，于是得到的内切圆半径，图中阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去圆的面积，分别利用它们的计算公式即可得到图中阴影部分的面积【详解】∵

，，，∴

，∴

为直角三角形，∴

的内切圆半径，∴

图中阴影部分的面积．故答案为【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理，对于不规则图形的面积要灵活转化为规则图形的求法是解题的关键31．【分析】过点作于，根据坡度与坡角的概念得，设，，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的概念即可求出答案．【详解】过点作于，∵的坡度，∴，设，，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了坡度坡角的知识与解直角三角形的知识，熟练掌握坡度坡角的概念与勾股定理的应用是解本题的关键．32．12米【详解】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB==7.5（米）．故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．故答案为：12米．33．

2

【分析】①连接，易证是等边三角形，弦长为2，，即可得到答案；②先证，延长交于点E，连接交于点P，连接,则此时，即的最小值是的长，再用勾股定理求出即可．【详解】解：①连接，∵∴,∵，∴是等边三角形，∵弦长为2，∴，即的半径长为2，故答案为：2②∵，∴,∴，延长交于点E，连接交于点P，连接,则此时，即的最小值是的长，∵，∵，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．34．6【分析】利用勾股定理求解出另一条直角边，即可求解．【详解】解：∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为=4．该直角三角形的面积S=×3×4=6．故答案为6．【点睛】本题考查了了勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理求直角边．35．36°【分析】如图所示，△ABF中，根据内角和外角的关系，∠2=∠A+∠B；△EDG中，∠1=∠D+∠E；根据三角形内角和等于180°，得到∠1+∠2+∠C=180度．于是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，由于五个角的度数是相同，即可求得每一个角的度数．【详解】∵∠2=∠A+∠B；∠1=∠D+∠E，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，∵五个角的度数是相同，则每一个角的度数都是180°÷5=36°，故答案为36°【点睛】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，结合三角形内角和外角的关系，将所有角转化到一个三角形内，体现了数形结合思想和转化思想在解决数学问题时的魅力．36．1或3【分析】根据等边三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，∵△ABC是等边三角形，AB=4，AE⊥BC，∴BE=2，AE=2，∵AD=AD'=，由勾股定理得，DE=ED'==＝1，∴BD=2-1=1，BD'=2+1=3，∴线段BD的长为1或3，故答案为：1或3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一的性质解答．37．32【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1//A2B2//A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1//A2B2//A3B3，B1A2//B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故答案是：32．38．9【详解】试题分析：设AG交BC于点D，因为点是面积为的△的重心，所以BD=CD,AG=2GD,所以△的面积=的面积的,的面积=△的面积的=，所以△的面积=考点：三角形重心的性质.39．8【分析】看到已知的条件，想到第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为xcm，第三个正方形的边长为（）2xcm，以此类推，通过找规律求解.【详解】根据题意：第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为xcm，第三个正方形的边长为（）2xcm，此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的，所以第7个正方形的边长为，解得x＝8，所以正方形1的边长是8.故答案是8.【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，还考查了正方形的对角线与边长的关系.40．【分析】如图，过点分别作的垂线，分别交直线于点，过点作于点，证明，根据点于点重合，即时，取得最小值为，当取得最大值时，取得最大值，勾股定理求解即可．【详解】如图，过点分别作的垂线，分别交直线于点，过点作于点，中，，四边形是平行四边形四边形是平行四边形线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BQ，①当点于点重合，如图，则此时最小，最小值为②中，当取得最大值时，取得最大值，如图，当重合时，取得最大值，在中，综上所述故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论找到的最小值与最大值是解题的关键．41．见解析【分析】由是和的公共边，根据全等三角形的判定定理“”证明，即可证明．【详解】在和中，

，

∴．

∴【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．42．(1)见解析(2)AB＝BC时，四边形AFBD是矩形，证明见解析【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠BDE，然后利用“角角边”,证明，进而证明四边形是平行四边形，即可得证（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB＝90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB＝BC．（1）证明：E为AB中点，又（2）当△ABC满足：AB＝BC时，四边形AFBD是矩形；∵，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝BC，AD＝CD，BD平分∠ABC∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．43．(1)△ACD是直角三角形,见解析；(2)3600元.【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2=AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°；（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以100，即可求总花费．【详解】解：(1)在Rt△ABC中，∵AB=3m，BC=4m，∠B=90°，AB2+CB2=AC2∴AC=5cm，在△ACD中，AC=5cm，CD=12m，DA=13m，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；.(2)∵S△ABC=×3×4=6,S△ACD=×5×12=30，∴S四边形ABCD=6+30=36，费用=36×100=3600(元)【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．44．见详解【分析】做∠ABC的平分线，交AC于点P，点P即为所求作的点．【详解】解：如图，作∠ABC的平分线，交AC于点P，∵，∴∠PBC=∠C，∴PB=PC，∴点P即为所求作的点．【点睛】本题考查了在同一个三角形中，等角对等边，角平分线的尺规作图，熟知角平分线的尺规作图是解题关键．45．∠A=∠2=55°，∠B=35°.【详解】试题分析：利用直角三角形两锐角互余和同角的余角相等即可得解.试题解析：∵∠ACB=90°，CD是高，∠1=35°，∴∠A=∠2=90°－∠1=55°，∠B=∠1=35°．46．（1）证明见解析；（2）四边形EBFD是平行四边形，理由见解析【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，即可得到AD=BC，∠A=∠C，AB=CD，再根据E、F分别为AB、CD的中点，即可得到AE=CF，即可证明；（2）根据E、F分别为ABCD的中点即可得到DF=BE，再根据ABCD是平行四边形，即可得到DF∥BE，即可得到答案.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，AB=CD，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴，，∴，在和中，∴；（2）四边形EBFD是平行四边形，理由如下：∵E、F分别为ABCD的中点，∴，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，DF∥BE，∴，∴四边形EBFD是平行四边形.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.47．(1)100°(2)∠BAE＝∠CEF，理由见解析(3)∠AEF与∠BAE的数量关系是互余或2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．【分析】（1）根据三角形内角和定理解答即可；（2）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠CEF；（3）分别根据当∠AFE＝90°时，以及当∠EAF＝90°时利用外角的性质得出即可．（1）解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100°．（2）∠BAE＝∠CEF；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠CEF；（3）如图1，当∠AFE＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；如图2，当∠EAF＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，∴2∠AEF+∠BAE＝90°即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．【点睛】此题考查了三