【数学】上海市奉贤区2023-2024学年高一上学期期末练习试题（解析版）

上海市奉贤区2023-2024学年高一上学期期末练习数学试题一、填空题，考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.用描述法表示所有偶数组成的集合______________．【答案】【解析】所有偶数组成的集合为.故答案为：.2.函数的定义域是______________.【答案】【解析】函数有意义须，，所以函数的定义域为.故答案为:.3.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式是___________.【答案】【解析】将代入函数得，解得，所以此幂函数的表达式是.故答案为：.4.已知方程的两根为，，则__________.【答案】【解析】由题设知：，∴，，∴.故答案为：.5.已知，用有理数指数幂的形式表示____________.【答案】【解析】.故答案为：.6.：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的__________条件.【答案】充分不必要【解析】因为四边形是正方形，由正方形的定义知，的四个角都是直角，所以由可以推出，即是的充分条件，又四边形的四个角都是直角时，四边形可以为矩形，所以由推不出，即不是的必要条件，所以是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.7.不等式的解集用区间表示为______________.【答案】【解析】由，得到，等价于且，所以，即.故答案为：.8.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为__________.【答案】【解析】易知整个扇形纸扇完全打开后的面积为，未贴纸部分的扇形半径的长为，该部分面积为；所以贴纸部分的面积为.故答案为：.9.设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为______.【答案】1【解析】由题意可得：，，可知与的几何平均值为，当且仅当时等号成立，所以与的几何平均值最大值为1.故答案为：1.10.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的__________倍.【答案】100【解析】由题意可得：，解得，所以.故答案为：100.11.如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题：①由图知，即可以得到不等式；②由图知，即可以得到不等式；③由图知，即可以得到不等式.以上三个命题中真命题的是__________.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【解析】由题意利用三角形相似可得，即得，易知，又，所以由可得；即①正确；在中，易知，所以可得，由三角形相似可得，所以，由可得，即②正确；易知，利用勾股定理可得，所以由，即可以得，即③正确；故答案为：①②③.12.如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】根据题意由可得；函数在上存在均值点，即方程在上有解，设，则有在上有解；即，因此函数与图象有交点，而二次函数对称轴为，其在上的值域为，所以可得实数的取值范围是.故答案为：.二、选择题，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.以下图形中，不是函数图象是（）A. B.C D.【答案】A【解析】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.故选：A.14.下列命题中正确的是（）A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若且，则【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，故，所以选项A错误，选项C正确；因为，所以，又，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，所以选项B和D均错误.故选：C.15.某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（）（数学上，常用表示不大于的最大整数．）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】因为车间每装配完成一辆车，所以当时，，时，；时，；时，；时，，所以选项A正确，对于选项B，当时，，所以选项B错误，对于选项C，当时，，所以选项C错误，对于选项D，当时，，所以选项D错误.故选：A.16.已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题：①以、、为边长的三角形一定存在；②以、、为边长的三角形一定存在；则下列选项正确的是（）A.①成立，②不成立 B.①不成立，②成立C.①②都成立 D.①②都不成立【答案】A【解析】不妨设，则，即，对于①：显然，则，因为，可得，所以以、、为边长的三角形一定存在，故①正确；对于②：例如，此时，符合题设，但，所以、、不能构成三角形，故②错误.故选：A.三、解答题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米.（1）若居室总面积不少于48平方米，求的取值范围；（2）当宽为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？解：（1）由题知长方形的长为米，所以，由，得到，由，得到，即，解得，所以的取值范围为.（2）由（1）知，又，所以当时，有最大值为平方米.18.已知为实数，集合，.（1）求集合、；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）对于集合，当时，，当时，，当时，，对于集合，解不等式得：，即，所以.（2）由，可知，当时，，，此时，符合题意；当时，，，要使得，则，所以，当时，.，要使得，则，所以，综上所述：实数的取值范围为：.19.已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点.（1）当时，求的值；（2）若，求点的坐标.解：（1）由题意可得：，可得，若，则，所以.（2）因为，可得，即，解得或，所以点的坐标为或.20.已知函数（且）.（1）若，求函数的值域；（2）若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由；（3）若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围.解：（1）若可得函数，由指数函数值域易知，所以，因此可得，即该函数的值域为.（2）若，则函数，显然定义域为，假设存在正数，使得函数是偶函数，即满足，又易知，即可得，即，解得，此时为偶函数，符合题意，所以存在正数，使得函数是偶函数.（3）若，，则，取，且，则，若函数在上是严格增函数，则可知，由于，所以，又易知，所以在上恒成立即可，即，因此求得即可，因此可不予考虑，只需考虑时成立即可；当，易知，显然减函数，所以；当且仅当时，等号才成立，显然取不到等号，因此，即实数的取值范围为.21.定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.（1）判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；（2）求证：函数（且）不具有“性质”；（3）设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.解：（1）函数具有“性质”，因为，且，则，整理得，可得，解得，所以函数是否具有“性质”，此时.（2）假设函数（且）具有“性质”，则，则，解得，整理得，则，取，可得，解得；取，可得，解得；显然，即对任意，不存在实数、使得恒成立，假设不成立，所以函数（且）