【数学】上海市松江区2023-2024学年高一上学期期末质量监控试卷 （解析版）

上海市松江区2023-2024学年高一上学期期末质量监控数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知全集，集合，则______________.【答案】【解析】因为全集，集合，所以.故答案为：.2.用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“___________”.【答案】且【解析】根据反证法的原理可知，求证或时，应首先假设且.故答案为：且.3.已知方程的两个根为，则_________.【答案】6【解析】由，得，所以.故答案为：6.4.函数的定义域是___________．【答案】【解析】要使函数有意义，需满足，所以函数定义域为.故答案为：.5.将化简为有理数指数幂的形式_______________.【答案】【解析】.故答案为：.6.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】为幂函数，可设，，解得：，，.

故答案为：.7.设，为正数，且，则最小值是__________.【答案】2【解析】，当且仅当时取等号，则最小值是.故答案为：.8.已知，用、的代数式表示_________.【答案】【解析】由可得，所以.故答案为：.9.设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】因为在上是严格增函数，所以，因为，所以在单调递减，所以，又因为，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.10.已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是_________________.【答案】【解析】因为关于的不等式有实数解，所以，当时，，当时，，当时，，所以，即，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：.11.已知函数是奇函数.其定义域为，且满足，当时，，则_________.【答案】【解析】由题意，所以是周期为4的周期函数，又函数是上的奇函数，且当时，，所以.故答案：.12.已知函数的表达式为，若方程有四个不相等的实根，且，则值范围是______________.【答案】【解析】当时，，函数关于直线对称，画出函数的图象，如图所示：，方程有四个不相等的实根，函数与有4个交点，由函数的图象可知，即的取值范围为：，由函数的图象可知：，，且，，，，，，，令，，，设，则，，根据对勾函数单调性其单调递增，则，又，设，，对称轴为，则，即，即范围为.故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】充分性：因为：整数能被2整除，所以设此数为，则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立；必要性：因为：整数能被6整除，所以设此数为，则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立，综上所述，是的必要非充分条件.故选：B.14.已知，设，则与的值的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时等号成立，故.故选：D.15.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由表格可得，函数的零点在之间，结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选：C.16.设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题 B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题 D.①②都是假命题【答案】A【解析】对于①：当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，则，不符合题意；当时，，则，不符合题意；当时，；则符合题意，不符合题意；综上，是单元素集，故①正确；对于②：当为整数时，成立；当不为整数时，设（为整数，），当时，，，此时，成立；当时，，则，，此时，成立；当时，，，此时，成立；综上，对于任意，成立，故②正确.故选：A.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合.（1）若，求和；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，所以，.（2）因为“”是“”的充分条件，所以，又因为，所以，所以，所以实数的取值范围为.18.解下列不等式：（1）；（2）.解：（1）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集为.（2）当，即时，，得，此时，，当，即时，，得，此时，，综上所述，，即不等式的解集为.19.已知函数的表达式.（1）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由.（2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由.解：（1）在单调递减，理由如下：任取，且，则，因为，，所以，所以，所以在单调递减.（2）存在实数，使得函数是奇函数，理由如下：定义域关于原点对称，由，则，则，即存在实数满足题意，.20.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示：101520253090951009590已知第10天的日销售收入为459元.（1）求的值；（2）给出以下四种函数模型：①;②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式：（3）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值.解：（1）因为第10天的日销售收入为459元，所以，解得.（2）由表可知，随的增加先增加后减小，模型①③④均为单调函数，所以②模型符合题意，所以代入，解得，所以.（2）由（1）知，，由（2）知，，所以，所以，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，在单调递减，所以，因为，所以函数的最小值为441.21.对于定义域为的函数，若存在区间(其中，使得函数同时满足：①函数在上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是时，函数的值域也是,则称是函数的“等域区间”（1）若区间是函数的“等域区间”，求实数的值；（2）判断函数是否存在“等域区间”，并说明理由；（3）若区间是函数的一个“等域区间”，求的最大值.解：（1）函数是R上的增函数，由区间是函数的“等域区间”，得，解得，所以.（2）函数在和上都单调递增，假设是函数的“等域区间”，则在上单调，于是或，因此在