山东省泰安市东平县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题含答案解析

2023~2024学年第一学期期中质量检测九年级数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟；2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡或答题纸交回．第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）1.若函数的图象过点，则此函数图象位于（）A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值，然后根据反比例函数的性质判断图象的位置．【详解】解：∵函数的图象过点，∴k=1×=>0，所以反比例函数的图象分布在第一、三象限．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．2.已知反比例函数，下列结论不正确的是（）A.图象必经过点 B.若，则C.图象在第二、四象限内 D.随的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质求解即可．【详解】解：当，，∴图象必经过点，A结论正确，故不符合题意；∵，∴图象位于第二、四象限，C正确，故不符合题意；若，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，故若，则，故B结论正确；故不符合题意；在第二或第四象限中，y随x的增大而增大，D错误，故符合要求；故选：D．3.对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小．其中错误的结论为（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】解：对于抛物线，∵，∴抛物线的开口向上，故①错误；对称轴为直线，故②错误；顶点坐标为，故③正确；∴当时，y随x的增大而增大，故④错误；综上所述，结论错误的个数是①②④共3个．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的几种形式的基本性质是解本题的关键．的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大；当，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大．4.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：在反比例函数中，，此函数图象在二、四象限，，点，在第二象限，，，函数图象在第二象限内为增函数，，．，点在第四象限，，，，的大小关系为．故选：C．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．5.如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，即可求解．【详解】解：如图，取格点D，连接，根据题意得：，，，∴，∴，∴．故选：D6.将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.【详解】解：将抛物线化为顶点式，即：，将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：，A选项代入，，不符合；B选项代入，，符合；C选项代入，，不符合；D选项代入，，不符合；故选：B．【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．7.春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A.经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到B.室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了C.当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D.当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内【答案】C【解析】【分析】利用图中信息一一判断即可．【详解】解∶由图象可知，经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，故A选项正确．不符合题意．设0<x<5时函数解析式为y1=k1x，把（5，10）代入得，k1=2，∴y1=2x，∴y1=8时，x=4，15-4=11，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，故B选项正确，不符合题意；由图象可知，y=5时，x<5或x>15，设反比例函数解析式为y2=，把（15，8）代入得：8=，解得：，∴，当y1=5时，x1=2.5，当y2=5时，x2=24，24-2.5=21.5＜35，故C选项错误，符合题意；当y1=2时，x1=1，当y2=2时，x2=60，60-1=59，故D选项正确．不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．8.给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=；④y=x2．x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【详解】解:当x<0时，①y=−x，③，④y随x的增大而减小；②y=x，y随x的增大而增大.故选C.9.如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）A.12海里 B.6海里 C.12海里 D.24海里【答案】B【解析】【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可．【详解】解：如图，过点作，由题意，得：，在中，，在中，，∴，∴；故选B【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．10.在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．【详解】解：A．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意；B．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意；C．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意；D．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．11.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y=（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）A.4 B.6 C.8 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】由四边形OABC是矩形，F是BC的中点，可设F（m,n）,则B（m,2n）,又E点在抛物线上，则E（,2n）.可以用含m,n的式子表示出矩形OABC，三角形AOC和三角形BEF的面积.F在反比例函数的图形上可得到mn的关系，再依据S四边形ACFE=S矩形OABC-S△AOC-S△BEF.即可求.【详解】解：∵边形OABC是矩形，F是BC的中点，∴可设F（m,n）,则B（m,2n）,又E点在抛物线上，则E（,2n），∵F在抛物线上，∴mn=8,∵F（m,n）,B（m,2n）,E（,2n），∴OA=2n,AB=OC=m,AE=,BF=n,∴S矩形OABC=2mnS△AOC=×OA×OC==×2n×m=mn,S△BEF=×BE×BF=×(m-)×n=mn-4,∵S四边形ACFE=S矩形OABC-S△AOC-S△BEF,∴S四边形ACFE=2mn-mn-(mn-4)=mn+2,∵mn=8,∴S四边形ACFE=mn+2=6.【点睛】依据矩形的性质设出点的坐标，会转化四边形ACFE的面积，并会运用反比例函数的性质是解本题的关键.12.如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，结合图像分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图像经过点A，则点在第三象限；⑤点M是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】①根据二次函数图象与系数的符号判断即可；②根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式可得；③当时，随的增大而增大；④由直线经过点A可得k与b的数量关系，进行判断．⑤设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出，进而根据求出．【详解】解：抛物线开口向上，，对称轴是直线，，，抛物线交轴的负半轴，，，故①正确；抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即，将代入，得，，故②错误；观察图象可知，当时，随的增大而增大，故③错误；∵一次函数的图像经过点A，将代入得，解得，∵，∴，∴点在第三象限，故④正确；抛物线经过，，设抛物线的解析式为，，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．，，，，，，，，，，，故⑤正确，故正确的有，共3个．故选C．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）13.若式子有意义，则实数的取值范围是____________．【答案】且【解析】【分析】式子有意义，则x+1≥0，x-3≠0，解出x的范围即可.【详解】式子有意义，则x+1≥0，x-3≠0，解得：，，故答案为且.【点睛】此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，及解不等式是解决本题的关键.14.若是关于的二次函数，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案．【详解】解；∵是关于的二次函数，∴，解得，故答案为；．15.在△ABC中，，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论：当AD在△ABC的内部时，当AD在△ABC的外部时，即可求解．【详解】解：如图，当AD在△ABC的内部时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；如图，当AD在△ABC的外部时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；综上所述，BC的长为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．16.抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为____．【答案】1或4【解析】【分析】寻找一元二次方程与抛物线表达式的联系：发现一元二次方程可化为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，表示该方程的解是抛物线向右平移2个单位长度后，y=3时，平移后抛物线上对应的点的横坐标；根据平移前抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），向右平移2个单位长度后经过点A（1，3），B（4，3），即可得到结果【详解】a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c设y′′＝3当y′＝y′′时即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4故答案为：1或4【点睛】本题考查抛物线的几何变换和一元二次函数与一元二次方程的关系，突破点在于找到一元二次方程与一元二次函数的关系17.如图，抛物线过，，轴于点，四边形为正方形，点在线段上，点在此抛物线上，且在直线的左侧，则正方形的边长为________．【答案】【解析】【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，再设正方形CDEF的边长为a，利用BC⊥x轴和B点坐标可表示出D（1，a），根据正方形的性质可表示出E（1﹣a，a），接着把E（1﹣a，a）代入y=﹣x2+x+2得到关于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可确定正方形CDEF的边长．【详解】把A（0，2），B（1，3）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，设正方形CDEF的边长为a，则D（1，a），E（1﹣a，a），把E（1﹣a，a）代入y=﹣x2+x+2得﹣（1﹣a）2+（1﹣a）+2=a，整理得a2+3a﹣6=0，解得a1=，a2=（舍去），所以正方形CDEF的边长为．故答案是：．【点睛】考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程．18.如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是_______．（所有正确的序号都填上）【答案】①②【解析】【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识．中令得：，得，从而判断①；中令得：，得，从而判断②；过点作轴，交于点，求出的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．【详解】解：∵抛物线与x轴相交于于点，，∴令得：，解得：，∴，∴，故①正确；∵抛物线与y轴相交于于点C，∴令得：，∴，∴，故②正确；过点作轴，交于点，如图1所示．设直线的解析式为，将、代入，得，解得，直线的解析式为．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，点的坐标为，则点的坐标为，，，当时，面积取最大值，最大值为．故③错误，故答案为：①②．三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19.计算（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据分母有理化法则、二次根式的乘法法则以及特殊角三角函数值代简穰项后，再进行加减运算即可；（2）首先计算负整数指数幂、化简二次根式和代入特殊角三角函数值，然后再进行合并即可得到答案．【详解】解：（1）====；（2）===【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算顺序和特殊角三角函数值是解答本题的关键．20.如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知点的高度为，台阶的坡度为，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件（1）求出点A到点C的距离．（2）求出树高度．（测量器的高度忽略不计．）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度与仰角问题，理解题意是解题关键；（1）由坡度先求解，从而可得答案；（2）作，设，根据得出，根据得出，根据得出，然后根据求出x的值即可．【小问1详解】解：∵点的高度为，台阶的坡度为，∴，∴，∴；【小问2详解】过作于F，则四边形为矩形，如图，∴，，设，在中，．在中，∵，，∴．在中，．∴，∵．∴，解得．答：树的高度为．21.如图，一次函数＝kx＋b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；（3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围．【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2【解析】【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可；（2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可；（3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果．【详解】解：（1）∵过点A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函数：，当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1）y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1）代入得，解得，∴一次函数解析式为y1＝x＋1，（2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）∵S△AMN＝1∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，－5），（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1∴y3＝x－1，联立得解得或∴C（－1，－2），D（2，1），在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3，∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．22.某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）…253035…日销售量y（千克）…11010090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）30元（3）40元；1600元【解析】【分析】（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）销售利润=销售量每千克所获得的利润，得，解出方程；（3）构造，利用二次函数的最大值问题解决．【详解】解：（1）设一次函数表达式为，将代入，得解得．（2）根据题意，得，整理，得，解得（不合题意，舍去）．答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．（3）方法1：设日销售利润为w元．．，抛物线开口向下，又，当时，w随x的增大而增大．当时，w有最大值，（元）．答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．方法2：设日销售利润为w元．，，抛物线开口向下，对称轴为直线．当时，w随着x的增大而增大，当时，w有最大值，（元）．答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程、二次函数的综合运用，是应用题中的典型，也是中考必考题型．23.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（，），AB=1，AD=2．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数（）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．【答案】（1）B（，），C（，），D（，）；（2）m=4，．【解析】【详解】试题分析：（1）由矩形的性质即可得出结论；（2）根据平移的性质将矩形ABCD向右平移m个单位，得到A′（，），C（，），由点A′，C′在反比例函数（）的图象上，得到方程，即可求得结果．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∵A（，），AD∥x轴，∴B（，），C（，），D（，）；（2）∵将矩形ABCD向右平移m个单位，∴A′（，），C（，），∵点A′，C′在反比例函数（）图象上，∴，解得：m=4，∴A′（1，），∴，∴矩形ABCD的平移距离m=4，反比例函数的解析式为：．考点：1．反比例函数综合题；2．坐标与图形变化-平移．24.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．