理论力学课件

1第二章平面汇交力系与平面力偶系§

2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法§

2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法§2-3平面力对点之矩的概念及计算

§2-4平面力偶理论2

汇交力系;平面汇交力系;空间汇交力系.作用在刚体上的汇交力系是共点力系.

由于汇交力系是共点力系,其合成可用几何法和解析法.(1)几何法:平行四边形法;三角形法和多边形法.§

2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法3应用合矢量投影定理进行汇交力系的合成.R=

FiRx=

FixRy=

Fiy汇交力系的平衡

汇交力系平衡的必要和充分条件是汇交力系的合力等于零.=0§

2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法4(1)汇交力系平衡的几何条件

汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形封闭.(2)汇交力系平衡的解析条件

Fix=0

Fiy=0三力平衡定理:一刚体受不平行的三力作用而处于平衡时,此三力的作用线必共面且汇交于一点.5证明:

设有不平行的三力F1,F2和F3分别作用在一刚体的A,B和C三点而平衡.ABCF1F2F3AF1F2F3RO

根据力的可传性将力F2F3移至其作用线的交点OR=F1+F2F1于R

必等值,反向,共线.F1+F2+F3=0F1+R=06例题2-1.画出组合梁ACD中AC和CD部分及整体的受力图.PADBC解:组合梁由AC和CD两部分组成.

两部分均为三点受力而平衡.7PADBCRDCD杆上力P的方向已知且D点的约束反力的方位可以确定,因而应先画CD杆的受力图.ORC8PADBCPADBCRBRARBRA分别画AC杆和整体的受力图.RDRC

I9例题2-2.如图所示的平面刚架ABCD,自重不计.在B点作用一水平力P,设P=20kN.求支座A和D的约束反力.PADBC2m4m10PADBC2m4m解:取平面钢架ABCD为研究对象画受力图.RA

平面刚架ABCD三点受力，C为汇交点.RD

CPRA取汇交点C为研究对象.tg=0.5

Fix=0

P+RAcos=0RA=-22.36kN

Fiy=0RAsin+RD=0RD

=10kNRD11例题2-3.图示为简易起重机.杆AB的A端是球形支座.CB与DB为绳索.已知CE=ED=BE.=30o.

CBD平面与水平面的夹角

EBF=30o,且与杆AB垂直.C点与D点的连线平行于y轴.物块G重W=10kN.不计杆AB及绳索的自重.求杆AB及绳索CB和DB所受的力.GWABCDEF

12GWABCDEF

解:取销钉B和物块G为研究对象.杆AB为二力杆.CB和DB为柔绳约束.画受力图.xySzTCTD13GWABCDEF

xySzTCTD写出力的解析表达式.W=-10kS=Ssin30oi+Scos30okTC=-TC

sin45ocos30oi-TC

cos45oj

+TC

sin45osin30okTD=-TD

sin45ocos30oi+TD

cos45oj+TD

sin45osin30ok14写出平衡方程求解

Fix=0Ssin30o-TC

sin45ocos30o-TD

sin45ocos30o

=0(1)

Fiy=0-TC

cos45o

+TD

cos45o

=0(2)

Fiz=0-10+Scos30o+TC

sin45osin30o+TD

sin45osin30o

=0(3)联立(1)---(3)式得：S=8.660kNTC

=TD

=3.535kN15

取杆AB为z轴

画受力图.GWABCDEF

xSzTCTDyTD=TDiTC

=TCjS=S

kW=-10sin30ocos45oi-10sin30ocos45oj-10cos30ok16写出平衡方程求解

Fix=0TD

-10sin30ocos45o

=0TD

=3.535kN

Fiy=0TC

-10sin30ocos45o=0TC

=3.535kN

Fiz=0S-10cos30o=0S=8.660kNGWABCDEF

xSzTCTDy17§2-3平面力对点之矩的概念及计算(1)力对点的矩mo(F)=r×F

mo(F)表示力F绕O点转动的效应.O点称为矩心.力矩矢是定位矢量.

力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;力矩在力矩平面内的转向.力矩的几何意义:mo(F)=±2

OAB面积=±Fd力矩的单位:N·m或

kN·m1819§2-4平面力偶理论(1)力偶(F,F

)力偶与力偶矩由大小相等,方向相反而不共线的两个力组成的力系.ABFF´力偶所在的平面为力偶作用面.力偶两力之间的垂直距离d

称为力偶臂20

力偶没有合力.因此力偶不能与一个力等效,也不能用一个力来平衡.力偶只能与力偶等效,也只能与力偶平衡.(2)力偶矩矢m=

rBA×F=rAB×F´ABFF´rBAdm

在平面问题中则有m=±Fd21(3)力偶两力的矩之和定理:ABFF´rBAdm

rB

rAO证明:在空间任取一点o为矩心.mo(F,F´)=mo(F)+mo(F´)=

rBA×F=(rB-rA)×F=rB×F+rA×F´=m

力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和等于该力矩矢,而与矩心的选择无关.22(4)力偶的等效条件:力偶矩矢相等.推论1:只要力偶矩矢保持不变.力偶可以从刚体的一个平面移到另一个平行的平面内,而不改变其对刚体的转动效应.推论2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会改变它对刚体的转动效应.推论3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任意改变力偶的力的大小和力臂的长短,而不改变它对刚体的转动效应.力偶矩矢是自由矢量.23(5)平面力偶系的平衡.对于平面力偶系则有:

mi=0例题2-4.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?60o60oABCDm1m224解:取杆AB为研究对象画受力图.

杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.RC

mi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR

(1)60o60oABCDm1m2RA25取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定,则D点约束反力方

位亦可确定.画受力图.60o60oDm2BCARDRC

RD=RC

=RCD=a

mi=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR

(2)联立(1)(2)两式得:26第三章平面任意力系

§

3-1平面任意力系向作用面内一点简化

§

3-2平面任意力系的简化结果分析

§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程

§3-4平面平衡力系的平衡方程

§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题

§3-6平面简单桁架的内力计算

例题

返回27力线平移定理

作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩.28证明:设一力F作用于刚体的A点上,且此力到指定点O的距离为d.AodFF1F2AodFF1F2AodFmF1+F2=0F1=F2=F[F1,(F2,F)][F1,m=Fd]mo(F)=Fd=m

一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶.反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F其作用点到力作用线的距离为29§

3-1平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向一点简化的实质是一个平面任意力系变换为平面汇交力系和平面力偶系(1)主矢和主矩A1A2AnF1F2Fn

设在刚体上作用一平面任意力系F1,F2,…Fn各力作用点分别为A1,

A2,…

An

如图所示.o在平面上任选一点o为简化中心.30根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1',F2',…Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,…mn的附加平面力偶系.其中oF1'F2'Fn'm1m2mnF1

=F1,

F2'=F2,…Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)31将这两个力系分别进行合成.

一般情况下平面汇交力系F1',F2',…Fn'可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.R'=F1'+F2'+…+Fn'=F1+F2+…+Fn

R'=

Fi

一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩Mo称为原力系对于简化中心O的主矩.Mo=m1+m2+...+mn

=mo(F1)+mo(F2)+...+mo(Fn)Mo

=

mo(Fi)32结论:平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩,并等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和.

力系的主矢

R'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向与简化中心的位置无关.

力系对于简化中心的主矩Mo

,一般与简化中心的位置有关.33§

3-2平面任意力系的简化结果分析(a)R'

0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心O的合力

R',且R'=

Fi(b)R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且Mo

=

mo(Fi)(c)R'

0,Mo

0力系可以简化为一个合力R,其大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中心点O的距离为:34(d)R'=0,Mo

=0原力系为平衡力系.其简化结果与简化中心的位置无关.(3)合力矩定理

dOAR

当平面任意力系简化为一个合力时,合力对力系所在平面内任一点的矩,等于力系中各力对同一点的矩的代数和.mo(R)=R

OA=R'

OA=MOMO=

mo(Fi)

mo(R)=

mo(Fi)35(4)固定端支座:AXAmA既能限制物体移动又能限制物体转动的约束.AYAABCF1F2F3例题3-1.正三角形ABC的边长为a,受力如图.且

F1=F2=F3=F

求此力系的主矢;对A点的主矩及此力系合力作用线的位置.36解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60o-F3cos60o=-2FRy=F2sin60o-F3sin60o=0R=2F求对A点的主矩MA=aF2sin60o=0.87aFMAABC2Fd求合力作用线的位置37例题3-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离.AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:求力系的主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32kN38求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o

R'MA

=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o

=32.64kN·mMARd39(5)平面平行力系的简化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo

设在某一物体上作用有一个平面平行力系F1,F2,…Fn

取坐标原点O为简化中心将力系简化可得主矢R'和主矩MO,其中R'=

Fi=

YiMO=

mo(Fi)=

F

x40简化结果的讨论xyRAxo(1)R'

0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心

O的合力R',且R'=

Fi=

Yi(2)R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且MO=

mo(Fi)=

F

x(3)R'

0,Mo

0力系可以简化为一个合力R

R=R'=

Fi=

Yi41平行分布的线荷载xABAabBqqx(1)定义

集中力;分布荷载;平行分布线荷载(线荷载)线荷载集度qN/m;kN/m均布线荷载非均布线荷载荷载图42(2)均布线荷载AabBqRCl/2lABabqCl/2lR合力大小:R=

q

xi=q

xi=ql合力作用线通过中心线AB的中点C

xiq

xi43(3)按照线性规律变化的线荷载ABbqmdxCx2l/3lRqdx合力大小:合力作用点C的位置44例题3-2.求图示按线性规律变化的线荷载的合力大小和合力作用点C的位置.ABabq1q2l45解:(1)ABabq1q2lRCdxqdx46(2)应用叠加原理ABabq1q2lABq1lABq2-q1lABq1lR1=q1lABq2-q1lC1C22l/347

利用同向平行力的合成得:RCABlR1R2C1C2R=R1+R248§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1)平面任意力系的平衡条件

平面任意力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零.R'=0MO=0(2)平面任意力系的平衡方程(a)一力矩式

Xi=0

Yi=0

mo(Fi)=049(b)二力矩式投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.(c)三力矩式三个矩心A,B

和C不在一直线上.

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

Xi=0

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

mC(Fi)=050例题3-3.在水平梁AB上作用一力偶矩为m的力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为

,如图所示.梁长为l且自重不计.求支座A和B的反力.l/2l/2ABCmP

51解:取水平梁AB为研究对象画受力图.XAYA

Xi=0XA-Pcos

=0XA=Pcos

mA(Fi)=0

Yi=0YA-Psin

+RA=0l/2l/2ABCmP

RA52例题3-4.图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m,高0.8m,壁及底厚10cm水深为50cm.求1m长度上支座的约束反力.槽的单位体积重量

(=24.5kn/m³.)0.5m0.8m1mABC53解:取水槽为研究对象画受力图.XAW1=24.5×1×1×0.1=2.45kNW2=24.5×1×0.7×0.1=1.715kNF=0.5×(1×9.8×0.5)×0.5×1=1.225kNW=(1×9.8)×1×0.9×0.5=4.41kN0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m54利用平衡方程求解:XA

+F=0XA=-1.225kN

Yi=0YA

-W-W1-W2=0YA=8.575kN

mA(Fi)=0mA-(0.5-0.333)F-0.45W-0.5W1-0.95W2=0mA=5.043kN.m

Xi=0XA0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m55例题3-5.一容器连同盛装物共重W=10kN,作用在容器上的风荷载q=1kN/m,在容器的受力平面内有三根杆件支承.求各杆所受的力.2m2mWqABCD30o30o30o30o60o56解:杆件AD,AC和BC都是二力杆.取容器为研究对象画受力图QSADSACSBCQ=1×2=2kN2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m57利用平衡方程求解:2×1-10×1-SBCcos30o×2=0SBC=-6.928kN

mA(Fi)=0QSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m58

mC(Fi)=010×2-2×(1+2cos30o)+SAD

×4cos30o=0SAD=-4.196kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m59

mE(Fi)=02×(2cos30o-1)+2SAC=0SAC=-0.732kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m60§3-4平面平行力系的平衡方程

平面平行力系平衡的必要和充分条件是:力系中所有各力的代数和等于零,以及这些力对于任一点之矩的代数和等于零.(a)一力矩式

Fi=0

mo(Fi)=0(b)二力矩式

mA(Fi)=0

mB(Fi)=061§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题(1)静定与静不定问题

对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目.则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题.

若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题.(2)物体系统的平衡62

物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统.解静定物体系统平衡问题的一般步骤:(a)分析系统由几个物体组成.(b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个体为研究对象进行受力分析并画受力图.(c)列平衡方程并解出未知量63例题3-6.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P=20kN,均布荷载q=4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力.1m2m2m3mABCqP64解:取整体为研究对象画受力图.XAYAXBYB

mA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kN

Yi=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN1m2m2m3mABCqP

Xi=04×3+XA+XB=0(1)65取BC为研究对象画受力图.XCYC1m3mBCPXB19.5kN

mC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3XB=0XB

=-6.33kN(2)把(2)式代入(1)式得:XA=-5.67kN66例题3-7.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P=30kN,Q=20kN,

=45o.求支座A和C的约束反力.2m2m2m2m

PQABC67解:取整体为研究对象画受力图.

Xi=0XA-20cos45o=0XA=14.14kN

Yi=0YA-30-20sin45o+RC=0(1)2m2m2m2m

PQABCRCXAYAmA

mA(Fi)=0mA-2×30-6×20sin45o+8RC=0(2)68取BC杆为研究对象画受力图.2m2m

QBCXBYBRC

mB(Fi)=0-2×20sin45o+4RC=0RC

=7.07kN(3)

把(3)式分别代入(1)和(2)式得:YA=37.07kNmA=31.72kN.m69例题3-8.构架的尺寸及所受荷载如图所示.求铰链E和F的约束反力.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500N70解:取整体为研究对象画受力图.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500NXAYARB

Xi=0XA

+500=0XA=-500N71取AEGC杆为研究对象画受力图.2m2m2mACEG500N500NYAXEXGYEYG

mG(Fi)=02×500-2XE+4×500=0XE

=1500N72

取DEF杆为研究对象画受力图.YE'XFYF1500N

Xi=0XF-1500=0XF=1500N

mE(Fi)=02×500+2YF=0YF

=-500N

Yi=0-500-YE'+(-500)=0YE'=-1000N500N2m2mDEF73例题3-9.求图示构架在水平力P作用下支座A和B的约束反力.PaaaaABCDEFGH74解:取整体为研究对象.PaaaaABCDEFGH75画整体受力图.XAXBYB

mA(Fi)=02aYB

-2aP=0YB=P

Yi=0YA+P=0YA=-P

Xi=0XA+XB+P=0(1)PaaaaABCDEFGHYA76

取CFGHE为研

究对象画受力图.PCEFGHYCXCXEYE

mE(Fi)=0-2aYC-aP=0取CFG为研究对象画受力图.CFGXCYCYGXG

mG(Fi)=077取ACD为研究对象画受力图.DACXAYAXC'YC'XDYD

mD(Fi)=0(2)把(2)式代入(1)式得:78(1)基本概念桁架:由一些直杆在两端用铰链彼此连接而成的几何形状不变的结构.平面桁架:桁架中所有杆件的轴线都位于同一平面内.节点:杆件与杆件的连接点.

三根杆件用铰链连接成三角形是几何不变结构.§3-6平面简单桁架的内力计算79简单桁架:在一个基本三角形结构上依次添加杆件和节点而构成的桁架.ABCDEABCDE

由简单桁架联合而成的桁架为联合桁架.80(2)平面桁架的基本假设(a)各杆件都用光滑铰链连接.(b)各杆件都是直的,其轴线位于同一平面内,且通过铰链的中心.(c)荷载与支座的约束反力都作用在节点上且位于轴线的平面内.(d)各杆件的自重或略去不计,或平均分配到杆件两端的节点上.桁架中各杆都是二力杆,杆件的内力都是轴力.81节点法

节点法的理论基础是平面汇交力系的平衡理论.在应用节点法时,所选取节点的未知量一般不应超过两个.零杆:在一定荷载作用下,桁架中内力为零的杆件.S1=0S2=01231212S1=0PS2S1=0S3S282例题3-10.判定图示桁架中的零杆.ABCDEFGHIPP解:AB和BC是零杆.CI是零杆.EG是零杆.EH是零杆.83例题3-11.一屋顶桁架的尺寸及荷载如图所示,试用节点法求每根杆件的内力.5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m84解:取整体为研究对象画受力图.RARH去掉零杆BC和FG5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m85

mA(Fi)=0-10×(4+8+12)-5×16+16RH

=0RH=20kNRA=20kN取节点A为研究对象画受力图.5kNA20kNSACSAB

sin

=0.6cos

=0.8

Yi=020-5+0.6SAC=0SAC=-25kN

Xi=0(-25)×0.8+SAB=0SAB=20kN取节点B为研究对象画受力图.

Xi=0SBA-20=0SBA=20kN20kNSBAB86联立(1)(2)两式得:SCD=-22kNSCE=-3kN10kND-22kN-22kNSDE

Yi=0根据对称性得:SDG=-22kNSGE=-3kNSGH=-25kN0.8[-(-22)-(-22)]-10-SDE=0SDE=25.2kN10kNCSCD-25kNSCE

取节点C为研究对象画受力图.

Xi=00.8×[SCD+SCE-(-25)]=0(1)

Yi=00.6×[SCD-SCE-(-25)]-10=0(2)取节点D为研究对象画受力图.87截面法

截面法的理论基础是平面任意力系的平衡理论.在应用截面法时,适当选取截面截取桁架的一部分为研究对象.所选断的杆件的数目一般不应超过三根.

截面法的关键在于怎样选取适当的截面,而截面的形状并无任何限制.88例题3-12.图示为某铁路桥中的一跨,设机车的一段进入桥梁时,桥梁所受的荷载是P=300kN,Q=800kN,Q1=550kN.试用截面法求杆件DF,DG和EG的内力.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7m89解:取整体为研究对象画受力图.

mH(Fi)=0RA-55RA+(49.5+44+38.5+33+27.5)P+22Q1+(16.5+11+5.5)Q=0RA

=1750kNPPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRH90取m—m截面把桁架分为两部分.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRARHmm91取左部分为研究对象画受力图.SDFPPABCDERAGSDGSEG

mG(Fi)=0(5.5+11)P-16.5RA-7SDF=0SDF=3275kNYi=0SDG=-1462.5kN

mD(Fi)=0-11RA+5.5P+7SEG=0SEG

=2514kN92例题3-13.悬臂式桁架如图所示,试求杆件GH,HJ和HK的内力.2m2m2m2m1.5m1.5mABEHKDGJCFILP93解:取m—m截面把桁架分为两部分.2m2m2m2m1.5m1.5mABEHKDGJCFILPmm94

取右半桁架为研究对象画受力图.

mI(Fi)=03SHK-6P=0SHK=2PSHKSHJSGISGJn

再取n—n截面截断桁架并取右半桁架为研究对象画受力图.2m2m2mABEHDGJCFIPmmn95

mF(Fi)=0SEHSEGSDFSCF3SEH-4P=0取节点H为研究对象画受力图.Xi=0SHKHSHJSHESHG

cos=0.8sin=0.6SHE-SHK

+SHG

cos

=0

Yi=0-SHJ

-SHG

sin

=02m2mABEDGCFPnn96例题3-14.图示为一平面组合桁架.已知力P,求AB杆的内力S1.a/3a/3PABCDEFa/3a/2a/297解:取整体为研究

对象画受力图.

Xi=0XAYARBXA+P=0XA=-P

mA(Fi)=0aRB-aP=0RB

=P

Yi=0YA+P=0YA=-Pa/3a/3PABCDEFa/3a/2a/298

对整体进行构成分析.a/3a/3PABCDEFa/3a/2a/2PPP

桁架由两个简单桁架ABC

和DEF用AE,CD,BF三根杆连接而成.

这类问题应先截断连接杆,求出其内力.99

截开连接杆AE,CD和BF并取下半个桁架为研究对象画受力图.SAESBFSCDPPPOABC

mO(Fi)=0100取节点B为研究对象画受力图.PSBASBFSBCB

Yi=0

Xi=0101例题3-15.试计算图示桁架杆件BC和DE的内力.aaaaaABCDEP102解:取整体为研究对象画受力图.XAYARB

Xi=0XA

+P=0XA

=-P

mA(Fi)=0-3aP+2aRB=0

Yi=0YA+RB

=0aaaaaABCDEP103取m—m截面把桁架分为两部分.aaaaaABCDEPP3P/23P/2mm104

取右部分为研究对象画受力图.BP3P/2ESBCSEDS1S2S3

mE(Fi)=0aRB

-3aSBC

=0

Xi=0-SBC

-SED+P=0105再见106

§4-1空间汇交力系

§4-2力对点的矩和力对轴的矩

§4-3空间力偶

§4-4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩

§4-5空间任意力系的平衡方程

§4-6重心

例题

返回第四章空间力系静力学107§4-1空间汇交力系汇交力系的实例汇交力系;平面汇交力系;空间汇交力系.作用在刚体上的汇交力系是共点力系.汇交力系的合成

由于汇交力系是共点力系,其合成可用几何法和解析法.(1)几何法:平行四边形法;三角形法和多边形法.108(2)解析法应用合矢量投影定理进行汇交力系的合成.R

=

FiRx=

FixRy=

FiyRz=

Fiz汇交力系的平衡

汇交力系平衡的必要和充分条件是汇交力系的合力等于零.=0109(1)汇交力系平衡的几何条件

汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形封闭.(2)汇交力系平衡的解析条件

Fix=0

Fiy=0

Fiz=0三力平衡定理:一刚体受不平行的三力作用而处于平衡时,此三力的作用线必共面且汇交于一点.110§4-2力对点的矩和力对轴的矩OxyzABFrmo(F)d(1)力对点的矩mo(F)=

r×F

mo(F)表示力F绕O点转动的效应.O点称为矩心.力矩矢是定位矢量.

力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;力矩在力矩平面内的转向.力矩的几何意义:mo(F)=±2

OAB面积=±Fd力矩的单位:N·m或

kN·m111同一个力对不同矩心之矩的关系:mA(F)=r1×FmB(F)=r2×FmA(F)-mB(F)=(r1-r2)×FBDFr1r2AR=R

×F若R

F则mA(F)=mB(F)BDFr1r2A显然mA(F)=

r1×F=r2×F即与D点在力F作用线上的位置无关.112(2)力对点的矩的解析表示mo(F)=

r×F

=

若各力的作用线均在xy平面内.则Fz=0,即任一力的坐标

z=0则有mo(F)=xFx-yFy=113例题4-1.如图所示,力F作用在边长为

a

的正立方体的对角线上.设oxy

平面与立方体的底面ABCD平行,两者之间的距离为b.计算力F对O点之矩.zyxaaabBDOCFA114zyxaaabBDOCFA解:写出力F的解析表达式.F

=Fy+Fz+FxFx==FyFz=FyFzFxrArA=a

i+a

j+b

k115zyxaaabBDOCFA在力F的作用线上取点ErE则有116(2)力对轴的矩zodabABFPFxy(1)定义:力F对于z轴的矩等于此力在垂直于z轴的平面上的投影对于z轴与此平面交点的矩.mz(F)=mo(Fxy)=±Fxydmz(F)=±2

oab面积mo(F)=±2

OAB面积=±Fd117(3)讨论:(a)当力的作用线与轴平行或相交亦即力与轴位于同一平面时力对该轴的矩等于零.(b)当力沿其作用线移动时,它对轴的矩不变.(c)在平面力系中,力对力系所在平面内某点的矩,就是力对通过此点且与力系所在平面垂直的轴的矩.力矩关系定理zabFxydmo(F)PoBAFmo(F)=2

OAB面积mz(F)=Fxyd

=2

oab面积118mo(F)与mz(F)有什么关系?

oab面积=cos

OAB面积2oab面积=2cos

OAB面积mz(F)=|mo(F)|cos

mz(F)=moz(F)

力对任一点的力矩矢在对过此点的任一轴上的投影,等于此力对该轴的矩.mo(F)=imox(F)+jmoy(F)+kmoz(F)=imx(F)+jmy(F)+k

mz(F)119例题4-2.设曲杆OABD位于同一平面内,且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如图所示.在曲杆D点上作用一力P,其大小为p=2kN.力P位于垂直于BD的平面内,且于竖直线成夹角

=30o.求力P分别对图示直角坐标轴的矩.xzyoABD3cm4cm5cm

P120PxzyoABD3cm4cm5cm

解:(1)根据力对轴的矩的定义计算M1oPyzd1作和x轴垂直的平面M1.找出交点O.

确定力P在平面M1内的分力Pyz=1.732kN.

在平面M1内确定力Pyz到矩心O的距离即力臂d1=8cm

计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩mx(P)=mo(Pyz)=-Pyz

d1=-13.86kN·cm

121作和y轴垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm

确定力P在平面M2内的分力Pxz=P=1kN.

在平面M2内确定力Pxz到矩心O的距离即力臂d2=3.464cm计算力Pxz对点A的矩亦即力P对y轴的矩my(P)=mo(Pxz)=-Pxz

d2=-6.928kN·cmM2Pd2亦可用合力矩定理计算:my(P)=mo(Pz)=-Pz

d=-6.928kN·cm找出交点O.o122PxzyoABD3cm4cm5cm

作和z轴垂直的平面M3.o找出交点O.

确定力P在平面M3内的分力Pxy=1kN.

在平面M3内确定力P到矩心O的距离即力臂d3=8cm计算力Pxy对点O的矩亦即力P对z轴的矩mz(P)=mo(Pxy)=-Pxy

d2=-8kN·cmPxyM2d2123(2)根据力矩关系定理计算x=-4px=psin30oxzyoABD3cm4cm5cm

y=8z=0

py=0pz=-pcos30o124例题4-3.力F作用在边长为a的立方体上如图所示.求力F对各轴之矩.oABCB'C'A'O'F125解:oABCB'C'A'O'F力F的作用线与AO,A'O´,BC平行.与B'C'重合.

mAO(F)=mA'O'(F)=mBC(F)=mB'C'(F)=0126力F的作用线与A'B',oABCB'C'A'O'FC'O',BB'和CC'相交.

mA'B'(F)=mC'O'(F)=mBB'(F)=mCC'(F)=0127求力F对AA'

、OO'

、A´A

和O´O轴之矩.mAA'(F)=mOO'(F)=aFmA'A(F)=mO'O(F)=-aFoABCB'C'A'O'F128求力F对AB、OC、BA和CO轴之矩.mAB(F)=-aFmBA(F)=aFoACC'A'O'B'FBmOC(F)=-aFmCO(F)=aF129力偶与力偶矩ABFF´d(1)力偶(F,F

)

由大小相等,方向相反而不共线的两个力组成的力系.§4-3空间力偶130

力偶所在的平面为力偶作用面.力偶两力之间的垂直距离d

称为力偶臂.

力偶没有合力.因此力偶不能与一个力等效,也不能用一个力来平衡.力偶只能与力偶等效,也只能与力偶平衡.(2)力偶矩矢m

=

rBA×F=rAB×F´ABFF´rBAdm

在平面问题中则有m=±Fd131力偶的等效条件力偶两力的矩之和定理:ABFF´rBAdm

rB

rAO证明:在空间任取一点o为矩心.mo(F,F´)=mo(F)+mo(F´)

=

rBA×F=(rB-rA)×F=

rB×F

+rA×F´=m

力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和等于该力矩矢,而与矩心的选择无关.132(2)力偶的等效条件:力偶矩矢相等.推论1:只要力偶矩矢保持不变.力偶可以从刚体的一个平面移到另一个平行的平面内,而不改变其对刚体的转动效应.推论2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会改变它对刚体的转动效应.推论3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任意改变力偶的力的大小和力臂的长短,而不改变它对刚体的转动效应.力偶矩矢是自由矢量.133力偶系的合成与平衡

设一空间力偶系由n个力偶组成,其力偶矩矢分别为:m1,m2,…,mn.由于力偶矩矢是自由矢量,则n个力偶矩矢组成一个汇交矢量系.利用合矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡.(1)力偶系的合成m

=

mimx

=

mixmy

=

miymz

=

miz对于平面力偶系则有:M

=

mi134力偶系的平衡

空间力偶系平衡的必要合充分条件是:力偶系中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零.

mix=0

miy=0

miz=0对于平面力偶系则有:

mi=0135例题4-4.有四个力偶(F1,F1

)(F2,F2

)(F3,F3

)和(F4,F4

)分

别作用在正方体的四个平面DCFE,CBGF,ABCD和BDEG

内.各力偶矩的大小为

m1=200N.m;m2=500N.m;

m3=3000N.m;m4=1500N.m,转向如图所示.求此四个力偶的

合力偶矩.xyzABDEFGF1CoF2F2´F3F3´F4F4´F1´136解:写出每个力偶矩矢的解析表达式m1=200im2=-500jm3=3000km4=1500cos45o

i+1500sin45ojMx

=200+1500cos45o=1261N.mMy=-500+1500sin45o

=560.7N.mMz

=3000N.mxyzABDEFGF1CoF2F2´F3F3´F4F4´F1´137例题4-5.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?60o60oABCDm1m2138解:取杆AB为研究对象画受力图.

杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.RC

mi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR

(1)60o60oABCDm1m2RA139

取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定,则D点约束反力方

位亦可确定.画受力图.60o60oDm2BCARDRC

RD=RC

=RCD=a

mi=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR

(2)联立(1)(2)两式得:140§4-4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩(1)主矢与主矩

力线平移定理:作用于刚体上的一力F,可以平行移动到刚体上的任一点O.但必须同时在此力线与O所决定的平面内附加一力偶,此附加力偶矢的大小和方向等于力F对O点的矩矢的大小和方向.

设一刚体受空间任意力系F1,F2…Fn作用,各力作用点分别为A1,A2…An

.141

在刚体内任取一点O为简化中心,应用力线平移定理,依次将各力平移到点即得到一个作用于简化中心O的空间汇交力系

F1,

F2…Fn和一个由力偶矩矢分别为m1,m2…mn的附加力偶所组成的空间力偶系.A1A2AnF1F2FnOxyzm1m2mnF'1F'2F'nOxyz142其中:F'1=F1,F'2=F2,…,F'n=Fnm1

=

mo(F1),m2

=

mo(F2),…,

mn

=

mo(Fn)

空间汇交力系F1,F2…Fn可合成为作用在O点的一个力R'.矢量R'称为原力系的主矢.R'=

F'i=

Fi

由力偶矩矢分别为m1,m2…mn

的附加力偶所组成的空间力偶系可合成为一个力偶,其力偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩.Mo=

mi=

mo(Fi)143

结论:空间任意力系向任一点简化,一般可得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,它的矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的主矩.

主矢R'只取决于原力系中各力的大小和方向,与简化中心的位置无关;而主矩Mo

的大小和方向都与简化中心的位置有关.144(2)主矢与主矩的解析表达式R'=iR'x+jR'y+kR'zR'x=

XiR'y=

YiR'z=

ZiMo

=i

Mox+j

Moy+k

Moz=i

mox(Fi)+j

moy(Fi)+k

moz(Fi)7-5.空间任意力系简化结果的几种情形(1)R'=0,Mo=0原力系平衡.(2)R'

0,Mo=0原力系的最后简化结果为作用于简化中心的一个力R',即原力系的合力R.145(3)R

=0,Mo

0原力系的最后简化结果为一个力偶,其力偶矩矢为Mo.此时主矩Mo与简化中心的位置无关.(4)R'

0,Mo

0这是简化结果的最一般情形.(a)R'

Mo=0原力系的最后简化结果为作用于O'点的一个合力R

=

R'.且OO'=Mo/R'(b)R'

Mo

0原力系的最后简化结果为由一个力和一个力偶所组成的力系即力螺旋.R'

Mo

0为右螺旋.R'

Mo

0为左螺旋.146

空间力系的合力矩定理:空间力系如能合成一个合力,则其合力对任一点之矩,等于力系中各力对同一点之矩的矢量和.mo(R)=

mo(Fi)mx(R)=

mx(Fi)my(R)=

my(Fi)mz(R)=

mz(Fi)R'MoO(

R'

Mo

0

)R'MoO(

R'

Mo

0

)147例题4-6.边长1m的正方体的AB边上作用一力F=10kN,在面A'B'C'O'上作用一力偶矩m=5kN.m的力偶.如图所示.求最后的简化结果.解:取O为简化中心并建立坐标.oABCB'C'A'O'Fmxyz148计算主矢和主矩Mo

=mo(F)+m=-5kR'

Mo

=(-10j)

(-5k)=0FoABCB'C'A'O'xyzO'R=

F=-10jR'=F=-10j确定最后简化结果149例题4-7.边长为2m的正方体两侧面AOO‘A’和BCC‘B’

上分别作用大小均等于10kN的力F和F‘.如图所示.求最后的简化结果.oABCB'C'A'O'FF'xyzD解:取D点为简化中心建立坐标.150计算主矢oABCB'C'A'O'FF'xyzD151计算主矩m1=mD(F)=r1

F

m2=

mD(F')=r2

F'MD=oABCB'C'A'O'FF'xyzD152确定最后简化结果oABCB'C'A'O'xyzDR'

MD==-2000最后简化结果为左螺旋.R'MD153§4-5空间任意力系的平衡方程(1)空间任意力系平衡的必要和充分条件:R'=0,Mo=0(2)空间任意力系的平衡方程:

mx(Fi)=0

my(Fi)=0

mz(Fi)=0

Xi=0

Yi=0

Zi=0(7-1)154(3)讨论:(a)对于空间汇交力系

mx(Fi)=0,

my(Fi)=0,

mz(Fi)=0则其平衡方程为:

(b)对于空间力偶系

Xi=0,

Yi=0,

Zi=0则其平衡方程为:

Xi=0

Yi=0

Zi=0(7-2)

mx=0

my=0

mz=0(7-3)155(c)对于空间平行力系

Xi=0,

Yi=0,

mz(Fi)=0则其平衡方程为:

其他各种力系的平衡方程也可以从方程(7-1)用同样的方法导出.

Zi=0

mx(Fi)=0

my(Fi)=0(7-4)156例题4-8.一不计重量的正方形薄板,由六根直杆支持如图所示.假设这六根杆都可以看作两力杆,求在力P作用下各杆的内力.PaaADBCD'A'B'C'a157PaaADBCD'A'B'C'a解:

(1)取薄板为研究对象画受力图并选取坐标.S1S2S3S5S6xyzS4158

写出各力的解析式及力线上任一点的坐标.(0,a,0)(-a,a,0)PaaADBCD'A'B'C'aS1S2S3S5S6xyzS4(0,0,0)159计算各力对A点的矩.PaaADBCD'A'B'C'aS1S2S3S5S6xyzS4160应用平衡方程计算:(1)

Yi=0(2)

Zi=0(3)

mx(Fi)=0(4)

my(Fi)=0(5)

Xi=0