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3勾股定理的应用1.求立体图形表面上的最短路径的步骤(1)将立体图形展开为

(注意:只需展开包含相关点的面,可能会存在不同的展开方法);

(2)确定

的位置;

(3)连接相关点构造

;

(4)利用勾股定理求解.2.利用勾股定理解决实际问题在实际问题中,寻找或构造

,并利用勾股定理解决求高度、宽度和距离等的问题;还可以利用勾股定理的

,通过测量

,判断一个角是不是直角.

平面图形相关点直角三角形直角三角形逆定理三角形的边长勾股定理在解决实际问题中的应用[典例1]

(2023都江堰期中)如图,用两根木棒AC,AD加固小树,木棒AC,AD与小树在同一平面内,且小树与地面垂直,AD=2m,AC=1.3m.(1)若AB=1.2m,求BD的长;解:(1)因为AB⊥DC,所以∠ABD=90°.因为AD=2m,AB=1.2m,所以BD2=AD2-AB2=2.56,所以BD=1.6m.(2)若CD=2.1m,求BD的长.解:(2)设BD=xm,则BC=(2.1-x)m.因为AC2-BC2=AB2,AD2-BD2=AB2,所以AC2-BC2=AD2-BD2,所以1.32-(2.1-x)2=22-x2,解得x=1.6,所以BD=1.6m.在应用勾股定理解决实际问题时,勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图,领会数形结合思想的应用.[变式]如图,公路上A,B两点相距50km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=30km,CB=20km,现在要在公路AB上建一个土特产品市场E,使得C,D两村庄到市场E的距离相等,求市场E应建在距A点多少千米处.解:设AE=xkm,则BE=(50-x)km,在Rt△ADE中,DE2=302+x2,在Rt△CBE中,CE2=202+(50-x)2.因为DE=CE,所以302+x2=202+(50-x)2.解得x=20,即AE=20km.答:市场E应建在距A点20km处.勾股定理在解决最短路径问题中的应用[典例2](2023广州月考)如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为5m的半圆,其边缘AB=CD=40m,小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E,再到点C的滑行距离最短,求他滑行的最短距离.(π取3)解:将U型池的最上方展开如图.作点C关于AB的对称点F,连接DF,则小明滑行的最短距离为DF的长.由题意可得BC=5π≈15(m),所以CF≈30m.在Rt△CDF中,由勾股定理,得DF2=CF2+CD2≈302+402=2500,所以DF≈50m,所以他滑行的最短距离约为50m.平面展开最短路径问题

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