第31课时 旋转的性质应用

第二十三章

旋转第31课时旋转的性质应用目录01知识点导学02典型例题03变式训练04分层训练知识点导学A．旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等．1.如图1-23-31-1，△ABC绕点O逆时针旋转60°到△A′B′C′的位置,则：（1）OA=__________，OB=__________，OC=__________；（2）旋转角有____________________________，它们的度数是__________；（3）△ABC__________△A′B′C′.OA′OB′OC′∠AOA′，∠BOB′，∠COC′60°≌典型例题知识点1：利用旋转的性质求角度【例1】如图1-23-31-2，在△ABC中，∠BAC=32°.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得△AB′C′，且∠C′AB=82°，则旋转角的度数为__________.50°变式训练2.如图1-23-31-3，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数为__________.75°典型例题知识点2：利用旋转的性质求线段长【例2】如图1-23-31-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为__________.5变式训练3.如图1-23-31-5，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°.将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为__________.典型例题知识点3：利用旋转的性质证明【例3】如图1-23-31-6，在△ABC中，AC=BC，E是AB上一点，且CE=BE.将△CBE绕点C旋转得到△CAD．（1）求证：AB∥DC；（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．（1）证明：由旋转的性质得∠BCE=∠ACD.∵CE=BE，∴∠B=∠BCE.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC.∴∠ACD=∠BAC.∴AB∥CD.（2）解：四边形BEDC是平行四边形，理由如下.由旋转的性质得CD=CE.∵CE=BE，∴CD=BE.又∵AB∥DC，∴四边形BEDC是平行四边形．变式训练4.如图1-23-31-7，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6.将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA1B1.（1）线段OA1的长是__________，∠AOB1的度数是__________；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形.6135°（2）证明：∵∠AOA1=∠OA1B1=90°，∴OA∥A1B1.又∵OA=AB=A1B1，∴四边形OAA1B1是平行四边形.分层训练A组5.如图1-23-31-8，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=1cm，则A′B的长是（）A．1cm

B．2cmC．3cm

D．4cmC6.如图1-23-31-9，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，若点A，B，C′在同一条直线上，则旋转的角度可以是（）A．30°B．60°C．90°D．120°D7.如图1-23-31-10，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB1C1.若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（）A.70° B.80°C.84° D.86°B8.如图1-23-31-11，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中点D，E是对应点.若∠CAD=18°，则∠EAC的度数为__________.42°B组9.如图1-23-31-12，△ABE和△ACD都是等边三角形，△AEC绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ABD重合，EC与BD相交于点F.（1）旋转中心是__________，旋转角度数是__________；（2）求∠DFC的度数.点A60°解：（2）由旋转的性质得△ABD≌△AEC，∴∠ADB=∠ACE.∴∠FDC+∠FCD=∠FDC+∠ACD+∠FCA=∠FDC+∠ACD+∠ADB=∠ACD+∠FDC+∠ADB=∠ACD+∠ADC=120°.∴∠DFC=180°-(∠FDC+∠FCD)=180°-120°=60°.10.如图1-23-31-13，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置．（1）点P旋转的度数是__________；（2）连接PP′，则△BPP′的形状是________________________________；（3）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．90°等腰直角三角形解：（3）∵P′B=PB=4，∠PBP′=90°，∴PP′=

∠BP′P=45°.∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°.在Rt△PP′C中，PC=

=6．C组11.如图1-23-31-14，在正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE=2.将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF，FC，求线段FC的长度.解：如答图23-31-1，过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H.∵四边形ABCD为正方形，∴DA=CD，∠D=90°.∵AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，∴EA=EF，∠AEF=90°.∵∠EAD+∠AED=90°，∠FEH+∠A