第26课时等腰三角形的判定

第十三章

轴对称第26课时

等腰三角形的判定目录01知识点导学02分层训练A．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．1.根据左边的判定写出几何语言：如图26-1，∵∠B=∠C，∴____________=____________.ABAC【例1】如图26-2，在△ABC中，∠BAC=108°，∠B=36°，∠CAD=72°.（1）求证：△ACD是等腰三角形；（2）图中一共有____________个等腰三角形，分别是___________________________________.典型例题

知识点1

通过计算角度证明等腰三角形3△ABC，△ADC，△ABD（1）证明：∵∠BAC=108°，∠B=36°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=36°.∵∠CAD=72°，∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=72°.∴∠CAD=∠CDA.∴CA=CD.∴△ACD是等腰三角形.1.如图26-3，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°．（1）图中的等腰三角形共有____________个，分别是______________________________；（2）求证：△ABC是等腰三角形．变式训练3△ABC,△ABD,△BCD(2)证明：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∴∠ABC=2∠ABD=72°.∵∠C=72°，∴∠ABC=∠C.∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．【例2】如图26-4，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．典型例题

知识点2

运用“等角对等边”证明等腰三角形证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠DAC.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=CD.∴△ADC是等腰三角形．2.如图26-5，已知∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．变式训练证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD.∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C.∴∠B=∠C.∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．【例3】如图26-6，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．典型例题

知识点3

运用“等角对等边+全等”证明等腰三角形

3.如图26-7,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．变式训练证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∵BD=CD，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴∠B=∠C.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形．A组4.如图26-8，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB．证明：∵OC=OD，∴∠C=∠D.又∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D.∴∠A=∠B.∴OA=OB．5.如图26-9，在△ABC中，BC边上有D,E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵∠B=∠3-∠1，∠C=∠4-∠2，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠B=∠C.∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．B组6.如图26-10，在△ABC中，BA=BC，点D是CB的延长线上一点，DF⊥AC，垂足为点F，DF和AB交于点E.求证：△DBE是等腰三角形.证明：∵BA=BC，∴∠A=∠C.∵DF⊥AC，∴∠A+∠AEF=90°，∠C+∠D=90°.∴∠AEF=∠D.∵∠DEB=∠AEF，∴∠D=∠DEB.∴BD=BE.∴△DBE是等腰三角形.7.如图26-11，BO,CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF是经过点O且平行于BC的直线，求证：EF=BE+CF．证明：∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB.又∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB.∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO.∴EO=BE，OF=FC.∴EF=EO+OF=BE+CF．C组8.如图26-12，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求