新高中考试数学名师三模模拟卷（2）（答案版）

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页2023新高考名师三模模拟卷（2）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．复数在复平面内对应的点的坐标为，为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的几何意义可得，再利用复数的除法法则可求得复数.【详解】由于复数在复平面内对应的点的坐标为，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.2．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由绝对值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根据交集的定义即可求解.【详解】解：由题意，集合，或，所以，故选：B.3．函数为偶函数的一个充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得函数为偶函数的充要条件，再去求函数为偶函数的充分条件即可解决.【详解】函数为偶函数，则有，解之得，令，则有则函数为偶函数的一个充分条件为故选：C4．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.5．函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.【详解】解：，因为，所以是偶函数，故排除AD，当时，令，得或，当或时，，当时，，故选：B6．已知向量，，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的数量积的定义，运算律以及二次函数的性质即可求出最值．【详解】∵向量，，且，∴，∴，当且仅当时取等号，即的最小值为．故选：．7．已知双曲线，点是双曲线的右焦点，是双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出、、的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当时，，解得，由双曲线的对称性可知，点为的中点，故，，则，解得，即，可得，，，解得．故选：C.8．已知函数，若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把方程有四个不同的实根，转化为函数和的图象有四个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】当时，，当时，，当时，，所以当时，在上单调递减，在上单调递增.又当时，，所以根据周期为1可得时的图象，故的图象如图所示：将方程，转化为方程有四个不同的实根，令，其图象恒过，因为与的图象有四个不同的交点，所以或，又由，，，，，故，，，，所以或，即或，故选：C.【点睛】方法点拨：把方程有四个不同的实根，转化为函数和的图象有四个交点，结合图象，列出相应的不等关系式是解答的关键.二、多选题9．关于曲线C：，下列说法正确的是（

）A．曲线C一定不过点B．若，过原点与曲线C相切的直线有两条C．若，曲线C表示两条直线D．若，则直线被曲线C截得弦长等于【答案】AB【分析】直接将点代入曲线C方程，由方程无解即可判断A选项；先由原点到圆心的距离判断出原点在圆外即可判断B选项；代入曲线C解出即可判断C选项；先求出圆心在直线上结合直径即可判断D选项【详解】将点代入曲线C：可得，整理得，即，显然此方程无解，即曲线C一定不过点，A正确；时，易得曲线C是圆心为，半径为的圆，此时原点和圆心之间的距离为，，故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C相切，B正确；时，曲线C：，则，解得，则曲线C表示一个点，C错误；时，曲线C：，圆心在直线上，则直线被曲线C截得弦长即为圆的直径等于2，D错误.故选：AB.10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（

）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.【详解】如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由可得，则，，又，则，即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.故选：BCD.11．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是（

）A．函数图像关于直线对称 B．函数的周期为6C． D．和的图像所有交点横坐标之和等于8【答案】AD【分析】对于A：由即可推出对称轴；对于B：由偶函数和对称性即可推出周期；对于C：由周期性和对称性可知，即可推出的值；对于D：由题可知，函数与均关于直线对称，画出图像即可求出答案.【详解】，函数图像关于直线对称，故A正确；又为偶函数，，所以函数的周期为4，故B错误；由周期性和对称性可知，，故C错误；做出与的图像，如下：由图可知，当时，与共有4个交点，与均关于直线对称，所以交点也关于直线对称，则有，故D正确.故选：AD.12．已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（

）A．当A，B为底面圆直径的两个端点时，B．△PAB面积的最大值为C．当△PAB面积最大值时，三棱锥C-PAB的体积最大值为D．当AB为直径且C为弧AB的中点时，的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B，由三角形的面积公式结合正弦函数的性质判断，对于C，当△PAB面积最大值时，，从而可求出点C到AB的距离的最大值，进而可求出三棱锥C-PAB的体积最大值，对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中求出，从而可求出PC边上的高，则可求出的最小值【详解】对于A，记圆锥底面圆心为O，，所以，所以，故A正确；对于B，设，则截面三角形的面积，故B不正确；对于C，由选项B中推理可知，此时，所以点C到AB的距离的最大值为，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为，故C选项正确；对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，进而，记PC边上的高为h（垂足为Q），则，所以，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；故选：ACD．第II卷（非选择题）三、填空题13．已知函数在点处的切线为l，若l与函数相切，切点为，则__________．【答案】9【分析】先求出，求出切线方程，进而求得，即可求解.【详解】由题意得，则，切线方程为，即，则，则，.故答案为：9.14．写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.【答案】（答案不唯一）【分析】直接由幂函数和单调性求解即可.【详解】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.故答案为：（答案不唯一）.15．设函数的图像与的图像有公共点，且在公共点处切线方程相同，则实数的最大值为_________.【答案】【分析】设公共点坐标为，，求出两个函数的导数，利用，推出，然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可．【详解】解：设公共点坐标为，，则，所以有，即，解出舍去），又，所以有，故，所以有，对求导有，故关于的函数在为增函数，在为减函数，所以当时有最大值．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性、最值的求法，考查计算能力．16．已知数列满足，则__________，若对任意的，恒成立，则的取值范围为_____________.【答案】

【分析】由可求得的值，令由可得出，两式作差可得出数列的通项公式，可得出的值，然后分为奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，由此可求得实数的取值范围.【详解】当时，；当时，，可得，上述两式作差可得，即，不满足，所以，，则.当时，，即，所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.①若为正奇数，则，，则，可得；②若为正偶数，则，可得.综上所述，.故答案为：；.【点睛】思路点睛：已知数列的前项和，求通项公式的步骤：（1）当时，；（2）当时，根据可得出，化简得出；（3）如果满足当时的通项公式，那么数列的通项公式为；如果不满足当时的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为.四、解答题17．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．(1)求证：；(2)若且，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先得出，再由正弦定理即可证明；（2）设，由可得，进而求出，再由面积公式求解即可.【详解】（1）由题意可得，因为BD为∠ABC的角平分线，则，在△ABD中，，则，同理可得，因此，即．（2）设，则，因为，即，又且，可得，因为，则，则，，可得，，所以，，．18．已知等差数列中，，，且.(1)求数列的通项公式及前2n项和；(2)若，记数列的前n项和为，求.【答案】(1)，数列的前2n项和为(2)【分析】（1）结合，求得等差数列的通项公式，即可得的通项公式，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可；（2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可.(1)设等差数列的公差为d，则，所以，从而．.(2)∵，∴，，相减得，，，即.19．为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图(1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：①；②若，则【答案】(1)7.03(2)（i）841；（ii）不正常，理由见解析.【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.【详解】（1）由可得中位数在区间内，设中位数为，则，解得；（2）（i）由可得，则，只；（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.20．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面交线段PB，PC分别于点G，H，且(1)求证：；(2)若PD⊥平面ABCD，且二面角为，二面角的正弦值为，求t的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意，可得，根据线面平行的判定定理可得平面PBC，从而由线面平行的性质定理可得，由平行公理即可得证；（2）由PD⊥平面ABCD，可得∠ADC为二面角的平面角，则，取BC中点O，连接OD，以D为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求出平面PBD的法向量与平面EFG的法向量为，从而利用向量法即可求解.（1）证明：∵E，F分别是PA，PD中点，∴，又∵，∴，又∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，又∵平面α，平面平面，∴，∴；（2）解：∵PD⊥平面ABCD，AD，平面ABCD，∴，，∴∠ADC为二面角的平面角，则，取BC中点O，连接OD，以D为原点，DA所在直线为x轴，DO所在直线为y轴，DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设点G坐标为，∵，，∴，∴，∴，设平面PBD的法向量为，则，即，令，则，，则，设平面EFG的法向量为，，，∴，即，令，则，，则，设二面角E-FG-P的平面角为θ，∵二面角E-FG-P的正弦值为，∴，，∴，∴，解得或（舍去）.21．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足.记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）设，由求得，结合圆的方程即可求解；（2）设，由得，设出直线，联立曲线，结合韦达定