一元二次方程的定义及解（3个考点七大题型）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题1.1一元二次方程的定义及解（3个考点七大题型）重难点题型归纳【题型1一元二次方程的判断】【题型2由一元二次方程的定义求字母的取值范围】【题型3一元二次方程的一般形式】【题型4由一元二次方程的解求字母的值】【题型5由一元二次方程的解求代数式的值（常规型）】【题型6由一元二次方程的解求代数式的值（整体法）】【题型7已知一元二次方程的跟求另一方程的根】满分必练【题型1判断一元二次方程】1．（2023春•南岗区校级期中）下列方程，是一元二次方程（其中x，y是未知数）的个数是（）①x2+1＝0，②2x2﹣3xy＝﹣1，③，④ax2﹣x+2＝0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：①x2+1＝0符合一元二次方程的定义，符合题意；②2x2﹣3xy＝﹣1属于二元二次方程，不符合题意；③是分式方程，不符合题意；④当a＝0时，方程ax2﹣x+2＝0不是关于x的一元二次方程，不符合题意．故选：A．2．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数） C．（x+1）（x﹣2）＝x2 D．3x2+1＝0【答案】D【解答】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，不符合题意；C、（x+1）（x﹣2）＝x2整理得：﹣x﹣2＝0，是一元一次方程，不符合题意；D、3x2+1＝0是一元二次方程，符合题意．故选：D．3．（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数） C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0【答案】C【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，A选项不是整式方程，故A不符合题意；B选项，当a＝0时，不是一元二次方程，故B不符合题意；C选项符合题意；D选项是二元二次方程，故D不符合题意，故选：C．4．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4 D．x2﹣3x+2＝0【答案】D【解答】解：A．，是分式方程，不符合题意；B．ax2+bx+c＝0，若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4，整理可得x+2＝0，为一元一次方程，故不符合题意；D．x2﹣3x+2＝0，是一元二次方程，符合题意．故选：D．【题型2由一元二次方程的定义求字母的取值范围】5．（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】C【解答】解：根据题意得m+1＝2，∴m＝1，故选：C．6．（2023春•定远县校级月考）已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上选项都不对【答案】C【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故选：C．7．（2023春•攸县月考）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是（）A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2【答案】A【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故选：A．8．（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（）A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m≠2 D．m＝2【答案】C【解答】解：由原方程得：（m﹣2）x2﹣4x+1＝0，∵该方程是一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2，故选：C．9．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2且a≠2 B．a≥0且a≠2 C．a≥2 D．a≠2【答案】D【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：D．10．（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（）A．a≠0，b＝4 B．a≠0，b＝2 C．a≠﹣3，b＝4 D．a≠3，b＝4【答案】D【解答】解：由题意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2解得a≠3，b＝4．故选：D．【题型3一元二次方程的一般形式】11．（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0【答案】C【解答】解：将方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．故选：C．12．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6【答案】D【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，移项得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．故选：D．13．（2022秋•双峰县期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．﹣3x2，1，6 B．3x2，1，6 C．3，1，6 D．3，﹣1，﹣6【答案】D【解答】解：方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，为3x2﹣x﹣6＝0，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、﹣1、﹣6，故选：D．14．（2023春•江岸区校级月考）方程x2﹣x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，1，0 B．0，1，0 C．0，﹣1，0 D．1，﹣1，0【答案】D【解答】解：方程x2﹣x＝0的二次项系数是1，一次项系数为﹣1，常数项为0．故选：D．15．（2022秋•甘井子区期末）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【答案】C【解答】解：4x（x+2）＝25可化为4x2+8x﹣25＝0，∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．故选：C．16．（2022秋•达川区期末）一元二次方程3x2+1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，1 B．3，1，5 C．3，﹣5，1 D．3，1，﹣5【答案】C【解答】解：∵3x2+1＝5x，∴3x2﹣5x+1＝0，∴一元二次方程3x2﹣5x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，1，故选：C．【题型4由一元二次方程的解求字母的值】17．（2023春•庐阳区校级期中）若关于x的方程x2+3x+c＝0有一个根为﹣1，则c的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【答案】B【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，解得：c＝2．故选：B．18．（2023•金水区校级三模）已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个实数根，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：将x＝1代入该方程，得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故选：A．19．（2023春•鄞州区校级期中）已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（）A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5【答案】D【解答】解：将x＝1代入原方程得：12+k+4＝0，解得：k＝﹣5，∴k的值为﹣5．故选：D．20．（2023春•龙湾区期中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】A【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，∴1+a+2＝0，∴a＝﹣3．故选：A．21．（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故选：C．【题型5由一元二次方程的解求代数式的值（常规型）】22．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】C【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021，故选：C．23．（2023•官渡区校级模拟）已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣4或﹣10【答案】A【解答】解：∵a是方程x2+3x+2＝0的一个根，∴a2+3a+2＝0，∴a2+3a＝﹣2，故选：A．24．（2023春•瑶海区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，则2018﹣a﹣b的值是（）A．2022 B．2012 C．2019 D．2023【答案】D【解答】解：∵x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，∴a+b+5＝0，∴a+b＝﹣5，∴2018﹣a﹣b＝2018﹣（a+b）＝2018+5＝2023．故选：D．25．（2022秋•信都区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的一个根，则a﹣2b的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】B【解答】解：将x＝1代入x2+ax﹣2b＝0，得1+a﹣2b＝0，整理得a﹣2b＝﹣1．故选：B．26．（2023•衡南县一模）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】B【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，∴4+2m+2n＝0，∴2m+2n＝﹣4，∴m+n＝﹣2．故选：B．27．（2022秋•德惠市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定【答案】A【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，故选：A．28．（2023•芜湖模拟）设a是方程x2+x﹣2023＝0的一个根，则a2+a+1的值为2024．【答案】2024．【解答】解：把x＝a代入x2+x﹣2023＝0中得：a2+a﹣2023＝0．∴a2+a＝2023，把a2+a＝2023代入a2+a+1＝2023+1＝2024，故答案为：2024．【题型6由一元二次方程的解求代数式的值（整体法）】29．（2023春•乐清市期中）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，∴t2﹣1011t+3＝0，∴t2﹣1011t＝﹣3，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：C．30．（2023春•乐清市期中）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，∴t2﹣1011t+3＝0，∴t2﹣1011t＝﹣3，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：C．31．（2022秋•武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018＝3×1+2018＝3+2018＝2021，故选：D．32．（2023•南沙区一模）若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0【答案】C【解答】解：∵a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，∴3a2﹣a﹣2023＝0，∴3a2﹣a＝2023，∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．故选：C．33．（2022秋•雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2017的值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，∴3m2﹣6m+2017＝3（m2﹣2m）+2017＝6+2017＝2023，故选：B．34．（2023春•沭阳县月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2+4m+2021的值为2023．【答案】2023．【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴2m2+4m+2021＝2（m2+2m）+2021＝2×1+2021＝2023．故答案为：2023．【题型7已知一元二次方程的跟求另一方程的根】35．（2022秋•福州期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，则该方程必有一个根是（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C． D．【答案】A【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0且a≠0，∴当x＝﹣2时，代入方程ax2+bx+c＝0，有4a﹣2b+c＝0；综上可知，方程必有一根为﹣2．故选：A．36．（2023春•瑞安市期中）已知关于x方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是（）A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝2，x2＝1 C．x1＝6，x2＝﹣1 D．x1＝6；x2＝1【答案】D【解答】解：设t＝x﹣4，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0变为t2+bt+c＝0，∵方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，∴t＝2或﹣3，∴x﹣4＝2或﹣3，∴x＝6或1，∴方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是x1＝6，x2＝1．故选：D．37．（2023春•崇左月考）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．无法确定【答案】B【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，所以方程的根分别为1或﹣2．故选：B．38．（2022秋•仙居县期末）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是（）A．m+1，﹣m﹣1 B．m+1，﹣m+1 C．m+1，m+2 D．m﹣1，﹣m+1【答案】A【解答】解：设关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的另一个根为t，根据根与系数的关系得t+m＝﹣＝﹣2，解得t＝﹣m﹣2，即关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的根为m，﹣m﹣2，把方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，所以x﹣1＝m或x﹣1＝﹣m﹣2，解得x1＝m+1，x2＝﹣m﹣1．故选：A．39．（2023春•花山区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】D【解答】解：a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可化为：a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，∴把x﹣1看作是整体未知数，则x﹣1＝2023，∴x＝2024，即a（x﹣1）2+bx﹣3＝b有一根为x＝2024．故选：D．40．（2023春•北仑区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2023，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（）A． B． C．2023 D．﹣2023【答案】A【解答】解：把x＝2023代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20232a+2023b+c＝0，两边除以20232，得a+b+•c＝0，∴c+b+a＝0，∴是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根．故选：A．41．（2023春•鹿城区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，则方程x2+bx+a＝0有一个根是（）A．x＝m B．x＝﹣m C． D．x＝1﹣m【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，∴am2+bm+1＝0，在等式的两边同时除以m2得：a