江苏省2021学年全国学校招生统一考试数学含答案解析

江苏省2021学年全国学校招生统一考试数学含答案解析

姓名：班级：学号：

题号—*二三四五六总分

评分

一、填空题（共13题）

1、已知集合』=M1A可，彦={-口艮可，那么.

2、若复数z满足hz=I+2f,其中i是虚数单位，则z的实部为.

3、已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的

平均数为.

899

9011

4、函数f8=1喀产T的定义域为.

5、某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名

女生的概率为.

E'X襄

6、已知函数,^的图象关于直线3对称，则中的值是.

7、在平面直角坐标系”中中，若双曲线示/的右焦点用1%切到一条渐近线

忑

------C

的距离为2，则其离心率的值是.

2

700=

x+-,-2<x^0„

8、函数人工）满足用+萄=加口七团,且在区间（TR上,2则/'5(1加

的值为—.

9、如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为

10、若函数在弧4^）内有且只有一个零点，则〃其在卜口]上的

最大值与最小值的和为.

11、在平面直角坐标系的中，*为直线「尸=出上在第一象限内的点，以乂号为

直径的圆C与直线，交于另一点万.若血-。0=0,则点4的横坐标为.

12、在aABC中，角乂属©所对的边分别为厚为M,ZJ5C=120°,Z的的平分线交融于

点〃，且AQ=1,则4四・*£的最小值为.

13、已知集合乂=（中=2«一4七稳，2=但工=2丁£犷上将&界的所有元素从小到

大依次排列构成一个数列”上记笺为数列和行的前〃项和，则使得成立的〃的最

小值为.

二、解答题（共9题）

]在平：行六面体p|~|.L

求证：（l）即"平面4瓦c；

（2）平面dA&4-L平面率C

2、已知Q#为锐角，^"方，血@皿=一石.⑴求32a的值；⑵求X0-用

的值.

3、某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆。的一段圆弧北而（P为此圆弧的中点）

和线段函构成.已知圆。的半径为40米，点尸到的距离为50米.现规划在此农田上

修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形/酰为1,大棚n内的地块形状为小皿，要

求4B均在线段的上，C1J均在圆弧上.设CC与胸所成的角为6.

（1）用6分别表示矩形幺取3和1OP的面积，并确定由0的取值范围;

（2）若大棚，内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产

值之比为4:3.求当e为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

4、如图，在平面直角坐标系物中，椭圆。过点（,"&）,焦点片（-£@3（的功，圆。

的直径为维星.

（1）求椭圆。及圆。的方程；

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标；

2收

②直线/与椭圆。交于乂£两点.若加的面积为7,求直线/的方程.

5、记尸卜）•必（工）分别为函数**）唐（工）的导函数,若存在原仁£满足〃9）=£（事）且

,（耳）=/'（$）,则称凝为函数/（工）与客（工）的一个“S点”.

（1）证明：函数与&㈤=^*如-2不存在“B点”；

（2）若函数，㈤=-T与怠㈤=&存在“S点”，求实数。的值；

（3）已知函数〃工）=-/+，^-―对任意&A。，判断是否存在&A0,使函数〃工）

与44在区间如也）内存在“$点”，并说明理由.

6、设”］是首项为4,公差为d的等差数列，f是首项为斗，公比为q的等比数列.

（1）设4=°A=Lq=2,若I.稣根4对K=L2A4均成立，求d的取值范围；

（2）若弭=网＞电内经田叱&啖］,证明：存在修Eg使得1%也%不对网=工箝”.雨11均成

立，并求授的取值范围（用.科q表示）.

7、如图，圆。的半径为2,力8为圆。的直径，尸为力8延长线上一点，过尸作圆。的切线，

切点为C.若冗=入5,求8。的长.

8、如图，在正三棱柱力吐43G中，AB=AA、=2,点、P,0分别为43,切的中点.

(1)求异面直线加与RG所成角的余弦值；

(2)求直线①与平面4QG所成角的正弦值.

9、设h把N,对1,2,•・•，〃的一个排列也…。，如果当sO时，有则称色耳)

是排列明…%的一个逆序，排列福的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1,2,

3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记£国为1,

2,•••,〃的所有排列中逆序数为4的全部排列的个数.

(1)求方⑵•方⑵的值；

(2)求工⑵^之分的表达式(用〃表示).

========参考答案=========

一、填空题

1、{1,8}.

【解析】

分析：根据交集定义“("十后左皿可求结果.

详解：由题设和交集的定义可知：如毋={18}.

点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.

2、【解析】

分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.

w=----=2一『

详解：因为*-Z=l+方，则i,则Z的实部为2.

点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数&+M1占名片的实部为。、虚部为鼠模为

g/、对应点为（明的、共辗复数为。一齿.

3、90.

【解析】

分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.

详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为瞅的序足＞191,故平均数为

豌*舲1如勿四1一

--------------=90

5

点睛：彳/%-。、的平均数为».

4、[2,+8）

【解析】

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解：要使函数〃目有意义，则1«%三一120,解得工之2,即函数〃x）的定义域为艮刊0.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.

3

5、10'

【解析】

分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公

式求概率.

详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，

3

因此所求概率为而一

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无

序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目

具体化.

(4)排列组合法(理科)：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

6、

【解析】

3C

@=----+faiflt€2Ti

分析：由对称轴得6，再根据限制范围求结果.

an（g»+舒）=11

—x+f»=—+fcr,^»=——-l-jtafieZ）

详解：由题意可得，所以？2«，因为

3c».®

—＜伊＜一Jt=UA,©=----.

22,所以6

点睛：函数/=小跖工+冷+再(给0,3>0)的性质：(1)鼠/

T=—矶t+o=三青匕旗毛工)

(2)最小正周期必；⑶由2求对称轴；(4)由

——+2k»(JteZ)

22求增区间；由22求减区间.

7、2

【解析】

分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.

二士立上生=虫=瓦

详解：因为双曲线的焦点严工丹到渐近线/=即砒上缚=<>的距离为+好C

b=—ca2=£？—=c2——ca=-c2,a=—cr=X

所以2,因此442a

点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为6,焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a

庭

8、2

【解析】

分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函

数解析式求结果.

洋解集/&-+*=/«得函数,㈤的周期为4,所以.因

此尸孝

点睛：（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的

解析式求值，当出现切的形式时，应从内到外依次求值.（2）求某条件下自变量的值，

先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，

看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

9、3

【解析】

分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.

详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形

2*1xl,x,••5"'=—

的边长等于w£，，所以该多面体的体积为？'一？

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根

据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法

转化成已知体积公式的几何体进行解决.

10>-3.

【解析】

分析：先结合三次函数图象确定在可上有且仅有一个零点的条件，求出参数&再根据单

调性确定函数最值，即得结果.

详解：由尸㈤=6"2at=°得“-”“一写，因为函数3㈤在他阿上有且仅有一个零点且

〃o）=L所以了.‘9=0,因此a?一畤签从而函数〃目在叼上单调

递增,在pul上单调递减，所以f6H=f应由（/（ufo）｝=力,

/Goka।/<6』=/（。）次-9=1一4二-3一

点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件.从图象

的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象

的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.

11、3

【解析】

分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求

结果.

详解：设则由圆心C为4中点得"（亍易得圆心

C:（x-5）（x_a）+.v（.v-训=0,与第=2上联立解得点办的横坐标"=工所以D（L2）所以

——--u（5-句卜-a）=一2"-3=0aa=3

由4ff-<3J=0得I2J或。二一1,

因为a»Q,所以口=3.

点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方

程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数

值域，是解决这类问题的一般方法.

12、9

【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，w皿=般皿*$但，由角平分线性质和三角形面积公式得

-ar®120"=1axlxai+-cxlx；ii600/i+^=1

222,化简得ac=a+c,ac,因此

4tficl-F—>512.1--—=9

aeac.\ac

当且仅当c=2a=3时取等号，则%ilc的最小值为?

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等

式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号

取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

13、27

【解析】

分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等

式求满足条件的项数的最小值.

详解：设4=2*贝4]+及*2)+-+2，

=2七口皿尸-'产叽a”?-2

21-2~

由&A12aq得+2,-2>12(2*+1),(2**')2-20(2*'')-14>0.2*">2\k>6

所以只需研究炉是否有满足条件的解,

25M

此时S"=[(2xl-l)+(2x2-l)++(2m-l)]+[2+2++2]=W212_2>=

e为等差数列项数，且的>16.

由+2'"-2>12(2，"+l).»r-24m+50>0,m>22.n=w+5>27

得满足条件的”最小值为2r

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转

%的奇数

化法求和的常见类型主要有分段型（如匕：型为偈散），符号型（如％=（TF『），周

•J®5-

0K-

期型（如3）.

二、解答题

1、（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

【详解】

分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据

条件得菱形4防4,再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定

理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.

详解：

证明：（1）在平行六面体力式〃中，AB//AA.

因为/麻平面48C,45U平面45C,

所以46〃平面&BC

（2）在平行六面体〃中，四边形力防4为平行四边形.

又因为所以四边形力曲M为菱形,

因此力3_L48.

又因为/6_LAG,BC〃BC,

所以

又因为48rl特3,48=平面4勿，即=平面480,

所以46」平面A.BC.

因为熊仁平面/第M，

所以平面力的M_L平面ABC.

点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或

者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都

是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少

对这些条件的应用可导致无法证明.

N2

2、(1)25；(2)11

【解析】

分析：先根据同角三角函数关系得再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍

角正切公式得由加，再利用两角差的正切公式得结果.

4疝n.4

taiQ二一tm二-----

详解：解：（1）因为3,88窟，所以3

9

.,,COS<22=一

因为SM如*cos%=l,所以25,

cos24z=2cos2iT-1------

因此，25.

（2）因为工#为锐角，所以仪+/€（0"）.

因此

4A24

fan/r二一tanZtt=------=—=——

因为3,所以1-tan-7,

_麻,tanla-t»t(CKHFJ9)2

MJ6司r用卜cf而鬲扁~ii

点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升基与

降幕”等.

（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通

常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”

等.

3、（］）［600（cos6-E诂仇加竹.(2)6.

【解析】

分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面

积公式得结果，最后根据实际意义确定曲的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利

用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解:

解：（1）连结内并延长交的V于〃，则/WL助M所以法10.

过。作OE1BC于E,则OE//MN,所以NC6斤0,

故除40cos明陷40sin%

贝IJ矩形4腼的面积为2X40cos9(40sin夕+10)=800(4sinOcosJ+cos9)，

△期的面积为2X2X40cos0(40-40sin。)=1600(cos0-sin，cos9).

过A作GN]MN,分别交圆弧和侬的延长线于G和K,则G器KN=10.

1x

令NG悌%,则sin%=4,(0,6).

重

当0G[0O,2)时，才能作出满足条件的矩形/优〃

1

所以sin〃的取值范围是[4,1).

答：矩形/题的面积为800(4sin9cos，+cos，)平方米，卬的面积为

1

1600(cos0-sin61cos。),sin9的取值范围是[4,1).

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3,

设甲的单位面积的年产值为4A,乙的单位面积的年产值为3A(A>0),

则年总产值为44X800(4sin°cosJ+cos9)+3AX1600(cos。-sin0cos8)

x

=80004(sin"cos〃+cos0),。e[%,2).

设f(S)=sinJcos，+cos。,0e[%,2),

则门S=皿％田*血修=-(端明加。7)=-(词MT购必码

令尸㈣=0,得

当。w（%,M）时，/同＞0,所以F（，）为增函数;

当。G（6,5）时，所以/'（0）为减函数,

因此，当时，f（取到最大值.

答：当j=6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学

内部的知识解决问题.

4、（1）T/一，X2+£=§；（2）户一百工+3、反

【解析】

分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得

a,b,即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得

另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中

方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.

详解：解：（1）因为椭圆c的焦点为用"⑼名播⑼，

可设椭圆。的方程为『步’.又点I外在椭圆。上

所以3f=工，解得1#=L

因此，椭圆。的方程为了

因为圆。的直径为耳屋，所以其方程为/比/=3.

⑵①设直线/与圆0相切于彝）用则

事="-包（K-&）+j%J=--x+-

所以直线/的方程为此，即典西.

彳**=L

,一巧3

由产4二消去力得

（乜2+典2._24**%T点=0（*）

因为直线/与椭圆。有且只有一个公共点，

所以&=（f4『-4（4叶+j/）（36-4jr/）-峋；-2）=。

因为与既＞。，所以。=盘，舄=1.

因此，点尸的坐标为（、'ZD.

介

Ns1ARnp2M4^

②因为三角形以8的面积为7,所以27,从而7.

设司忌对』（巧6）,

铲正喏（端-2）

+,、阳线'2（4与'+了；］

由（*）得I'八J,

所以=（不一巧r+（算-网）2

=阕漓

因为

16(q'-2)32

所以^2^-45^+100=0

x>2=—（ju2=20=工

解得"2舍去），则”2,因此P的坐标为I

综上，直线，的方程为尸=-居计3再.

点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而

不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用

于已知直线与椭圆的一个交点的情况.

5、（1）证明见解析；（2）2；（3）存在使函数〃X）与£（可在区间（&2）内存

在点”.

【解析】

分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）

根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”

的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.

详解：解：（1）函数/'（x）=x,g（x）=x+2x-2,贝!J/（x）=1,g'（x）=2x+2.

由f(x)=g(x)且/(x)=g'(x),得

算=

.1=如+2,此方程组无解，

因此，f（*）与g（x）不存在“S”点.

（2）函数T,«（x）=but,

「U-2ac,g*(q=—

设吊为f（x）与g（x）的“S”点，由f（X。）与g（吊）旦r（及）与g'（x0）,得

_e_1

当“2时，q；e'满足方程组（*）,即巧为f（X）与g（X）的“S”点.

因此，a的值为2.

（3）对任意a>0,设M*）=，-

因为M®=BAO,A（l）=l-3-a+a=-2<0且力（外的图象是不间断的,

所以存在巧e（0,1），使得M$）=0,令小。一耳），则力0.

函数门句T*…㈤2

/，(耳=2x,=­"

由f(X)与g(X)且尸(X)与g'(X),得

产(1一4)X

_H-T)-2r=一型—汽号3

,*?,即I萨(1-&)金(**)

此时，而满足方程组(**),即4是函数/'(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.

因此，对任意a>0,存在力0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+8)内存在“S点”.

点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数

研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程

根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思

想找到解题的思路.

4后"二勾

(2)d的取值范围为1«'m，证明见解析.

【解析】

分析：(1)根据题意结合।■也根与并分别令上1,2,3,4列出不等式组，即可解得公差

d的取值范围；(2)先根据绝对值定义将不等式转化为"-1&-1,根据条件易得

左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d

的取值范围.

详解：解:(1)由条件知：

因为［%一％区4对止1,2)3,4均成立,

即卜一9八尸归1对后1,2,3,4均成立，

75

一名d名一■

即l<d<3,3<2d<5,7<3o<9,得32.

riii

因此,d的取值范围为l_3*2j.

(2)由条件知：，=瓦,ST)d舌,二%/”.

若存在d,使得1%~九卜4(上2,3,•一，研1)成立,

即|&*("_1材一如N归X(n=21t%…*

即当再工…■»»*］时，d满足、-1

因为"(L网，则1<尸“・名2,

^^可40e%A0

从而B-1,,对M=a3»j=M+l均成立.

因此，取出0时，尾一%W%(产=2•箝、讯+1均成立.

_B-1**

J7

下面讨论数列I1,-1.

的最大值和数列的最小值n=2,X-.m+1)

U-4尸-2碑1炉一叱十工《/一尸)-八工

①当24114K时，"a-，"("-1)»(»-1)

当］vgg2.时，有"**《小W2,从而“⑷一尸)可转)。

因此，当2《》«江碗*1时，数列IK-1J单调递增,

故数列InTJ的最大值为尔.

②设〃4=2工。-工)，当/>0时，r(x)=(la2-l-4n2)2r<0

所以〃工)单调递减，从而〃x)"(0)=1.

“产

因此，当2《靠《雨*1时，数列b*TJ单调递减,

故数列作-1

的最小值为6.

2)喈、

因此，d的取值范围为LE6-.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式

一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参

式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式

转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

7、2

【解析】

分析：先连圆心与切点得直角三角形，求出尸0,即得8为中点，再根据直角三角形斜边上中

线长等于斜边一半的性质得结果.

详解：证明：连结0C.因为产。与圆。相切，所以0ULPC.

又因为产小工•点，0(=2,

所以=4.

又因为法2,从而8为Rt△g0斜边的中点，所以除2.

点睛：本题考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力.

8、(1)

(2)手

【解析】

分析：(1)先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量承，石的夹

角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；(2)利用平面的方向量的求法列方程

组解得平面3G的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量

夹角之间的关系得结果.

详解：如图，在正三棱柱力a中，设/44G的中点分别为0,a,则。员LOC,00aoC,

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