2018高一数学难题汇编(含解析)

2018高一数学难题汇编(含解析)2018高一数学难题汇编一．选择题（共18小题）1.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由（）则△ABC的内角A等于多少？A.30°B.60°C.90°D.120°2.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（x）在区间[，]上单调，且f（0）=f（π），则f（x）的最小正周期是多少？A.π/ωB.π/2ωC.π/4ωD.π3.已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则•的取值范围是多少？A.(-1,0)B.[0,1)C.[-1,1)D.[0,1]4.已知直角△ABC，AB=AC=3，P，Q分别为边AB，BC上的点，M，N是平面上两点，若AP+BQ=0，(AP)•(BQ)•=0，BC=3，且直线MN经过△ABC的外心，则(PQ)•等于多少？A.1B.2C.-1D.05.已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为多少？A.[2,18)B.(,2]C.[2,)D.(2,9-3)6.O为△ABC内一点，且2<∠BOC<3，若∠AOB=∠COA，∠BOC=2∠AOC，则∠ABC的值为多少？A.60°B.80°C.100°D.120°7.已知向量a=2i+3j，b=xi+yj，满足||a+b||=2，||a-b||=2，且B，O，D三点共线，则|y|的最小值是多少？A.2-√2B.2-√3C.1D.28.已知向量a=(m,√3)，向量b=xi+yj，满足a•b=0，||a||=2√3，且||b||=2，则||x+y||的值是多少？A.√3B.2-√3C.2D.2+√39.已知f（x）=2x-1，g（x）=1-x^2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=-g（x），则h（x）有最小值-1，最大值1。10.已知函数f（x）满足以下四个条件：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（-∞，0）∪(0,+∞)是单调函数；③当x>0时，函数f（x）>0恒成立；④当x<0时，函数f（x）有一个零点，则其中正确的条件个数是3个。11.已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x>0）；②f（x）=4-cosx；③f（x）=|x|；④f（x）=x^2，则其中为“三角形函数”的函数有3个。1.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由△ABC的内角A等于30°，则OACB为菱形，∠CAO=60°，故选A。2.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（0）=f（π/2）=﹣f（π），且f（x）在区间[0，π]上单调，则f（x）的最小正周期是2π/ω，故选D。3.三角函数的个数是4，即sinx，cosx，tanx，cotx。4.如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是[3，+∞），因为当x=π/4时，sinx=cosx=1/√2，代入不等式得-1/2≥a/√2-，解得a≥3/√2，故选B。5.设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）﹣xlnx，f（x）的导数为f’（x）=ln（x+1），f’（x）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=0，f（x）在（0，1）上为负，在（1，+∞）上为正，故当x>1时，f（x）>0，即xln（x+1）>（x+1）lnx，即ln（（x+1）/x）>1/x，两边取e的x次方得x+1>xex，即e<（x+1）/x，解得x>1+1/e，故选D。6.设函数f（x）=x+sinx，f’（x）=1+cosx>0，故f（x）单调递增，f（0）=0，f（π/2）=π/2+1>2，故在（0，π/2）内有且仅有一个实数x0满足f（x0）=2，故选B。7.设函数f（x）=（a-1）x2-2（a+1）x+a+2，f（x）的导数为f’（x）=2（a-1）x-2（a+1），当a≠1时，f’（x）=0的实根为x0=（a+1）/（a-1），当x<x0时，f’（x）<0，当x>x0时，f’（x）>0，故f（x）在（-∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故f（x）在x0处取得最小值，即f（x0）=4a，故选C。8.设函数f（x）=√（x+1）﹣√x，f’（x）=1/（2√（x+1））﹣1/（2√x），当x>0时，f’（x）>0，故f（x）单调递增，f（0）=√2-1，f（1）=√2-√，故当x>1时，f（x）>0，即√（x+1）>√x，两边平方得x+1>x，即x<1，故选A。9.设函数f（x）=（x-1）lnx，f’（x）=lnx，f’（x）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=0，f（3/2）>0，f（2）<0，故在（1，2）内有且仅有一个实数x0满足f（x0）=0，故选B。10.设函数f（x）=x+1/x，f’（x）=1-1/x2，f’（x）=0的实根为x0=1，当x<1时，f’（x）<0，当x>1时，f’（x）>0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，即f（1）=2，故选D。11.设函数f（x）=x2-x-2lnx，f’（x）=2x-1-2/x，f’（x）=0的实根为x0=1/2，当x<1/2时，f’（x）<0，当x>1/2时，f’（x）>0，故f（x）在（0，1/2）上单调递减，在（1/2，+∞）上单调递增，故f（x）在x=1/2处取得最小值，即f（1/2）=-5/4，故选C。12.当x=π/4时，sinx=cosx=1/√2，代入不等式得-1/2≥a/√2-，解得a≥3/√2，故选B。13.当lnn-lnm=3/4em-3/2n时，a=1/2，当lnn-lnm=3em-3/2n时，a=e/2，故a∈（1/2，e/2），故选B。14.设g（y）=2a2y2+ay，f（x）=g-1（g（g-1（f（x）））），则f（x）=g-1（2a2f（x）2+af（x）），令y=f（x），则y=2a2y2+ay，即y（2a2y+a-1）=0，当a=1/2时，y=0，当a>-1/2时，y=-1/（2a2），故a>-1/2，且a≠1/2，即a∈（-1/2，1/2）∪（1/2，+∞），故选D。15.特征方程为r2-2r-1=0，解得r=1±√2，通项公式为an=A（1+√2）n+B（1-√2）n，代入a1=a2=1/2，解得A=B=1/4，故a5=5/4-√2，故选B。16.利用a1a2+a2a3+…+an-1an=na1an，得an=na1an/(n-1)，故bn=∑i=1nai=∑i=1n-1(na1ai)/(n-1)+an=na1∑i=1nai/(n-1)+na1an/(n-1)=na1bn/(n-1)+na1an/(n-1)，即(n-1)bn=na1bn+na1an，故(na1-1)bn=na1an，故bn=an/a1，故选C。17.由a1=1，an+1=an（an-1）（n∈N*，n≥2），得an+1/an=an-1，故an/an-1=an-1/an-2=…=a2/a1=2，故an=2n-1，S1=1，Sn=S1+S2+…+Sn=∑i=1n(2i-1)=n2，故S100=10000，故选D。18.由an=3n，得b1=3，bn=3n-1（n∈N*），故b1+b2+…+bn=3+9+27+…+3n-1=3（3n-1）/2，故选B。1.已知函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则f(x)关于x=0对称。又因为f(x)在区间[-π/2,π/2]上单调递增，且f(π/4)=1，所以当f(x)=1/2时，有x=π/4。答案：D。2.已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），且∠AOB=120°。点C是线段AB上不与A、B重合的动点，MN是圆O的一条直径。则d=√3/2，|MN|的取值范围为[-√3/2,√3/2)。答案：A。3.已知直角△ABC，AB=AC=3，P、Q分别为边AB、BC上的点，M、N是平面上两点。若MN经过△ABC的外心，则PQ=3/2。答案：D。4.已知△ABC周长为6，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且a、b、c成等比数列。则b的取值范围为(2,√27-3]。答案：C。5.在△ABC内，点O满足2<∠AOC<3/2π，且∠BOA=2∠BOC。若∠ACB=π/3，则∠AOC=5π/6。答案：B。1.若B、O、D三点共线，则求t的值。解析：以OB、OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点。由平行四边形的性质可得，EC=BC。过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点。则OM=1/2EC=1/2BC=1/2。又因为B、O、D三点共线，所以点D是BO与AC的交点。由相似三角形可得AD=AM=AC，即t=1/2。2.已知向量a=(2,-1)，向量b=(-2,k)，且||a+b||=3，||a-b||=2，则|a×b|的最小值是多少？解析：由向量模长的定义可得||a+b||=sqrt((2-2)^2+(-1+k)^2)=3，||a-b||=sqrt((2+2)^2+(-1-k)^2)=2。解得k=0或-4。又因为a×b=|a|×|b|×sinθ，所以|a×b|=2|k|。当k=0时，|a×b|=0；当k=-4时，|a×b|=8。所以|a×b|的最小值为0。3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量c=2a-3b的末端坐标为（）。解析：c=2a-3b=(2,4,6)-(12,15,18)=(-10,-11,-12)。所以向量c的末端坐标为(-10,-11,-12)。4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为（）。解析：a×b=(2×6-3×5,3×4-1×6,1×5-2×4)=(-3,6,-3)，所以|a×b|=sqrt((-3)^2+6^2+(-3)^2)=3sqrt(2)。5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的模长为（）。解析：a+b=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)，所以|a+b|=sqrt(5^2+7^2+9^2)=sqrt(155)。6.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的模长为（）。解析：a-b=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3)，所以|a-b|=sqrt((-3)^2+(-3)^2+(-3)^2)=3sqrt(3)。7.已知向量(-2,3)•(-1,-2)=0，则|(-2,3)|与|(-1,-2)|的夹角的余弦值为多少？解析：由向量的数量积公式可得(-2,3)•(-1,-2)=-2×(-1)+3×2=4。所以|(-2,3)|=sqrt((-2)^2+3^2)=sqrt(13)，|(-1,-2)|=sqrt((-1)^2+(-2)^2)=sqrt(5)。由余弦定理可得cosθ=(-2,3)•(-1,-2)/sqrt(13)×sqrt(5)=-4/sqrt(65)。【解答】解：将不等式左边平方得到：$$(x-a)^2+(y-a)^2\geqa^2$$这是平面上以点$(a,a)$为圆心，$a$为半径的圆的外部或边界上的点$(x,y)$的集合。因此，$a$的取值范围是整个实数集，即选项为$\mathbb{R}$。13.（2017春·雅安期末）已知区间上的不等式$-\cos2x\geq\sinx-1$恒成立，求$a$的取值范围。【解答】解：对于任意实数$x$，不等式$-\sin2x\leq\cos2x$恒成立。令$f(y)=\cos2x-\siny$，则$-\sin2x\leqf(y)$。当$y>\frac{\pi}{2}$时，$f(y)\geq-1$；当$y<\frac{\pi}{2}$时，$f(y)\leq1$。因此，$f(y)$在区间$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$上的最小值为$-1$，在区间$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$上的最大值为$1$，在区间$\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$上不存在最小值。综上所述，$f(y)$的最小值为$-1$。因此，$-\cos2x\geq\sinx-1$可以转化为$\sinx-\sin2x\leqa+1$。①若$\sinx>\frac{1}{2}$，则$\sinx-\sin2x\leq\frac{3}{2}\sinx$。令$t=\sinx$，则$t\in\left(\frac{1}{2},1\right)$，且$\frac{3}{2}t\leqa+1$。因为$\frac{3}{2}t$在区间$\left(\frac{1}{2},1\right)$上单调递增，所以$\frac{3}{2}\cdot1\leqa+1$，即$a\geq\frac{1}{2}$。②若$\sinx<\frac{1}{2}$，则$\sinx-\sin2x\geq-\cosx-\frac{1}{2}$。同理可得$a\geq-\frac{3}{2}$。③若$\sinx=0$，则$\sinx-\sin2x\leq2$，故$a\in\mathbb{R}$。综合①②③，$-\frac{3}{2}\leqa\leq\frac{1}{2}$。故选D。14.（2017春·雅安期末）若存在两个正实数$m,n$，使得等式$a(\lnn-\lnm)(4e^m-2n)=3m$成立（其中$e$为自然对数的底数），则实数$a$的取值范围是（）。【解答】解：将等式化简得$3m+2a(n-2e^m)\ln\frac{n}{m}=0$，即$3+2a(\lnn-2e^m)=0$。令$t=\ln\frac{n}{m}$，则$t>0$，条件等价于$3+2at(1-2e^t)=0$。设$g(t)=t(1-2e^t)$，则$g'(t)=1-2te^t<0$，即$g(t)$在$(0,+\infty)$上单调递减。因此，$g(t)$在$t=e$时取得最大值$g(e)=e(1-2e^e)$，即$g(t)\leqg(e)$。若$t=\frac{3}{2e}$，则$3+2a(\lnn-2e^m)=0$，即$a=-\frac{3}{2t(1-2e^t)}$。因为$t>\frac{1}{2}$，所以$g(t)\leqg\left(\frac{3}{2e}\right)$，即$t(1-2e^t)\leq\frac{3}{2e}(1-2e^{\frac{3}{2}})$。因此，$a\leq\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{t(1-2e^t)}\leq\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}(1-2e^{\frac{1}{2}})}=-\frac{4}{3(1-2e^{\frac{1}{2}})}$。同理可得$a\geq-\frac{4}{3(1-2e^{\frac{1}{2}})}$。因此，$a\in\left(-\infty,-\frac{4}{3(1-2e^{\frac{1}{2}})}\right]\cup\left[\frac{4}{3(1-2e^{\frac{1}{2}})},+\infty\right)$。故选D。14.设函数$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{a}{x}$，若对任意给定的$y\in(2,+\infty)$，都存在唯一的$x\in\mathbb{R}$，满足$f(f(x))=2a^2y^2+ay$，则正实数$a$的最小值是多少？解：由题意得$f(f(x))=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x+\frac{a}{x})+\frac{a}{\frac{1}{2}x+\frac{a}{x}}=\frac{1}{4}x^2+a^2+\frac{1}{4}a^2x^{-2}$，令$t=x^2$，则$t\in(0,+\infty)$，$f(f(x))=\frac{1}{4}t+\frac{1}{4}a^2t^{-1}+a^2$。要使得对于任意$y\in(2,+\infty)$，都存在唯一的$x\in\mathbb{R}$，满足$f(f(x))=2a^2y^2+ay$，则需要$\frac{1}{4}t+\frac{1}{4}a^2t^{-1}+a^2=2a^2y^2+ay$，即$t^2+4a^2t=4a^2y^2t$，解得$t=\frac{1}{2}(2a^2y^2+a\sqrt{4a^2y^2+1})$，由于$t=x^2>0$，所以$2a^2y^2+a\sqrt{4a^2y^2+1}>0$，即$y>\frac{1}{2a}$。因此，$a$的最小值为$\frac{1}{2}$，故选$\textbf{(B)}$。15.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=a_2=1$，$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$（$n\in\mathbb{N}^*$，$n\geq2$），则$\lfloor\sqrt{a_{2017}}\rfloor$的值为多少？解：由$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$可得$a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$，即$\{a_n-a_{n-1}\}$为等差数列，公差为$a_2-a_1=0$，故$\{a_n\}$为二次数列。设$a_n=k_n^2$，则$k_n^2=2k_{n-1}^2+k_{n-2}^2$，即$k_n^2-k_{n-1}^2=k_{n-1}^2-k_{n-2}^2$，故$\{k_n^2\}$为等差数列，公差为$k_2^2-k_1^2=1$，即$k_n^2=k_1^2+(n-1)$。又$k_1=1$，故$k_n^2=n$，即$a_n=n-1$。因此，$\lfloor\sqrt{a_{2017}}\rfloor=\lfloor\sqrt{2016}\rfloor=44$，故选$\textbf{(B)}$。16.数列$\{a_n\}$满足：$a_1=2016$，$a_{n+1}=a_1a_{n+1}+a_2a_{n+2}+\cdots+a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}$，对任何的正整数$n$都成立。则$a_2$的值为多少？解：将$a_{n+1}=a_1a_{n+1}+a_2a_{n+2}+\cdots+a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}$中的$a_{n+1}