抛物线的简单几何性质2

2.4.2抛物线的简单几何性质(2)2.4抛物线方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）e=1xyO3.相交（一个交点，两个交点）.直线与抛物线的位置关系问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？1.相离；2.相切；与双曲线的情况一致把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？1．已知抛物线的方程y2=4x，直线l过定点M(-2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

y2=4x1．已知抛物线的方程y2=4x，直线l过定点M(-2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：设直线l的方程为y-1=k(x+2)，即y=kx-2k+1，由

，得ky2-4y+4(2k+1)=0， Δ=16-16k(2k+1)=-16(2k2+k-1)，

若有一个公共点，则Δ=-16(2k2+k-1)=0或k=0，

解得：k=0或k=-1或k=1/2；若有两个公共点，则Δ=-16(2k2+k-1)>0且k≠0，

解得：-1<k<1/2且k≠0；若没有公共点，则Δ=-16(2k2+k-1)<0且k≠0，

解得：k<-1或k>1/2

．2．过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有

条．3．在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直线y=x+3的距离最短．3解：设与y=x+3平行的直线l：y=x+t，由

，得y2-4y+4t=0，Δ=16-16t=0，令Δ=0，得：t=1，此时方程为y2-4y+4=0，解得y=2，∴x=1，∴点P的坐标是(1，2)．直线与抛物线的位置关系综合应用1．直线y=x-2与抛物线y2＝2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB．解：由

，得y2-2y-4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=2，y1y2=-4，∴x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4，∴

，∴OA⊥OB．2．从抛物线y2=2px(p>0)上各点向x轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．解：设抛物线上的点为M(xo，yo)，垂线段的中点为P(x，y)，则xo=x，yo=2y，又∵M在y2=2px上，∴yo2＝2pxo，

∴4y2＝2px，即：

，由方程可知，轨迹为顶点在原点，

焦点坐标为(p/8，1)的抛物线．3．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程.解：设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2又∵A，B在抛物线上，∴y12=6x1，

y22=6x2，两式相减，得y12-y22=6(x1-x2)，即(y1+y2)(y1-y2)=6(x1

-x2)，∴

，∴所求直线方程为：y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0．4．已知点A，B的坐标分别是(-1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)，∵点A的坐标为(-1，0)，∴

，同理

，由已知有

，∴

，化简得：x2=-(y-1)(x≠±1)．

直线与抛物线的位置关系⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.

相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线

的对称轴平行(重合);

相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛物线

的对称轴不平行(重合);