第五章 数列 第3节 等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的概念知

识

梳

理同一个等比中项q2.等比数列的通项公式及前n项和公式a1qn－13.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝_______.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为____.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为____.am·anqmqn诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)解析(1)在等比数列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×解析由题意，得a4＝a1q3＝8a1＝16，解得a1＝2.答案A4.(2020·青岛模拟)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(

) A.8 B.9 C.10 D.11

解析由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，

∴m＝10.

答案C答案D考点一等比数列基本量的运算则数列{an}为等比数列，设其公比为q，解析(1)设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.答案(1)C

(2)D【训练1】(1)等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝(

) A.9 B.15 C.18 D.30 (2)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

解析(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，(2)由{an}为等比数列，设公比为q.显然q≠1，a1≠0，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.答案(1)D

(2)－8考点二等比数列的判定与证明【例2】

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*). (1)求a2，a3的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列.

(1)解因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，

所以当n＝1时，a1＝2×1＝2；

当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，

所以a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，所以a3＝8.综上，a2＝4，a3＝8.(2)证明因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1).②①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2).规律方法1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.【训练2】

(2019·长治二模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解得a1＝1，q＝3，(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，考点三等比数列的性质及应用【例3】(1)(2020·洛阳统考)等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a8a13＝64，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝________. (2)(一题多解)(2020·北京东城区模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S30＝140，则S40＝(

) A.280 B.300 C.320 D.340

解析(1)由等比数列的性质可得a10a11＝a8a13，

所以a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64，

所以a10a11＝32，所以∴S40－S30＝S10·23，∴S40＝S30＋S10·23＝300.故选B.log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1·a2·a3·…·a20)＝log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝log2(a10·a11)10＝log23210＝50.(2)法一因为S10＝20≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－20)2＝20(140－S20)，解得S20＝60，解得q10＝2，所以S40＝S30＋S10·q30＝140＋160＝300，故选B.答案(1)50

(2)B法二设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1，规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.答案(1)B

(2)AD解析(1)根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0，数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的一种素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题；掌握数列运算法则；探究运算思路；求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1等差数列两个性质的应用

在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和： (1)S2n－1＝(2n－1)an； (2)设{an}的项数为2n，公差为d，则S偶－S奇＝nd.显然可得am≠0，所以am＝2.代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.答案(1)10

(2)5(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.类型2等比数列两个性质的应用

在等比数列{an}中，(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则an·am＝ap·aq；

(2)当公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).解析(1)数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg