广东省佛山市顺德区2020-2021学年高一下学期竞赛数学试题（含答案解析）

顺德区高一数学竞赛试题考试时间：2021年5月29日8：30—10：00一､填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有__________个.【答案】14【解析】【分析】集合中的元素是的所有子集构成的，解题时不要漏掉空集和本身.【详解】因为集合，共个元素，所以集合的非空真子集的个数为.故答案是：.2.设复数满足，则__________.【答案】5【解析】【分析】设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，再根据模长公式求解即可得答案.【详解】设，则，于是，解得，则.故答案为：.3.若直线与函数的图像交于两点，且中点的坐标为，则__________.【答案】0【解析】【分析】设，利用中点坐标公式，得，且，求解即可.【详解】设，则，且，即故答案：0.4.已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】用基底表示向量，表示方法唯一，两个向量前面的系数相等，从而得到二元一次方程组，求解即可.【详解】由三点共线，得：，又，所以有，解得.故答案为：.5.设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】令，由题意，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可.【详解】令.因为对任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，所以，即，解得，即的取值范围是.故答案为：6.在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为__________平方米.【答案】【解析】【分析】设，根据直角三角形的边角关系、余弦定理结合基本不等式即可得所求.【详解】设，则，连接，于是在中，由余弦定理，从而，当且仅当，即时取等号.所以该矩形面积的最大值为平方米.故答案为：.7__________.【答案】##0.75【解析】【分析】根据降幂公式、余弦两角和与差公式化简求值即可得答案.【详解】故答案为：.8.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的内切球的半径为__________.【答案】【解析】【分析】内切球的半径可利用等体积法进行求解.【详解】设该三棱锥的体积为，表面积为，内切球的半径为，球心为，则，且，则，∵三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，∴，∴，又，∴，∴,又，，，∴，∴由，得，因此.故答案为：.二､解答题（本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9.设实数，函数.（1）若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值；（2）若在上有且仅有2个零点，求的取值范围.【答案】（1）最大值，最小值1；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，由周期求出，再利用正弦函数性质求出最值即得.（2）由（1）的信息，求在上使成立的值仅只两个的的范围.【小问1详解】依题意，，由的最小正周期是，得，解得，于是，当时，，则当，即时，，当，即时，，所以的最大值为，最小值为1.【小问2详解】由，得，当时，，由在内有且仅有两个零点，得，解得，所以的取值范围是.10.如图，在正方体中，分别为棱的中点.（1）请在正方体的表面完整作出过点的截面.（只需写出作图过程，不用证明）（2）请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据截面定义作图即可；（2）利用图形分割即可求出体积之比.【小问1详解】连接并延长交于，连接并延长交于，于，连接交于，则截面即所求；【小问2详解】连接，如图，则截面下部的体积.设正方体的棱长为1，则，于，因此截面上下两部分的体积之比为.11.如图，在平面四边形中，为正三角形，设的中点为.（1）求证：的面积为定值，并求出该值；（2）求的正切值的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理整理等式，结合三角形面积公式，可得答案；（2）利用等面积法，结合三角函数的恒等变换，建立不等式，可得答案.【小问1详解】设，则分别在和中由余弦定理