概率论基本公式

./概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式2、对偶率：3、概率性率：4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑4个球,3号装有2红2黑4个球,某人随机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,〔1求取得红球的概率；〔2如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少？6、独立事件〔1P<AB>=P<A>P<B>,则称A、B独立.<2>伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生,则称为伯努利试验,即：P<A>=p,<0<p<1,p+q=1>相同条件独立重复n次,称之为n重伯努利试验,简称伯努利概型.伯努利定理：〔k=0,1,2……事件A首次发生概率为：例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,〔1进行5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率；〔2进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.第二章7、常用离散型分布〔1两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值,且其分布为：〔0<p<1则称X服从处参数为p的两点分布.其中期望E〔X=p,D<X>=p<1-p>〔2二项分布：若一个随机变量X的概率分布由〔k=0,1,2……给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为：X~b<n,p>〔或B<n,p>其中,当n=1时为0—1分布.其期望E〔X=np,方差D<X>=np<1-p>〔3泊松分布：若一个随机变量X概率分布为：则称X服从参数为的泊松分布,记为：,其中.泊松定理：在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为,如果时,,则对任意给定的k,有,这表明,当n很大时,p接近0或1时,有〔.N≥20,p≤0.05时用泊松分布.其期望方差相等,即：E<X>=D<X>=.8、常用连续型分布〔1均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为则称X在区间〔a,b上服从均匀分布,记为X~U<a,b>.其中,分布函数为：其期望E〔X=,方差D<X>=.〔2指数分布：若随机变量的概率为,则称X服从参数为的指数分布,简记为X~e<>.其分布函数：其期望E<X>=,方差D<X>=.<3>正态分布：若随机变量X的概率密度为,则称X服从参数为μ和的正态分布,记为X~N<μ,>,其中μ和〔>0都是常数.分布函数为：.当称为标准正态分布,概率密度函数为：分布函数为：定理：设其期望E<X>=μ,D<X>=.9、随机变量函数的分布〔1离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值,然后通过Y的每一个可能的取值<i=1,2,……>来确定Y的概率分布.〔2连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数或者概率密度,则随机变量Y=g<X>的分布函数,其中,,进而可通过Y的分布函数,求出Y的密度函数.例：设随机变量X的密度函数为,求随机变量10、设随机变量X~N<,Y=也服从正态分布.即.11、联合概率分布<1>离散型联合分布：XY……P{X=}pP{Y=1<2>连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量〔X,Y的密度函数求,,D<X+Y>.解：①当0≤x≤2时由,得：,当x<0或x>2时,由,所以,同理可求得:；②E<X>=,由对称性同理可求得,E<Y>=7/6.③因为E<XY>=所以,cov〔X,Y=E<XY>-E<X>E<Y>=4/3-<7/6>=-1/36.④同理得D<Y>=,所以,=⑤D<X+Y>=D<X>+D<Y>+2cov<X,Y>=12、条件分布：若13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则：,设随机变量〔X,Y的联合分布概率为F〔x,y,边缘分布概率为,若对于任意x、y有：,即：,则称X和Y独立.14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量〔X,Y的概率密度为,边缘概率密度函数为,则对于一切使>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：,同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：,若=几乎处处成立,则称X,Y相互独立.例：设二维随机变量〔X,Y的概率密度函数为：,求〔1确定常数c；〔2X,Y的边缘概率密度函数；〔3联合分布函数F<x,y>;<4>P{Y≤X};<5>条件概率密度函数；〔6P{X<2|Y<1}15、数学期望：〔1离散型：〔2连续型：,因为并不是每一个函数都能积分,所以并非所有随机变量都有数学期望.数学期望的性质：①E<CX>=CE<X>①③设X,Y独立,则E<XY>=E<X>E<Y>.例：10个人随机进入15个房间,每个房间容纳的人数不限,设X表示有人的房间数,求E<X><设每个人进入房间是等可能的,且各人是否进入房间相互独立>附：二项分布b<n,p>和两点分布b<1,p>的另一个关系,仍设一个实验只有两个结果：,且P<A>=p,现在将试验独立进行n次,记为n次试验中结果A出现的次数,则,若记其中：16、方差：<1><2>方差性质：①D<CX>=CD<X>;②若X.Y相互独立,则：17、协方差：<1>cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>,特别,X,Y独立时,有：cov<X,Y>=0.〔2协方差性质：①cov<X,X>=D<X>;②cov<aX,bY>=abcov<X,Y>;③cov<C,Y>=0;④cov<,Y>=⑤随机变量和的方差与协方差的关系.<3>相关系数,性质：①;②若X和Y相互独立,则=0,即X和Y不相关.③若D<X>>0,D<Y>>0,则当且仅当存在常数a,b〔,使：附注：④设e=E[Y-<,称为用来近似Y的均方差,则：设D<X>>0,D<Y>>0,有：使均方误差达到最小.18、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E<X>=μ,方差D<X>=,则对于给定任意正数,有：19、大数定理：设随机变量X,X,……X……相互独立,且具有相同的期望和方差：,i=1,2,3……,,则对于任意>0,有：20、中心极限定理；〔1设随机变量X,X,……X……相互独立,服从同一分布,且,i=1,2,3……,则：<2>棣莫佛—拉普拉斯定理：设随机变量X,X,……X……相互独立,并且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x,有：第二部分数理统计24、点估计常用方法〔1矩估计法：先求E