高考数学总复习 第四章 三角函数、平面向量与复数 第25讲 解三角形练习 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

第25讲解三角形夯实基础【p59】【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理解斜三角形，进行有关计算．【基础检测】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝3，b＝5，c＝7，那么cosC的值是()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(11,14)D.eq\f(13,14)【解析】由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋52－72,2·3·5)＝－eq\f(1,2).故选B.【答案】B2．已知锐角△ABC的面积为3eq\r(3)，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】S＝eq\f(1,2)BC·CAsinC＝eq\f(1,2)×4×3sinC＝3eq\r(3)，解得sinC＝eq\f(\r(3),2)，又因为△ABC为锐角三角形，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以C＝60°，故选B.【答案】B3．如图，在200m高的山顶A上，测得山下一塔顶B与塔底C的俯角分别是30°，60°，则塔高CB为()A.eq\f(400,3)mB.eq\f(400,3)eq\r(3)mC.eq\f(200,3)eq\r(3)mD.eq\f(200,3)m【解析】如图所示，设塔高CB为x，则山高AO＝200，且AOCD为矩形，所以tan30°＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(200－x,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴AD＝eq\r(3)(200－x)，所以tan60°＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(200,AD)＝eq\r(3)，∴AD＝eq\f(200,\r(3))，由eq\f(200,\r(3))＝eq\r(3)(200－x)得x＝eq\f(400,3)(米)．故选A.【答案】A4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝________．【解析】由3sinA＝2sinB，得3a＝2b，即b＝eq\f(3,2)a＝3.在△ABC中，由余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，得－eq\f(1,4)＝eq\f(22＋32－c2,2×2×3)，解得c＝4.【答案】4【知识要点】1．正弦定理及变式(1)eq\f(a,sinA)＝__eq\f(b,sinB)__＝__eq\f(c,sinC)__＝__2R__．(2)a＝__2Rsin__A__，b＝__2Rsin__B__，c＝__2Rsin__C__．(3)sinA＝__eq\f(a,2R)__，sinB＝__eq\f(b,2R)__，sinC＝__eq\f(c,2R)__．(4)sinA∶sinB∶sinC＝__a∶b∶c__．2．余弦定理及变式a2＝__b2＋c2－2bccos__A__．b2＝__a2＋c2－2accos__B__．c2＝__b2＋a2－2bacos__C__．cosA＝__eq\f(b2＋c2－a2,2bc)__．cosB＝__eq\f(a2＋c2－b2,2ac)__．cosC＝__eq\f(a2＋b2－c2,2ab)__．3．三角形的面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝__eq\f(1,2)acsin__B__＝__eq\f(1,2)bcsin__A__．4．(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__叫仰角，目标视线在水平视线__下方__叫俯角(如图①)．(2)方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从__正北__方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．5．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤(1)根据题意画出示意图；(2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和未知元；(3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；(4)给出答案．6．从理论上讲正弦定理可解决两类问题(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角A为钝角或直角图形关系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解典例剖析【p60】考点1三角形解的个数eq\a\vs4\al(例1)(1)已知在△ABC中，b＝2eq\r(3)，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得()A．一解B．两解C．无解D．解的个数不确定【解析】∵eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，∵b>c，∴B＝60°或120°，故解此三角形可得两解．【答案】B(2)在△ABC中，若b＝2eq\r(2)，a＝2，且三角形有解，则A的取值范围是________．【解析】由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)得sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(\r(2),2)sinB.由B∈(0，π)且a<b，则0<sinA≤eq\f(\r(2),2)，0<A≤eq\f(π,4).【答案】0<A≤eq\f(π,4)【小结】本题主要考查正弦定理，特别注意正弦定理变形的应用．解三角形的常见类型和解法：(1)已知两角和一边，首先根据内角和求出第三角，用正弦定理求解．有解时，只有一解．(2)已知两边和夹角，先用余弦定理求第三边，再应用正弦定理求另两角．必有一解．(3)已知两边和其中一边的对角，先用正弦定理求出另两角，再由正弦定理或余弦定理求第三边．可有两解、一解或无解．(4)已知三边可应用余弦定理求对应的三个角．有解时，只有一解．考点2三角形中的计算问题eq\a\vs4\al(例2)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若2sinAcosC＝sinB，求eq\f(a,c)的值；(2)若sin(2A＋B)＝3sinB，求eq\f(tanA,tanC)的值．【解析】(1)由正弦定理得eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b).从而2sinAcosC＝sinB可化为2acosC＝b.由余弦定理得2a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝b.整理得a＝c，即eq\f(a,c)＝1.(2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin(2A＋B)＝3sinB可化为sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]，即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)．故－sinAcosC＋cosAsinC＝3(sinAcosC＋cosAsinC)．整理得4sinAcosC＝－2cosAsinC，因为△ABC是斜三角形，所以cosAcosC≠0，所以eq\f(tanA,tanC)＝－eq\f(1,2).【小结】1.正弦定理是一个连比等式，题设条件中含有比值或者角的正弦形式时，可考虑正弦定理．2．余弦定理是含a2，b2，c2的等式，题设条件中含有a2，b2，c2或者角的余弦形式时，可考虑余弦定理．考点3和三角形面积有关的问题eq\a\vs4\al(例3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA＝eq\f(sinC,1－cosC)，c＝eq\r(2).(1)求eq\f(b,a)的值；(2)若三角形△ABC的面积为eq\f(\r(3),6)，求角C.【解析】(1)由题意知，tanA＝eq\f(sinC,1－cosC)，则eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinC,1－cosC)，即有sinA－sinAcosC＝cosAsinC，所以sinA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋C))＝sinB，由正弦定理a＝b，则eq\f(b,a)＝1.(2)因为三角形△ABC的面积为eq\f(\r(3),6)，a＝b，c＝eq\r(2)，所以S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)a2sinC＝eq\f(\r(3),6)，则a2sinC＝eq\f(\r(3),3)，①由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2a2－2,2a2)，②由①②得，cosC＋eq\r(3)sinC＝1，则2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))＝1，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又0＜C＜π，则eq\f(π,6)<C＋eq\f(π,6)<eq\f(7π,6)，即C＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，解得C＝eq\f(2π,3).【小结】(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【能力提升】eq\a\vs4\al(例4)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝csinB＋bcosC.(1)求A＋C的值；(2)若b＝eq\r(2)，求△ABC面积的最大值．【解析】(1)由正弦定理，得sinA＝sinCsinB＋sinBcosC，又sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinCsinB.又因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosB＝sinB，所以tanB＝1.又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4)，所以A＋C＝eq\f(3,4)π.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，所以2＝a2＋c2－eq\r(2)ac，所以2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时，等号成立，即ac≤eq\f(2,2－\r(2))＝2＋eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(2),4)ac≤eq\f(1＋\r(2),2)，所以△ABC面积的最大值为eq\f(1＋\r(2),2).方法总结【p61】1．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．4．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.5．已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理，但要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能)．6．利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角．走进高考【p61】1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)【解析】因为cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(3,5)，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcosC＝1＋25－2×1×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co