2024届高考数学统考一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入学案文含解析新人教版202305191125

2024届高考数学统考一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入学案文含解析新人教版202305191125第二节数系的扩充与复数的引入【知识重温】一、必记7个知识点1．复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的①________和②________.若③________，则a＋bi为实数，若④________，则a＋bi为虚数，若⑤______________，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔⑥____________(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔⑦________(a，b，c，d∈R)．4．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．⑧________叫做实轴，⑨________________叫做虚轴．实轴上的点都表示eq\o(○,\s\up1(10))________；虚轴上的点都表示⑪________；各象限内的点都表示⑫________________.复数集C和复平面内的⑬________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以⑭________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．5．复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝⑮____________.6．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝⑯____________.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝⑰____________.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝⑱____________.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝⑲__________________(c＋di≠0)．7．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、必明2个易误点1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．()二、教材改编2．复数eq\f(5,i－2)的共轭复数是()A．i＋2B．i－2C．－2－iD．2－i3．当eq\f(2,3)<m<1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三、易错易混4．z＝(3＋2i)(2－5i)，则复数z的虚部为()A．16B．－11C．－11iD．－165．[2021·宝鸡质检]若复数eq\f(a＋3i,1－2i)是纯虚数，则实数a＝()A．－2B．4C．－6D．6四、走进高考6．[2020·天津卷]i是虚数单位，复数eq\f(8－i,2＋i)＝________.eq\x(考点一)复数的有关概念[自主练透型]1．[2020·全国卷Ⅲ]复数eq\f(1,1－3i)的虚部是()A．－eq\f(3,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10)D.eq\f(3,10)2．[2020·浙江卷]已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A．1B．－1C．2D．－23．[2021·郑州市第一次质量预测]若复数eq\f(1＋2ai,2－i)(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为()A．1B．－1C.eq\f(1,6)D．－eq\f(1,6)4．[2021·安徽省考试试题]eq\o(z,\s\up6(－))是z＝eq\f(1＋2i,1－i)的共轭复数，则eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)悟·技法求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.考点二复数的代数运算[自主练透型]5．[2020·全国卷Ⅰ]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．26．[2020·山东卷]eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i7.[2021·河南省豫北名校质量考评]复数eq\f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝()A.eq\f(2\r(6),5)－iB.eq\f(2\r(6),5)－eq\f(1,5)iC．－1D．－i8.[2021·太原市高三年级模拟试题]设复数z满足z·(2＋i)＝5，则|z－i|＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4悟·技法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.考点三复数的几何意义[互动讲练型][例1](1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)[2020·全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.悟·技法复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·石家庄市高三年级阶段性训练题]已知i是虚数单位，且z＝eq\f(1－i,i)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]若复数z满足2z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝3－i，其中i为虚数单位，则|z|＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．3第二节数系的扩充与复数的引入【知识重温】①实部②虚部③b＝0④b≠0⑤a＝0且b≠0⑥a＝c且b＝d⑦eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d))⑧x轴⑨y轴除去原点⑩实数⑪纯虚数⑫实部不为0的虚数⑬点⑭原点⑮eq\r(a2＋b2)⑯(a＋c)＋(b＋d)i⑰(a－c)＋(b－d)i⑱(ac－bd)＋(ad＋bc)i⑲eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．解析：eq\f(5,i－2)＝eq\f(－52＋i,2－i2＋i)＝eq\f(－10－5i,5)＝－2－i，其共轭复数为－2＋i，故选B.答案：B3．解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，∵eq\f(2,3)<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴其对应的点在第四象限．答案：D4．解析：依题意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故复数z的虚部为－11.故选B.答案：B5．解析：∵eq\f(a＋3i,1－2i)＝eq\f(a＋3i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(a－6,5)＋eq\f(2a＋3,5)i是纯虚数，∴eq\f(a－6,5)＝0且eq\f(2a＋3,5)≠0，∴a＝6，故选D.答案：D6．解析：解法一依题意得eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i.解法二设eq\f(8－i,2＋i)＝x＋yi，其中x，y∈R，则(2＋i)(x＋yi)＝8－i，即(2x－y)＋(2y＋x)i＝8－i，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝8，,2y＋x＝－1，))解得x＝3，y＝－2，即eq\f(8－i,2＋i)＝3－2i.答案：3－2i课堂考点突破考点一1．解析：利用复数除法法则得eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)，所以虚部为eq\f(3,10)，选D.答案：D2．解析：因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.答案：C3．解析：因为eq\f(1＋2ai,2－i)＝eq\f(1＋2ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－2a,5)＋eq\f(1＋4a,5)i，所以由题意，得eq\f(2－2a,5)＝eq\f(1＋4a,5)，解得a＝eq\f(1,6)，故选C.答案：C4．解析：z＝eq\f(1＋2i,1－i)＝eq\f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋3i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为－eq\f(3,2)，故选C.答案：C考点二5．解析：∵z＝1＋i，∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.答案：D6．解析：解法一eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(2－2－5i,5)＝－i，选D.解法二利用i2＝－1进行替换，则eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(－2×－1－i,1＋2i)＝eq\f(－2i2－i,1＋2i)＝eq\f(－i1＋2i,1＋2i)＝－i，选D.答案：D7．解析：由题意可知，eq\f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)－\r(2)i\r(2)－\r(3)i,\r(2)＋\r(3)i\r(2)－\r(3)i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故选D.答案：D8．解析：z＝eq\f(5,2＋i)＝eq\f(52－i,2＋i2－i)＝eq\f(52－i,5)＝2－i，所以z－i＝2－2i，则|z－i|＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)，故选A.答案：A考点三例1解析：(1)由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.(2)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq\r(3)＋i，∴a＋c＝eq\r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋d2－2ac＋2bd)＝eq\r(8－－4)＝2eq\r(3).答案：(1)B(2)2eq\r(3)变式练1．解析：z＝eq\f(1－i,i)＝eq\f(1－i－i,i－i)＝－1－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝－1＋i，则eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点为(－1,1)，所以eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点在第二象限，故选B.答案：B2．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵2z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝3－i，∴2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－i，∴a＝1，b＝－1，z＝1－i，∴|z|＝eq\r(2)，故选C.答案：C第三节随机抽样【知识重温】一、必记3个知识点1．简单随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个①________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会②________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——③________法和④______________法．(3)一般地，抽签法就是总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，⑤______________后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．(4)随机数表法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．(5)简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．2．系统抽样(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(ⅰ)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(ⅱ)确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝⑥________；(ⅲ)在第1段用⑦________确定第一个个体编号l(l≤k)；(ⅳ)按照一定的规则抽取样本．通常是将l⑧________得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号⑨________，依次进行下去，直到获取整个样本．(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用⑩________.3．分层抽样(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)当总体是由⑪________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是⑫________的．二、必明2个易误点1．认清简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者间的区别与联系，是正确选择抽样方法的前提．2．在系统抽样中，应先确定分段间隔，然后再确定入样个体编号间的关系．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大．()(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样．()(3)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体．()(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．()(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()(6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．()二、教材改编2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是()A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都不是3．一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方法从全体员工中抽取样本量为n的样本．如果某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．三、易错易混4．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A．33,34,33B．25,56,19C．30,40,30D．30,50,205．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)四、走进高考6．[2017·江苏卷]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．eq\x(考点一)简单随机抽样[自主练透型]1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有()A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的同一批次的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验2．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,14)C.eq\f(1,4)D.eq\f(10,27)3．[2021·贵阳市适应性考试]为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，贵阳市市场监督管理局加强了对市场的监管力度，为了考察生产口罩的某工厂生产的600个口罩是否合格，利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，再从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号为()A．578B．324C．535D．522悟·技法解决简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.考点二系统抽样[自主练透型]4．[2021·湖南永州模拟]现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是()A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5D．2,10,18,26,345．[2021·湖北重点中学模拟]某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．6．[2019·全国卷Ⅰ]某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生悟·技法1.系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．2．系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.考点三分层抽样[自主练透型]7．[2018·全国卷Ⅲ]某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．8．[2021·五省六校(K12联盟)联考]某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n＝()A．12B．18C．24D．369．[2021·重庆中山外国语学校模拟]如饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本．其中被选出的青年女教师的人数为()A．12B．6C．4D．3第三节随机抽样【知识重温】①不放回②都相等③抽签④随机数表⑤搅拌均匀⑥eq\f(N,n)⑦简单随机抽样⑧加上间隔k⑨(l＋2k)⑩系统抽样⑪差异明显⑫均等【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√2．解析：因为抽取学号是以eq\f(50,10)＝5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．答案：C3．解析：由题意知每个个体被抽到的概率是eq\f(n,N)，∵某部门有m个员工，设这个部门抽取了x个员工，又采用了等比例分层抽样的方法．∴eq\f(n,N)＝eq\f(x,m)，∴x＝eq\f(nm,N).答案：eq\f(nm,N)4．解析：因为12528095＝255619，所以抽取人数分别为25人，56人，19人，故选B.答案：B5．解析：总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝eq\f(M,N)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，故选A.答案：A6．解析：∵eq\f(样本容量,总体个数)＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴应从丙种型号的产品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．答案：18课堂考点突破考点一1．解析：A，D中的总体中个体总数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B.答案：B2．解析：由题意知eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，∴n＝28.∴P＝eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).答案：B3．解析：第6行的第6个数开始的三位数分别为808,436,789,535,577,348,994,837,522，…，符合条件的编号分别为436,535,577,348,522，…，第5个样本数据为522.答案：D考点二4．解析：抽样间隔为eq\f(50,5)＝10，故选B.答案：B5．解析：系统抽样的抽取间隔为eq\f(30,5)＝6.设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.答案：36．解析：将1000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{an}，由题意知a5＝46，则an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C选项满足题意．故选C.答案：C考点三7．解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．答案：分层抽样8．解析：由分层抽样知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36，故选D.答案：D9．解析：青年教师的人数为120×(1－40%－30%)＝36，所以青年女教师为12人．故青年女教师被选出的人数为12×eq\f(30,120)＝3.故选D.答案：D第四节用样本估计总体【知识重温】一、必记3个知识点1．频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①________估计总体的分布．另一种是用样本的②________估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示③________，数据落在各小组内的频率用各小长方形的④________表示．各小长方形的面积总和⑤________.(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着⑥________的增加，作图时所分的⑦________增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为⑧________________，它能够更加精细地反映出总体在各个范围内取值的⑨________.(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．2．众数，中位数，平均数(1)众数：在一组数据中，出现次数⑩________的数据叫做这组数据的众数．(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在⑪________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的⑫________.(3)平均数：样本数据的算术平均数．即eq\x\to(x)＝⑬__________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该⑭________.3．样本方差，标准差标准差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，eq\x\to(x)是⑮________.标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯________总体容量时，样本方差越接近总体方差．二、必明1个易误点不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，连续随机变量在某一点上是没有频率的．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．()(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.()(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()(4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()(5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．()二、教材改编2．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是()A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.83．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．三、易错易混4．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是()A．0.05B．0.25C．0.5D．0.75．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为________．四、走进高考6．[2019·全国卷Ⅱ]演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差eq\x(考点一)样本的数字特征[自主练透型]1．[2018·江苏卷]已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．2．[2021·甘肃、青海、宁夏联考]从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下：身高(100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)()A．119.3B．119.7C．123.3D．126.73．[2021·惠州市调研考试试题]某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个产品为样本．若样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差为()A．8B．15C．16D．32悟·技法众数、中位数、平均数及方差的意义及计算公式(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数描述数据集中趋势，方差和标准差描述波动的大小．(2)平均数、方差的公式推广．①若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.(ⅰ)数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；(ⅱ)数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.(3)方差的简化计算公式．s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.考点二茎叶图[自主练透型]4．[2021·广东广雅中学、江西南昌二中联考]某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是()A．10B．11C．12D．135．[2021·陕西商洛质检]在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为()A．95B．96C．97D．98悟·技法茎叶图的应用(1)茎叶图中的“茎”上的数字代表十位上的数字，“叶”上的数字代表个位上的数字(若没有则表示该数据不存在)；(2)解题时，可把茎叶图中的数字按大小顺序转化为总体的个体数字再求解.考点三频率分布直方图[互动讲练型][例1][2020·天津卷]从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A．10B．18C．20D．36悟·技法1.绘制频率分布直方图时的2个注意点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．(2)频率分布直方图的纵坐标是eq\f(频率,组距)，而不是频率．2．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率．(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·长沙市统一模拟考试]某学校对本校高三500名学生的视力进行了一次调查，随机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图后四组的频数成等差数列，则估计本校高三这500名学生中视力在4.8以上(含4.8)的人数为()A．185B．180C．195D．200eq\x(考点四)扇形图与折线图[互动讲练型][例2](1)[2018·全国卷Ⅰ]某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼状图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半(2)[2021·山东济宁模拟]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，其中判断正确的是()A．日成交量的中位数是26B．日成交量超过日平均成交量的有2天C．认购量与日期正相关D．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅悟·技法(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.[变式练]——(着眼于举一反三)2．[2021·开封市第一次模拟考试]某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占比例依次分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%.其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C等级及以上级别的学生人数为()A．45B．660C．880D．9003．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述不正确的是()A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势第四节用样本估计总体【知识重温】①频率分布②数字特征③eq\f(频率,组距)④面积⑤等于1⑥样本容量⑦组数⑧总体密度曲线⑨百分比⑩最多⑪最中间⑫中位数⑬eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)⑭相等⑮平均数⑯接近【小题热身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．答案：C3．解析：5个数的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它们的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.14．解析：由题意知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为eq\f(14,20)＝0.7.答案：D5．解析：∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，∴eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，∴eq\f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.答案：