第13章 轴对称【A卷】（解析版）

第13章轴对称A卷一、单选题1.(3分)如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个【答案】C【考点】轴对称图形【解析】【解答】只有第二个不是轴对称图形，是轴对称图形的有3个，故答案为：C【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断。

2.(3分)到△ABC的三个顶点距离相等的点是(

)A.

三条中线的交点

B.

三条角平分线的交点

C.

三条高线的交点

D.

三条边的垂直平分线的交点【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质知，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等即可判断结果．

【解答】到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．

故选D．

【点评】解答本题的关键是注意：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，而三角形三个角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等．这是两个同学们容易混淆的概念。3.(3分)在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（

）A.

m=3，n=2

B.

m=-3，n=2

C.

m=3，n=2

B.m=-2，n=3【答案】B【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A（m，2）与B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2.故答案为：B.【分析】关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可得出答案.4.(3分)下列几何图形中，不是轴对称图形的是（

）A.

平行四边形

B.

圆

C.

等腰三角形

D.

等边三角形【答案】A【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，圆，等腰三角形，等边三角形均为轴对称图形.故答案为：A.

【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴。5.(3分)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形(

)A.

8个

B.

7个

C.

6个

D.

5个【答案】A【考点】等腰三角形的判定【解析】【解答】图中的等腰三角形有△ABC、△BCE、△CDB、△BFC、△BFD、△CEF、△AEB、△ADC，

故答案为：A.

【分析】根据题目条件，求出∠ABC和∠ACB以及∠BEC的度数，按照从小到大的顺序计算等腰三角形的个数即可。6.(3分)已知等腰三角形的顶角等于30°，则这个等腰三角形的底角等于（

）A.

120°

B.

75°

C.

60°

D.

30°【答案】B【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】因为等腰三角形的顶角等于30°所以这个等要三角形的底角=故答案为：B【分析】根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和即可算出答案。7.(3分)下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；故答案为：B．【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合。即可得出正确选项。8.(3分)如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

3个以上【答案】D【考点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，{∠PEM=∠PON∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D．【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．9.(3分)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25oA.

100o

B.

105o

C.

110o

D.

115o【答案】B【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC=BD，故∠DCB=∠DBC=25°，则∠CDA=25°+25°=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠CDA=50°，∴∠ACB=180°-50°-25°=105°.故答案为：B.【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可.10.(3分)如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则这样的P点有多少个？（）

A.

4

B.

3

C.

2

D.

1【答案】A【考点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：（1)当点P在x轴正半轴上，

①以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2)，

∴∠AOP=45°，OA=22，

∴P的坐标是（4，0)或（22，0)；

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2)，

∴当点P的坐标为：（2，0)时，OP=AP；

（2)当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2)，

∴OA=22，

∴OA=AP=22，

∴P的坐标是（-22，0)．

故选A．【分析】没有指明点P在正半轴还是在负半轴，也没有说明哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，从而求解．二、填空题11.(4分)如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD⊥BC.若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是________.【答案】485【考点】垂线段最短，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，连接BP.∵△ABC中，AB=AC=10，AD是BC边上的高且AD=8，∴BD=DC，∴BP=PC，∴PC+PQ=BP+PQ=BQ.∴当B、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，∵Q是AC边上的动点，∴当BQ⊥AC，BQ值最小，令AQ=a，则CQ=10−a，∵BQ⊥AC，∴AB即102−a∴BQ=102∴PC+PQ的最小值为485故答案为485【分析】根据AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD是BC边上的高，即可判断AD为BC的垂直平分线，可得BP=PC，所以PC+PQ=BP+PQ，再根据点到直线的所有连线中垂线段最短即可得出最小值即是BQ垂直AC时的长度.利用勾股定理即可求出结果.12.(4分)如图，△ABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠DAF＝70°，∠DBE＝60°，∠ECF＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝________．【答案】360°【考点】轴对称的性质【解析】【解答】连接AP，BP，CP，∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．故答案为：360°．【分析】连接AP，BP，CP后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合周角的定义可知答案．13.(4分)如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=________．【答案】32°【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．故答案为32°【分析】利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，可证得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，从而可求出∠BAE+∠CAN的值，然后求出∠EAN的度数即可。14.(4分)如图，AD⊥BC，BD=CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD=2，AB=4，则DE=________．【答案】6【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC；又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=EC，∴AB=AC=CE=4；∵BD=CD=2，∴DE=CD+CE=2+4=6，故答案为6【分析】根据线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC，即可证得AC=CE，就可求出CE的长，然后根据DE=CD+CE，求出DE的长即可。15.(4分)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是________．【答案】15【考点】线段垂直平分线的判定【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，故答案为：15【分析】根据垂直平分线的性质可证得DB=DC，再证明△ABD的周长等于AB+AC，即可求出结果。16.(4分)如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=________度．【答案】35【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出＋A的度数，再利用线段垂直平分线的性质，易证AD=BD，从而可求出∠ABD的度数。17.(4分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．【答案】2a+3b【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b【分析】利用已知条件，可表示出AB、AC的长，再根据垂直平分线的性质及三角形内角和定理，去证明AE=CE=BC，然后求出△ABC的周长。18.(4分)如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是________．【答案】0＜CD≤5【考点】等腰三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立，当点D与点A重合时，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，∴CE=CD，CD=CB，∴CD=12∴0＜CD≤5，故答案为：0＜CD≤5【分析】分情况讨论：当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立；当点D与点A重合时，易证∠E=30°，∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，利用等角对等边，得出CE=CD，CD=CB，就可求出CD的长，从而可得出CD长度的取值范围。三、作图题19.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．⑴作出△ABC关于y轴对称的△A⑵直接写出△A【答案】解：（1）△A⑵点A1、B1、C1的坐标是A1故答案为：A1【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征，作图﹣轴对称【解析】【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可．20.(8分)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是(−5,5)，(−2,3).（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A（3）请在x轴上求作一点P，使△PB【答案】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）P点位置如图所示|【考点】作图﹣轴对称，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【分析】（1）将点A向右平移5个单位，再向下平移5个单位后的对应点作为坐标原点，建立平面直角坐标系即可；（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质画出A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1，再顺次连接即可；（3）作点B1关于x轴的对称点B2，连接CB2交x轴于点P，该点就是所求的点.四、解答题21.(15分)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．​（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系（2）请作出△ABC关于y轴对称的△DEF，其中点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F（3）写出点E关于原点的对称点M的坐标．【答案】（1）解：​

（2）解：​

（3）根据图象得到点E的坐标为（2，1），其关于原点对称的点的坐标为（﹣2，﹣1）【考点】作图﹣轴对称【解析】【分析】（1）根据题意画出坐标系即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点作出△DEF即可；（3）根据中心对称的特点直接写出答案即可．22.(10分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点P是直线CD上的点连BP，点A′是点A关于直线BP的对称点（Ⅰ）在图①中，当DP=1（点P在点D的左侧）时，计算DA′的值；（Ⅱ）当DA′取值最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺画出点A′，并简要说明点A′的位置如何找到的（不要求证明）【答案】解：（Ⅰ）由图象可知：DA′=32+1（Ⅱ）如图2中，点A′即为所求．①连接BD，②在直线CD上截取BDP=BD=5，③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE）点A′即为所求．【考点】作图﹣轴对称【解析】【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；（Ⅱ）①连接BD，②在直线CD上截取BDP=BD=5，③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE），点A′即为所求；23.(5分)如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数.【答案】解：∵AB=AC