河南省许昌市建安区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

许昌市建安区重点中学高二年级12月考试数学试题一、选择题（1-8为单选择题，每题5分，共计40分）1.若向量，向量，则向量（）A. B. C. D.2.已知数列1，，，，3，，…，，...，则是这个数列的（）A.第1011项 B.第1012项 C.第1013项 D.第1014项3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.已知直线，，，若且，则（）A. B.10 C. D.25.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A.1 B. C. D.6.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A.60° B.90° C.105° D.75°7.直线与曲线有两个交点，则实数b取值范围为（）A. B. C. D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（9—12为多选题，选不全得2分，错选为0分，全对得5分，共计20分）9.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线l的倾斜角是 B.若直线，则C.点到直线l的距离是2D.过与直线l平行的直线方程是10.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（）A. B. C. D.11.已知双曲线与椭圆的一个交点为M，A、B分别是双曲线的左、右顶点，S、T分别是椭圆的左、右顶点，则（）A.直线与直线的斜率之积为1 B.若，则C.若，则 D.若的面积为，则12.在如图所示的四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点Q是的中点，则下列结论正确的是（）A.平面 B.与平面所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为D.四棱锥的外接球的表面积为三、填空题（每题5分，共计20分）13.等比数列的前n项和为，若，，则公比q的值为________.14.已知两点，，直线l过点且与线段有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________.15.已知直线l的方向向量且过点，则点到直线l的距离_________.16.如图，点，为双曲线的左右焦点，点A、B、C分别为双曲上三个不同的点，且经过坐标原点O，并满足，，则双曲线的离心率为_________.四、解答题（17题10分，18—22题每题12分，写出必要的文字说明及解答过程，共计70分）17.（本题10分）设等差数列的前n项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.18.（本题12分）在数列的首项为，且满足.（1）求证：是等比数列.（2）求数列的前n项和.19.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，为正三角形，且平面平面，E为线段的中点，M在线段上.（1）当M是线段的中点时，求证：平面；（2）当时，求二面角的正弦值.20.（本题12分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列.（2）若，求满足条件的最大整数n.21.（本题12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且，求线段所在直线的方程.22.（本题12分）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，数列满足，为数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求证：.许昌市建安区重点中学高二年级12月月考数学试题参考答案一、选择题（1--8为单选择题，每题5分，共计40分）题号12345678答案CBCCDBCA二、多选题（9—12为多选题，选不全得2分，错选为0分，全对得5分，共计20分）题号9101112答案CDBCACDBD三、填空题13.或114.15.16.四、解答题17、解（1）设等差数列的首项和公差分别为和d，即解得，（2）由（1）知.当时；当时，当，时，，当时，.综上，18、（1）由题意，数列满足，即，则，又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，所以，所以，当n为偶数时，可得；当n为奇数时，可得，综上可得，.19、（1）证明：如图，连接，交于点O，连接，由底面为菱形，得O为的中点，又M为的中点，.又平面，平面，平面.（2）连接.为正三角形，E为的中点，，又平面平面，平面平面，平面，又底面为菱形，，E为线段的中点，.以E为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，又，即，可得，，.设平面的法向量为，则，令，则.由平面，得平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为.20、（1）由题意，数列满足，可得，可得，即，又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以设数列的前n项和为，则，若，即因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数n的值为99.21、解：（1）由已知可设椭圆标准方程为，得，，，所求椭圆的标准方程为.（2）由（1）知焦点M的坐标为.当直线的斜率不存在时，验证可知不合题意，舍去.当直线的