中国石油大学机电系统计算机控制 (4)

第四章计算机控制系统分析主要内容：1.计算机控制系统的数学模型。2.脉冲传递函数的定义及开环与闭环的脉冲传递函数。3.离散系统的稳定性,朱利判据和劳斯判据。4.离散控制系统的稳定误差。

§4.1计算机控制系统的数学模型通过拉氏变换可将微分方程变换成等价的代数方程，且传递函数为输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。线性常系统的微分方程式中ai,bi(i=0···n，m)为实数：Xo(t):系统输出量。Xi(t):系统输入量。在零初始条件下，输入、输出的各阶导数初值均为零。对方程两端取拉氏变换：有计算机控制系统为实时的数字装置，它只能在t=kT

时接收信息。我们研究线性离散系统与连续系统的控制方法相似，把线性常系数差分方程描述成：求解线性差分方程，首先对方程两边进行Z变换将差分方程变成等价的代数方程，然后求出输出与输入的比，得到系统的脉冲传递函数。研究脉冲传递函数即可获得计算机控制系统的详细信息。§4.2脉冲传递函数在初始静止（k=0,1···n-1时,输入序列和输出序列均为0）的条件下，脉冲传递函数是系统输出函数脉冲序列的Z变换Y(z)和输入函数脉冲序列的Z变换U(z)之比，用G(z)表示离散系统的脉冲传递函数。

一.定义：

传递函数是研究线性系统的重要工具，脉冲传递函数是研究线性离散系统的重要分析工具。

脉冲传递函数有时又被称为Z传递函数。

若已知系统的脉冲传递函数G(z)及输入信号的Z变换U(z),则输出信号为：因此，求解的关键在于怎样求出系统的脉冲传递函数。二、脉冲传递函数的求解

1、由离散系统的差分方程求脉冲传递函数

对上式两端取z变换，利用z变换位移定理，并考虑初始条件为零，可得到脉冲传递函数为：2、已知离散系统的单位脉冲响应g(k)，求z传递函数

对于一个给定的系统，若其输入为单位脉冲，则由脉冲传递函数的定义因此已知离散系统的单位脉冲响应求z传递函数，就是直接对单位脉冲响应取z变换。3、已知连续系统的传递函数G(s)，求z传递函数。①首先对G(s)取拉氏逆变换求得时间域函数g(t)②将g(t)按采样周期T离散化，求得③由z变换的定义式求离散的z传递函数，即三、开环系统的脉冲传递函数对于开环控制系统，需要注意：1、G(z)表示该线性环节与采样器两者结合体的脉冲函数，而G(s)表示某个线性环节本身的传递函数。

2、G(z)与G(s)的关系可表示为：注意：不能认为z和s互换即有：通常我们称之为对G(s)求Z变换。例1：下图为具有零阶保持器的开环系统，求其脉冲传递函数。解：为分析方便，将图等效：P50r*(t)Gp(s)C(t)C*(t)r(t)这样有：系统输出C*(t)是两个量的组合。一路为r*(t)经过G2(s)后产生的响应C1(z)；另一路为r*(t)经过所产生的响应C2(z)。分别进行Z变换有：整理有：开环系统的脉冲传递函数为：例2：见教材P51自学例3：如图中间有采样器，两个串联连续环节的开环脉冲传递函数，由于G1(s)、G2(s)之间没有采样器，可将其看成一个整体。其中：解：G1(s)和G2(s)中间有采样器，G1(s)输出量m(t)经过第二个采样器生成脉冲序列m*(t)作用于G2(s)。

1.如果串联环节之间没有采样器，则需将这些环节看成一个整体，求其传递函数为：总结：串联环节之间有无采样器，其脉冲传递函数不同。然后由G(s)求G(z)可表示成：

2.如果串联环节之间有同步采样器,总的脉冲传递函数等于各个串联环节的脉冲传递函数之积：四、闭环系统的脉冲传递函数如图：偏差信号e(t)=r(t)-b(t)，e(t)经采样后成为离散序列e*(t)作用于G(s)，根据脉冲传递函数的定义有：C(z)=G(z)E(z)B(z)=GH(z)E(z)E(z)=R(z)-B(z)由于采样开关的位置不同，可以有多种结构形式，故没有唯一的典型结构。例4.求系统的闭环脉冲传递函数。区别于连续系统：

解：已知求得G(z)并带入T=2s有：求GH(z)并带入T=2s有：常用采样系统的闭环脉冲传函见下表，注意采样器的位置与脉冲函数的关系。P54例：设线性离散系统的差分方程为：求系统的脉冲传递函数。y(kT+3T)+2y(kT+2T)+y(kT+T)=u(kT+T)+1.5u(kT)解：在零初始条件下进行Z变换：例：设线性离散系统的脉冲传递函数,求系统的差分方程。解：对G(z)进行Z反变换，利用滞后性质有：y(kT)+2y(kT-T)+5y(kT-2T)+2y(kT-3T)=u(kT-T)+3u(kT-2T)+u(kT-3T)§4.3计算机控制系统的性能分析稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质，我们只讨论线性时不变离散系统的稳定性问题。一、S平面和Z平面之间的映射关系则S平面与Z平面之间的映射关系：Z变换可以看成是一种离散的拉氏变换:二、离散控制系统的稳定性

1、若一个单输入，单输出的线性定常系统的闭环脉冲传递函数为：为了保证系统的稳定，D(z)的全部特征根必须位于Z平面中单位圆内。若D(z)中的根有位于单位圆外，则闭环系统不稳定。如果有一根恰好位于单位圆上，则系统处于临界稳定。C(z)/R(z)=G(z)/(1+GH(z))

G：前向通道H：反馈则系统的特征方程为：D(z)=1+GH(z)设离散控制系统的特征方程为：

①朱利判据：其中a0，a1•••an

为实数，

且a0>02.代数判据

行数z0z1z2…zn-2zn-1

zn12a0a1a2

…

an-2an-1ananan-1an-2

…

a2

a1a034b0b1b2…

bn-2

bn-1

bn-1bn-2bn-3

…

b1

b0

56c0c1c2

…

cn-2

cn-2cn-3cn-4

…

c0

……………2n-52n-4r0r1r2r3r3r2r1r02n-32n-2s0s1s2

s2s1s0例4.8已知系统的特征方程为利用朱利稳定性判据判断系统稳定性。解：由特征方程的系数，构造朱利阵列这种方法的优点是简单、直接，但计算量较大。②双线性变换的劳斯稳定判据由于Z平面和S平面的稳定域不同，故首先需经过一种复变函数的双线性变换（简称Z-W变换），把Z平面中的单位圆映射到ω平面的虚轴,Z平面中的单位圆外部和内部分别对应于ω平面的右半平面和左半平面。补：劳斯判据；若系统的特征方程为：②若劳斯阵中第一列系数全部大于零则系统稳定。①若D(s)中s的幂次不缺项,且ai>0劳斯阵:……

…例：已知系统的特征方程，判断系统的稳定性。

由①系数全部为正，不缺项。②劳斯第一例全部为正。所以系统稳定。

解：劳斯阵例、试求图中闭环采样离散控制系统稳定时K值的范围。解：对G(s)进行Z变换，有：总结：

若系统中无采样器，则对系统应用劳斯判据可知K>0时，系统稳定；但经采样后系统的稳定性下降了。进行Z-W变换，即：带入T=1s要系统稳定，必有：整理有：0<k<4.35三.采样离散控制系统的稳态误差

稳态误差是系统稳定性能的重要指标。得：可见，离散控制系统的稳态误差与输入信号及系统的结构有关。若闭环系统稳定，利用Z变换的终值定理可以求出系统的稳态误差。由开环脉冲传递函数G0(z)中z=1的极点个数可分为O、I、II型系统。1、单位阶跃输入Kp

位置误差系数2、单位斜坡输入代入z=1,由于得：有Kv

称为速度误差系数3、单位加速度输入KaKaKa0∞