中国石油大学场论

第二章稳定电场§

2.1真空中的静电场1、库仑定律

库仑定律表述式

是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，其值为

（国际单位制）（高斯单位制）

库仑定律表明，真空中两个静止点电荷间的作用力大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线。同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。

施力电荷静止，受力电荷运动，它们间的作用仍满足库仑定律。

两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定律。

库仑定律只能直接用于点电荷。所谓点电荷，是指当带电体的尺度远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。（高斯单位制）

对于实际的带电体，一般应该看成是分布在一定的区域内，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况。其单位是库/米3(C/m3)。这里的ΔV趋于零，是指相对于宏观尺度而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是相对于微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒子，这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。2、电荷分布1）、电荷体密度：在电荷分布区域内，取体积元ΔV，若其中的电量为Δq，则电荷体密度为

2）、电荷面密度：如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为

3）、电荷线密度：对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为3、电场强度

用电场强度来描述电场。

1）、定义：空间一点处的单位正试验电荷所受到的力定义为该点的电场强度。由库仑定律，在点电荷的场中距点电荷r处，试验电荷

受到的电场力为点电荷的电场强度2）场强叠加原理：对于离散的点电荷系，由场强叠加原理有

对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为电场分布的几何描述——电场线电场线方程

带电平行板

负点电荷

正点电荷

几种典型的电场线分布4、静电场的第一基本定律1）、高斯定理

由高斯定理知，真空中电场强度关于一闭合曲面的电通量与闭合曲面内的电荷有关系为

高斯定理以电通量的形式给出了静电场与源——电荷间的关系；高斯定理具有普适性，但利用它求解电场时，对电场的对称性有要求。2）、静电场的散度表明：真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度的4

倍。静电场是有散的场，其源为电荷。5、静电场的第二基本定律可以证明：由斯托克斯定理得

式中S是以回路L为周界的任意曲面。静电场的旋度等于零，即静电场是无旋的场。1)、静电场的势U6、静电场的势定义：单位正电荷由场中某一点P点移至无限远处时场力所作的功。对于点电荷：对于体电荷：对于面电荷：2）势与场强的关系当B无限靠近A时，此增量可写成一微分

在直角坐标系中，场强度沿坐标轴的三分量应为

根据全微分定义我们有

静电场中任一点的场强E等于该点的势的负梯度

若讨论的区域ρ=0，则方程为7、静电场的泊松方程和拉普拉斯方程

上述方程称为拉普拉斯方程。因为所以

用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，定义为电偶极子在空间任意点的电势为§

2.2偶极子场1、电偶极子一对等量异号的电荷+q、-q，位置十分靠近，其距离为l，

方向是从负电荷指向正电荷。由于l<<r偶极子电场强度为

上述结果表明：电偶极子远区的电势与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。电偶极子的电场分布图2、偶极子面分布（偶层）的场偶层：两个十分靠近，彼此平行的带电面，面上带有数量相等，符号相反的电荷。设偶层矩为结论：均匀偶层在P点的势值等于偶层矩和偶层边缘对P点所张立体角的乘积（规定：从P点看到偶层正荷面，立体角为正，反之为负。讨论：任一偶层（闭合或不闭合均可）的势，当经过层面时，发生的突变。闭合偶层非闭合偶层★例1一均匀圆薄板（偶层）的场强和势，面电荷密度为§2.3电介质中的场方程1、电介质在外加电场中产生极化的物质称为电介质。电介质是由分子组成的，而分子又是由带正负电荷的质点（电子和原子核）组成的。有极分子：分子的正负电荷中心在无外场时不重合，分子存在固有电偶极矩。无极分子：分子的正负电荷中心在无外场时重合，不存在固有电偶极矩。没有外电场作用的情形下，由于分子的不规则运动，有极分子偶极矩取不同的方向，体积内所有分子的偶极矩之矢量和为零，无极分子由于正负电荷中心重合，都处于不带电状态。2、介质的极化

导体中的电子称为自由电子，其携带的电荷称为自由电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。在外电场的作用下，电荷会沿电场方向产生位移，产生极化。介质的极化方式可分为：位移极化（无极分子）取向极化（有极分子）外电场作用下，便偶极矩方向转向和外电场一致。外电场作用下，不再重合，出现偶极矩。1）极化强度的定义

极化强度描述介质的极化程度，表示极化介质中某位置处单位体积内（平均）分子电偶极矩。其中的表示分子的电偶极矩，为介质中的体积元。极化介质可视为无数偶极子的组合，极化状态完全由极矩来决定。极化强度的定义：单位体积介质内的极矩

发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。极化电荷也要产生电场，影响原外电场分布。2）、极化介质产生的电位设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度，现在计算介质外部任一点的电位。取体积元dV′，将其中的介质当成一偶极子，其偶极矩为

，它在处产生的电位是整个极化介质产生的电位为再利用矢量恒等式：

极化电荷体密度极化电荷面密度与前述电位的积分公式比较，有3、介质中的场方程静电场中放入一电介质，在某点产生的电势应为静电场产生的势电介质极化后产生的势在电介质中应为电位移矢量有4、介电常数

对于线性的均匀介质为极化率，是一个大于或等于0的无量纲常数，与介质有关由为介质的介电常数，

因为k>0,所以总是大于1，只有在真空中，k=0,

空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质；极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否则，称为非线性介质；若极化率是一个正实常数，为线性均匀且各向同性的介质。若极化率表示为矩阵，且矩阵的各个元素都是一个正实常数，则为线性均匀各向异性的介质。极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。对于均匀线性介质(ε为常数)，电位满足如下的泊松方程

5、电介质场方程若无电荷分布，电位满足拉普拉斯方程§

2.4电介质场的边界条件

1、电位移法向分量的连续条件或

电位移法向分量的不连续，与分界面的自由面电荷的存在有关电位移法向分量的边界条件用电位可表示为

如果界面上无自由电荷分布，即在σ=0时，边界条件变为或

当分界面的自由面电荷不存在，电位移法向分量连续对于各向同性的线性介质，有

此式表明：在两种各向同性的线性介质形成的边界上电场强度的法向分量不连续。

在σ=0时，电位移法向分量的边界条件用电位可表示为

2、电场强度切向分量的连续条件即此式表明：在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，即电场强度的切向分量是连续的。

对于各向同性的线性介质在边界上，电位移的切向分量是不连续的。

设区域1和区域2内电场线与法向的夹角分别为θ1、θ2，分界面处的折射定理

折射定理表明，电场线在分界面上通常要改变方向。

在σ=0时，由电位移法向分量和场强的切向分量的边界条件有：

§

2.5导电体中的稳定电场—电流场1、传导电流是导体中的自由电子或者是电解液中的离子运动形成的电流。

一、电流密度与电场之间的关系2、电流强度I：单位时间通过导体上任一横截面的电荷量。3、电流密度

：单位时间通过与该点电场强度方向垂直的单位面积的电流。方向与该点电场强度方向相同。4、欧姆定律（实验结果）一段载流I导体，端电压为U，电阻为R，由欧姆定律欧姆定律微分形式（电流密度与电场关系）

电导率为无限大的导体称为理想导电体。

电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。理想介质内无电流存在。

电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为导电介质。媒质电导率(S/m)媒质电导率(S/m)银海水4紫铜淡水金干土铝变压器油黄铜玻璃铁橡胶二、电流连续性方程

在电流场中有一闭合曲面S，由电荷守恒定律：单位时间内流出任何封闭面的电荷量等于该时间内封闭面中总电荷量的减少。电流连续性方程

要该积分对任意的体积V均成立，必须有被积函数为零

电流连续性方程微分形式

电流连续性方程积分形式

恒定电场的电流连续性方程

若电荷分布恒定，即结论：稳定（恒定）电流是连续的，电流没有起点和终点。（动态稳定，有电源不断补充）三、稳定电流场的势场性质

稳定电流场，电荷在空间的分布应该始终是稳定的，不随时间改变。虽然是一种动态稳定，空间某点的电荷被另一些电荷动态替代，但不会影响到电场强度改变，因此稳定电流场和静电场一样，是一个势场。四、稳定电流场的势的微分方程1、均匀导电介质中结论：均匀导电体内部无电荷密度分布。2、非均匀导电介质中与静电场类比：结论：在稳定电流经过的不均匀导电介质中，其内部有体电荷密度存在。由积分形式

可得稳定电流场中不同导电媒质分界面的边界条件

§

2.6电流场中的边界条件和边值问题即稳定电流场的边界条件为

稳定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向分量连续，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连续，但其法向分量不连续。

应用边界条件，可得分界面处的折射定理讨论：两种导电媒质

当一种导电媒质为不良导体，另一种导电媒质为良导体，若电导率，如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107

数量级)的铜或铝制成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质,总有很小的漏电导存在，如聚乙烯的电导率为10-10

数量级，由

当λ1>>λ2，第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直，这时可将良导体的表面近似地看作等位面。

2）理想介质与良导体由上知，理想介质与良导体边界面上，不存在法向稳定电流，即导体内电流与界面平行。3）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷

当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生变化。分界面上的面电荷密度可见,在两种导电介质分界面上有面电荷（感生电荷）分布。前面已讲过如果导电介质不均匀,在介质中还会有体电荷的存在。§

2.7势的特征及边界条件1电荷不存在区域2势处处连续，但在通过偶层时发生突变3势处处有限，除r=0时点电荷的场4在电介质分界面上，如无自由面荷5在导体与电介质分界面上（法向由导体指向电介质）6在导体表面，势为一已知常数或总电荷为已知常数7

r∞时，U为零§2.8

电象法（镜像法）1、电象法用电象法求解的依据是解的唯一性定理。电象法是求解静态场边值问题的一种方法。该方法的实质是在满足方程和边界条件下，用假想电荷代替复杂的感应电荷或极化电荷。

求解的关键问题是（1）确定象电荷的位置、电量、电性等，依据是边界条件；（2）象电荷只能置于求解区域外。2、平面电象法例1、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。

介质

导体

qrP分析：

导体平面上空的电场是由点电荷和导体表面的感应电荷共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。该问题的求解条件是：当导体上方时，（除点电荷所在位置）；当导体表面处时，；

设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷（象电荷），用该象电荷代替导体上的感应电荷，即引入后，就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。

用一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为

的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即

解：

介质

导体

qrP

介质qrPhh

介质z0对于平面上的任一点的电位有即像电荷与原点电荷电量相等，电性相反；的作用代替了导体上的感应电荷。在区域内，电位的解为可得导体表面的面电荷密度：导体表面总的感应电荷：

电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。电场线等位线z

电场线等位线由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。

半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。

例2、设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于z<0及z>0的半空间，在介质2中点(0,0,h)处有一点电荷q,如图所示，求空间各点的电位。

2

1qetenz分析：为了求解上半空间的场可用镜像电荷q'等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为

2的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的q"等效原来的点电荷q

与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为

1的均匀空间。例3、

如下图所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处（d>a)，求球外任一点的电位。

dqo分析：先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离为b(b<a)，球外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q′产生电位的叠加Pabrq

AB§

2.9解电流场的静电类比法物理量的对偶关系

静电场恒定电场

因此，当稳定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解稳定电流场。或者由于在某些情况下，稳定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。

静电比拟法的理论依据：解的唯一性定理

利可用已经获得的静电场结果可以求解稳定电流场。

例:(1)均匀各向同性介质中点电流源的场(2)点电流源在地面（半均匀空间）的场(3)两个接地电源产生的场§

2.10分离变量法1、直角坐标系中的分离变量法设可以表示为三个函数的乘积，即

在直角坐标系中，拉普拉斯方程为然后用fgh除上式，得令知分离变数间有关系为分离变数、、与变量无关，且不可全为实数或虚数。这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。当时，则

当时，则

当时，则

或的特征解有：

例、横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0，求此区域内的电位。

解：

本题的电位与z无关，只是x、y的函数。

在区域0<x<a、0<y<b内，边界条件为：①x=0,(0,y)=0；②x=a,(a,y)=0③y=0,(x,0)=0；④

y=b,(x,b)=U0

设，利用分离变量法求解由边界条件（1）、（2）知具有周期性，且

取不同的n值对应的并叠加，即由边界条件④，有其中

左右两边同乘以sin(mπx/a)，并在区间(0，a)积分，有有

所以，当n=1,3,5,…时，

得到待求区域的电位为2、圆柱坐标系中的分离变量法运用分离变量法，令

当电位与坐标变量z无关时，上式第三项为零，此时电位

(r,φ)满足二维拉普拉斯方程：两个常微分方程：

当时，n=1，2，3…为整数，且()与()是空间同一点，有方程（1）的解为所以，方程（2）的解为三角函数解，即即电位的通解为上式对n的求和当n=0时，

例、

将半径为a的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场E0中，柱轴与E0方向垂直，求任意点的电位分布。

解：令圆柱的轴线与z轴重合，E0的方向与x方向一致，如图所示。由于导体柱是一个等位体，令其电位为零，即在柱内(r<a),，柱外电位满足拉普拉斯方程。的形式就是圆柱坐标系拉普拉斯方程的通解。以下由边界条件确定待定系数。本例的边界条件是：①r→∞，柱外电场E2→E0,即→-E0x，设仅有外场时的电位为，即。②r=a，导体柱内、外电位连续，即。且，电位关于轴对称，即在通解中只取余弦项，于是，因这一表达式对任意的φ成立，所以所以，得

例、

若在电场强度为E0的均匀静电场中