期中复习三角形培优教案（横版）

三角形

适用学科初中数学适用年级初中二年级

适用区域全国新课标课时时长（分钟）60分钟

1、与三角形有关的线段

知识点2、与三角形有关的角

3、多边形及其内角和

一、知识与技能

教学目标1、了解三角形的定义；

2、会画三角形的高、中线、角平分线，并且知道它们的性质，识记锐角三角形、直角三

角形、钝角三角形这"三线"的特点；

3、会用三边关系判定所给三条线段能否构成三角形；

4、识记并会运用三角形的内角和定理；

5、掌握三角形外角的性质；

6、识记多边形内角和、外角和、对角线公式及对角线引申式并会进行推导以及运用；

二、过程与方法

1、以学生为主，带领学生复习巩固，当学生遇到想不起来或者记忆不太清的知识

点需要重点复习；

2、把握重难点、考点结合学生的实际以及期中考试的热点问题、经典例题进行针

对性的巩固训练；

3、让学生先掌握三角形的边角关系，再通过引导循序渐进让学生推导出多边形内角

和、外角和、对角线公式及对角线引申式；

4、根据不同学生的实际情况，要求不同学生掌握简单、巩固、拔高各种层次的题

型；

5、掌握图形规律的一般解题方法：从特殊到一般，将整体分割为几个个体的研究

方法。

三、情感、态度与价值观

1、让学生对生活中经常出现的三角形有一个整体认知；

2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂、整体分离的学习方法；

3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心；

4、培养学生、转化、分类讨论等数学思想，形成特定的数学思维。

教学重点三角形三边关系、"三线"性质、内外角和定理、多边形及其内角和

教学难点多边形及其内角和

教学过程

一、课堂导入

L（莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°,则这个正n边形的边数是（）.

2、（包头）长为9,6,5,4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）

3、如图,MBC中，BO,CO分别是/ABC,zACB的平分线，NA=50°,贝!UBOC等于（）

0

BC

问题：以上是三角形这一章的重难点内容，它们仅仅是一个示例，相信有很多同学对于以上三个题目

有自己的解题思路，好的，在这一章我们将主要围绕这些内容，这类题型乃至稍微复杂一点的题型进行

复习，如果是一些简单的题型大家可能都没问题，如果是遇到一些复杂一点的又有可能考试涉及到的题

型又该如何解答？

二、复习预习

（-）轴对称与轴对称图形：轴对称图形是指"一个图形"；轴对称是指"两个图形"的位置关系。

（二）轴对称与轴对称图形的性质：

轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折

后重合的角）相等。

（三）线段的垂直平分线的性质：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。这是一个证明线段相等的办法。

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（四）画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：

如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平

分线。因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的

对称?由。

（五）轴对称变换：

画一个图形关于某条直线对称的图形，只要分别作出这个图形上的关键点关于对称?由的对应点，再连接

这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

用坐标表示轴对称：

（六）在平面直角坐标系中，关于X轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称

的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。如关于X轴对称的点的坐标为（。，询,关于）‘轴对称

的点的坐标为

三、知识讲解

考点/易错点1

与三角形有关的线段

1、三角形的中线、高线、角平分线

三角形

的

定义图形表示法说明

重要线

段

从三角1.是△48C的三角形有三

A

形的一8c边上的高线。条高,且它们

三角形

2.AD1BCTD

个顶点拄o（或它们的

的高线BDC3.

向它的延长线）相交

ZADB=ZADC=90

对边所o于一点，这个

o

在的直交点叫做三

线作垂角形的垂心。

线，顶点

和垂足

之间的

线段。

三角形有三

三角形

条中线，都在

中，连接

1.八。是/XABC的三角形的内

—顶A

三角形8c边上的中线。部，且它们相

点和它

的中线交于一点，这

42.BD=DC=-BCO

对边中2

个交点叫做

点的线

三角形的重

段。

心。三角形的

重心在三角

形的内部。

三角形

三角形有三

—内

条角平分线，

角的平

都在三角形

分线与

的内部，且它

三角形它的对41.AD是/VlBC的

们相交于一

的边相交，N84C的平分线。

点，这个交点

角平分连接这2.Z1=Z2=,

2叫做三角形

线个角的ZBAC

O的内心。

顶点与

三角形的内

交点之

心在三角形

间的线

的内部。

段。

2、三边关系

①判断三条线段能否构成三角形，最简捷的方法是：用两条较短的线段的长度之和与最长线段的长度

进行比较，若两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段可以组成三角形；否则不能

组成三角形。

②已知两边长求第三边长的取值范围的方法：已知三角形两边长为a,b,则第三边长x的取值范围

是卜-耳<x<a+bo

考点/易错点2

与三角形有关的角

1.三角形内角和定理

(1)定理：三角形内角和是180°BPzA+zB+zC=180°

(2)作用：它是三角形三个内角必须满足的条件；它实际上提供了三个内角满足的一个等量关系，是

求三角形角度时常用的一个条件。

(3)定理形式的变形：

①//=180°-乙B-Z.C;②N8+ZC=180°-N/

-ZA+-ZB+-ZC=90°

③222(数学中的公式不是一成不变的，它可以变通。)

2.直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余；直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三

角形。

3.三角形的外角及三角形内角和定理的推论

(1)三角形外角：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角。

(2)三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

(3)三角形的外角和是360%

考点/易错点3

1.在三角形中进行有关角的计算时，要注意三角形内角和定理这一隐含条件的应用；

2.“直角三角形的两个锐角互余"和"有两个角互余的三角形是直角三角形〃是直角三角形的重要性质及

判定，利用此性质和判定比应用三角形内角和定理更直接、便捷；

3.本讲中很多求角的度数的问题都可以采用列方程的方法来解答；

4.三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角。

考点/易错点4

多边形及其内角和

1、多边形的有关概念

①多边形的定义

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

注意：(1)理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是"在同一平面内"；二是"一些线段首尾顺次相

接"；两者缺一不可。

(2)多边形通常以边数来命名，具有〃条边的多边形叫〃边形。三角形、四边形都属于多边形。

②.多边形的内角、外角、对角线的概念

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

注意：从〃边形的一个顶点可以引出（〃-3）条对角线，过〃个顶点有条对角线，但每条对角

〃（九—3）

线都计算了两遍，所以〃边形共有条对角线。

③.正多边形的概念

各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。

注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是"各边相等〃、二是“各角也相等〃，两者缺一不可。例如，

各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形

（正四边形X

考点/易错点5

2、多边形的内角和

1.一般地，〃边形的内角和等于（"2）180（«>3）o

探究方法：由于从〃边形的一个顶点可引（〃-3）条对角线，这些对角线把〃边形分成（〃-2）个三

角形，每个三角形的内角和是180。，所以〃边形的内角和为（”2）18。。,而正〃边形的每个内角为

（“2）-180°

no

2.任何多边形的外角和都等于360%

探究方法：由于〃边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180。，〃个外角连同它们各自相邻

的内角共有2〃个角，这些角的总和等于〃」8。。，所以外角和为〃」8。°-（"2）」8。。=36。。，即多边形的外角

和为360°

考点/易错点6

方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一。用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知

量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到

解决。方程思想应用非常广泛，我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题。

考点/易错点7

1.利用多边形的内角和公式伍-2）/80。解决实际问题时，如果知道〃的值，那么可以直接求出〃边形的

内角和；如果知道多边形的内角和，那么可以根据多边形的内角和公式（-2）」8。。构造方程，通过解方程

求得边数。

2.利用多边形的外角和等于360。解决问题时，应真正理解多边形的外角和与边数无关。所以，在解决

多边形问题时常把内角问题转化为外角和问题解决。

四、例题精析

[例题1]

【题干】某同学用长分别是5cm,7cm,9cm,13cm的四根木棒摆三角形（用其中三根木棒首尾

顺次相接），每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可以摆出不同的三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C.

【解析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行分析。从4根不同长度的木棒中任

选根，有种可能:再逐一检验,发现第三组不可能，

345,7,9;5,9,13;5,7,13;7,9,13o

因为5+7<13。所以选C。

［例题2］

【题干】一个三角形的两边长分别为5cm和3cm,第三边也是整数，且周长是偶数，则第三边长是

：)

A.2cm或4cmB.4cm或6cmC.4cmD.2cm或6cm

【答案】B.

【解析】设第三边长为x,贝！］5-3<x<5+3,即2<x<8。又x为偶数，因此x=4或6。故选B。

[例题3]

【题干】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形

的底边长是_____O

【答案】5cm.

【解析】设等腰三角形的腰长是底边是根据题意，得：

xcm,ycmo

XfX…

X4—=12XH—=21

<2或2,

y+—=21y+—=12

、2、2

解得或f=

y=171y=5

根据三角形的三边关系，知：不能组成三角形，应舍去。所以它的底边是

8,8,175cmo

[例题4]

【题干】如图，D为AABC中BC边上的任意一点(不与B、C重合)，AE和AF分别是3BD和3CD

的角平分线。B

求证：

zEAF=|zBACoD/A

【答案】:AE和AF分别是“ABD杵ACD的角平分线-3=/4忖/BAD,止/2忖9口，

/.z3+z2=lzBAD+lzCAD=i(zBAD+zCAD)=izCAB,

2222

即/EAF竹/BAC。

【解析】从三角形的角平分线的定义，你能得到什么呢？“是“8。的角平分线，得到N3=N4=g

/8/。;/尸是“。的角平分线得到N1=N2=#CI。。从需要求证的N£4尸我们想到它等于N3+N2,

再通过计算，就可以得到结论。

[例题5]

【题干】有一块三角形绿地，现在要把它分成面积相等的四块三角形，请你设计一个可行的方案，并

画出示意图。

【答案】如图①所示：先找出的中点。，再连接DB,再找出的中点E,连接/£CE,就可

以把三角形的绿地分成面积相等的四块；

如图②所示：先找出的中点。，再连接DC,再找出。右的中点E,连接/巳找到8c的中点F,

连接DF,就可以把三角形的绿地分成面积相等的四块。

图①图②

【解析】根据"等（同）底等（同）高的三角形面积相等"，结合三角形的中线、等分点的定义去设

计方案。本题属于方案设计类问题。实质是把一个三角形分成面积相等的四个三角形，”等（同）底等

（同）高的三角形面积相等"是根本依据，还有很多方案，只要满足条件均可。如下图所示:

[例题6]

【题干】如图,在△48C中，4?平分N847且与8c相交于点。,ZB=40°,ZBAD=30°,贝！J/C

的度数是____________.

【答案］80°.

【解析】平分/必0且与8c相交于点。，「•/加仁2/8/。，•.2加。=30°,

:.^BAC=60°,.♦/8=40°,/.zC=180o-(乙B+Z.BAC)=180°-(40°+60°)=80°

[例题7]

【题干】如图，在△/8C中，/£OB、0c分别平分乙ABC、N/U8,O2L8C,求证：N1=N2。

【答案】在“8。中，/8/U+N/8c+//告180°j/EOB、OC分别平分NmC"BC、Z.ACB,

"OAB二1ABAC,乙OBA二i乙ABC,乙OCD:乙OCB二1乙ACB,:z.l=^OAB+z.OBA=1

2222

(^BAC+^ABC)=^{180°-〃6)=90。-^ABC；：OD1.BC,:.z,2=^°-/。。=90°-^ABC,

.,.zl=z20

【解析】根据角平分线的定义和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，N1=4N/8G4

22

/以「，/2=90°-；"",而〃比；〃8/m「三个角的一半之和等于90°,所以/2等于〃歌

与NHIC的一半的和，所以N1与/2相等。

[例题8]

【题干】如图,凸六边形ABCDEF的六个角都是120°,边长AB=2cm,BC=8cm,CD=11cm,

DE=6cm，你能求出这个六边形的周长吗？

【答案】46cm.

【解析】如图，分别作直线、、的延长线使它们交于点、、

ABCDEFGHPo

因为六边形的六个角都是所以六边形的每一个外角的度数都是

ABCDEF120°,ABCDEF60°o

所以三角形APF、BGC、DHE、GHP者B是等边三角形。所以GC=BC=8cm,DH=DE=6cm。

所以GH=8+ll+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-

所以六边形的周长为

15-6=4cmo2+8+11+6+4+15=46cmo

[例题9]

【题干】如图，小亮从/点出发前进10/77,向右转15°,再前进10/77,又向右转15°,...,这样一直

走下去，他第一次回到出发点/时，一共走了m。

【答案】240（米）.

【解析】设边长为10m的正多边形的边数为no依据多边形的外角和等于360°,得15。.〃=360。，解

得〃=24。小亮第一次回到出发点A时，一共走了24x10=240米。

【例题10]

【题干】一个多边形除了一个内角外，其余内角的和为2478°,求这个内角的度数。

【答案】42°.

【解析】设这个内角为x度，则此多边形的内角和为2478+x,而2478=180x13+138,故

2478+x=180xl3+(138+x),又138+x应是180的整数倍，且0<x<180,故有138+x=180,

x=42,即这个角为42。。

五、课堂运用

【基础】

1.一个三角形的两边分别是5和11,若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是（）

A.21B.22C.23D.24

【答案】C.

【解析】解：•.第三边的取值范围：6<x<16,

第三边的最小值为7,

这个三角形的最小的周长=5+11+7=23.

故选C.

2.(龙湖区模拟)如果等腰三角形的两边长分别为3和5,那么这个等腰三角形的周长是________

【答案】11或13.

【解析】解：(1)当等腰三角形的腰为3，底为5时,3,3,5能够组成三角形，此时周长为3+3+5=11.

(2)当等腰三角形的腰为5,底为3时,3,5,5能够组成三角形，此时周长为5+5+3=13.

则这个等腰三角形的周长是11或13.

故答案为11或13.

3、如图,在AABC中,ZABC与NACB的平分线相交于0点.若NBOC=130°,贝！J/A=.

A

BC

【答案】80°.

【解析】解:..NBOC=130°,

.,.ZOBC+ZOCB=50°,

,•,ZABC与NACB的平分线相交于。点，

/.ZABC=2ZOBC,ZACB=2ZOCB,

「.NABC+NACB=2(ZOBC+ZOCB)=100°,

/.ZBAC=80°.

4.一个五边形的5个外角的比是1:2:3:4:5,则这个五边形的最大外角的度数是_

【答案】120°.

【解析】解:设最小的一个外角是X。，则另外四个外角分别是:2x°,3x°,4x°,5x°.

根据五边形的外角和定理得到：

x+2x+3x+4x+5x=360,

15x=360,

x=24.

则最大的外角是：5x24°=120°.

故答案为：120°.

5.如图，在ZkABC中，D是BC边上一点，且BD：DC=2：1,AACD的面积为4,则MBC的面积为

【答案】12.

【解析】等高的两个三角形面积的比等于底的比，因为4ACD的面积为4,所以三角形ABC的面积等于

12.

6.如图，点D是3BC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且SBC的面积为

18cm2,贝！］^BEF的面积=.

【答案】4.5.

【解析】解:二•点E是AD的中点,

・1

==

.*.SAABE-SAABDISAACESAADCI

.11

X

-'-SAABE+SAACE=2^^ABC=218=9,

„1i

x

-'-SABCE="SAABC=218=9,

.・•点F是CE的中点,

-e-SABEF=2SABCE=-X9=4.5.

故答案为：4.5.

7.已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4,则它的最大内角的度数为

【答案】100°.

【解析】解:设三个外角的度数分别为2k,3k,4k,

根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°=360°,得k=40°,

所以最小的外角为2k=80°,

故最大的内角为180°-80°=100°.

【巩固】

1.如图，三角形/8C中，平分N8/C,EG1AD,且分别交AB、八。、/C及8c的延长

线于点EH、F、G,下列四个式子中正确的是

A.Nl=g(N2—N3)B.Z1=2(Z2-Z3)

L1

C.ZG=-(Z3-Z2)D.ZG=-Z1

2

【答案】c.

【解析】解：..AD平分NBAC,EGJ_AD,..NUNAFE,

,.z3=zG+zCFG,zl=z2+zG,zCFG=zAFE,

.'.z3=zG+z2+zG,zG=1(z3-z2).

故选C.

2.如图所示，在SBC中，已知AD是SBC角平分线，DE是SDC的高线,zB=60°,zC=40°,求

zADB和NADE的度数

【答案】zADB=80°,zADE=40°.

【解析】解：二♦在^ABC中,zB=60°zzC=40°,

.-.zBAC=80°,

•.AD是^ABC角平分线，

/.zBAD=zDAC=-2zBAC=40°',

/.zADB=80°,

•.DE是3DC的高线，

.-.zDEA=90°,

.1.zADE=40°.

3.(吉林)如图,在Rt^ADB中，ND=90°,C为AD上一点,贝!]x可能是().

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B.

【解析】解：.••NACB是ABCD的一个夕卜角，

.,SO。<6x<180°,

.•.15°<x<30°.

故选B.

4.如图所示,将-BC沿EF折叠，使点C落到点C'处，试探求Nl,Z2与NC的数量关系

【答案】Zl+Z2=2ZC.

【解析】解：，/Zl=180°-2zCEF,Z2=180°-2ZCFE,

/.Zl+Z2=360°-2(ZCEF+ZCFE)

=360°-2(180°-ZC)

=360°-360°+2ZC=2ZC.

5.（河西区一模）如图,CDIIAF,ZCDE=ZBAF,AB±BC,ZC=124°,ZE=80°,贝UNF=

【答案】134°.

【解析】解：连接AD,在四边形ABCD中，ZBAD+ZADC+ZB+ZC=360°

•/AB±BC,

.,.ZB=90°,

又•.•NC=124°,

.­.ZBAD+ZADC=360o-124°-90o=146°,

,/CDIIAF,

/.ZCDA=ZDAF,

在四边形ADEF中,

•/ZADE+ZDAF=360o-ZC-ZB=360o-(124°+90°)=146,

ZDAF+ZEDA+ZF+ZE=360°,

/.ZF+ZE=214°,

又•..NE=80°,

.-.ZF=134°.

c

6.如图,BC±CD,N1=N2=N3,Z4=60°,Z5=Z6.

(1)CO是"CD的高吗？为什么？

(2)N5的度数是多少？

(3)求四边形ABCD各内角的度数.

【答案】⑴是,见解析(2)30°⑶ZCDA=105°,ZDCB=90°,ZDAB=60°,

ZABC=105°.

【解析】解：(1)CO是ABCD的高.

理由：在MDC中,-.ZBCD=90o,

/.Zl+Z2=90°,

又,「N2=N3,

/.Zl+Z3=90°,

/.CO±DB,

•.CO是ABCD的高.

(2)---COXDB,

.­.Z5=90o-Z4=90°-60o=30°.

(3)zCDA=zl+z4=45°+60°=105°,

•.zDCB=90°,z5=z6=30°

.•.zDAB=z5+z6=30°+30°=60°,

zABC=105°.

【拔高】

1.如图所示，已知AABC的NABC和NACB的外角平分线相交于D,ZA=40°,求NBDC的度数.

【答案】70°.

【解析】解：vBDxCD是/ABC和NACB夕卜角的平分线,

.-.zCBD=|(zA+zACB),zBCD=1(zA+zABC),

•.zABC+zACB=180°-zA,

zBDC=180°-zCBD-zBCD

=180°-1(zA+zACB+zA+zABC)

=180°--(2zA+180°-zA)=90°--zA=70°.

2'72

2.如图，在SBC中，AB二AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求^ABC各角的度数.

【答案】ZA=36°,ZABC=ZACB=72°.

【解析】解:设NA=X.

-/AD=BD,

.t.zABD=zA=x;

•「BD=BC,