江苏省常州市2023年数学中考易错题型模拟试题含答案

常州2022-2023新课结束考试数学易错点

考点一：一元二次方程与二次函数

一元二次方程

思路：定义一一般式一解方程一实际问题

注意：解方程的公式及实际问题

1、下列方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.2x2—1+1=0B.（%+1）（%—1）=x2—x

C.5x2—4=0D.ax2+bx+c=0

2、如果方程（m-3）/标-7-x+3=。是关于%的一元二次方程，那么根的值为（）

A.+3B.3C.-3D.都不对

3、已知机是一元二次方程f-X-2=0的一个根，则2022-m2+m的值为.

4、设一元二次方程x2-2x-1=0的两根为Xl，X2,贝XI-X1X2+X2的值为（）

A.1B.-1C.0D.3

5、已知关于x的方程x2-（3k+l）x+2k2+2k=0.

（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形的底边长3,另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长.

6、如图，在△48C中，ZABC=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P,。分别从点A,B同

时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为Icvn/s,点。的速度为25而，点。移

动到C点后停止，点尸也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9c#时，则点尸运

动的时间是（）

A.3sB.3s或5sC.4sD.5s

7、某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20

元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售.已知这种水果日销售量y（千克）与每千

克降价x（元）（0Wx<10）之间满足如图所示的一次函数关系.

⑴求y与x之间的关系式；

⑵若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？

其相应的日销售量为多少？

8、2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红.据统计冰墩墩公仔在某

电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件.

(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，

每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价

促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？

二次函数问题

思路：解析式一开口一对称轴—最大最小一特殊转化

注意点：图像补充/对称轴判定/交点确定

1.已知函数y=(x-s)(x-〃)(其中根＜〃)的图象如图所示，则函数y=妙+机的图象

(0,3)两点之间(包含端点).下列结论中正确的是()

①不等式加+c<-bx的解集为X<-1或x>3；

②9/-从<0；

③一元二次方程52+法+4=0的两个根分别为占=(,x2=-l；

(4)6<3/j-2<10.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

3.2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸

业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽

2Q1A

毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-§x2+]x+5,则羽毛球飞出

的水平距离为米.

4.如图，已知抛物线丫=/+法+。经过4(-1,0)、8(3,0)两点，与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，直接写出点户的坐标和周

长最小值；

(3)点。为抛物线上一点，若5如3=8,求出此时点。的坐标.

4.(1)y=x2-2x-3；(2)尸(1,-2),而+3夜；(3)Q(1-2^2,4)，0(1+2©4)

Q(l,—4)

5.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为。，抛物线y=o（x-2）2+1（a>0）的顶点

为4过点A作y轴的平行线交抛物线y=-；f-2于点B,连接A。、B0,则MOB的面积

为.

类型二：圆

思路：定义一性质一性质一证明

注意点：垂径定理/切线/圆周角圆心角/

1.（2020•青白江区模拟）如图，已知AC是。的直径，过点C的弦8平行于半径OB,

若NC的度数是40。，则々的度数是（）

2.（2020•滨湖区一模）如图，已知C为AB上一点，若NA03=100。，则NAC3的度数为（

3.（2020•镇江模拟）如图所示，菱形A3a）边长为2,NABC=60。，则阴影部分的面积为

4.已知AABC的三边长为AB=2,BC=3,AC=4,则三角形内切圆半径为()

AV15口岳„715「店

A.--------D.--------L•--------D.--------

2634

5.(2020•金湖县一模)如图，已知4?是。的直径，/1£平分NS4E交O于点E,过点

作C£>J_AF交AF的延长线于点£>,交回的延长线于点C.

(1)试说明8是：。的切线；

(2)若AD=5,O的半径为4,求AE的长.

6.(2020•常州模拟)如图，四边形内接于O,AC为。的直径，。为弧AC的

中点，过点。作DE//AC,交BC的延长线于点E.

(1)判断。E与O的位置关系，并说明理由；

(2)若O的半径为6,A8=9,求CE的长.

类型三：相似

思路：相似判定一相似性质一格点相似一相似动点

注意点：相似比/位似/存在性问题

1.下列四条线段为成比例线段的是（）

A.a=10,b=5,c=4,d=7B.a=l,b=G，c=瓜,d=0

C.a=8,b=5,c=4,d=3D.a=9,b=G，c=3,d=>/6

-HC~a+b,,^什xyzx-y+3z

2.若3a=2bn,il则［］的值为______；若则nil--——=________.

b432x

57

2n.——

34

3.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是叵口

2

（叵口，0.618,称为黄金分割比例），如图，著名的"断臂维纳斯〃便是如此.此外，最美

2

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是叵口.若某人满足上述两个黄金分

2

割比例，且腿长为105ca，头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.115cmC.185cmD.190cm

4.如图，已知ABC,任取一点。，连A。，BO,CO,分别取点D,E,F,使OD=；A。,

OE=；BO,OF=gc。，得DEF.下列说法中，错误的是（）

A.DEF与4ABe是位似三角形B.OAC与,ODF是位似三角形

C.OEF与aABC周长的比是1：3D.图中位似的两个三角形面积比是1:9

5.如图所示，将回ABC的三边分别扩大一倍得到回AiBiCi,（顶点均在格点上），它们是以P

点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）

6.已知：西BC在直角坐标平面内，三个顶点的，坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,

2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出向下平移4个单位长度得到的MiBiQ,点G的坐标是；

(2)以点8为位似中心，在网格内画出蜘282c2,使凶282c2与位似，且位似比为2：1,

点Ci的坐标是.

7.如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部(点0)5米的A处，沿

OA所在的直线行走到点C时^,人影长度增长3米，则小方行走的路程AC=.

8.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止，动点

E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同

时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与回ABC相似时•，运动的时间是（)

A.3或2.8B.3或4.8C.1或4D.1或6

答案

1.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且是整式方

程，即可判断.

【详解】

解：A.分母中有未知数，它不是整式方程，它不是一元二次方程，故此项不符合题意；

B.选项化简，得x-l=O,不含有2次项，它不是一元二次方程，故此项不符合题意；

C.只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且是整式方程，它是一元二次方程，

故此选项符合题意；

D.选项当a=0时，不含有2次项，它不是一元二次方程，故此项不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键.

2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用一元二次方程定义可得，7-7=2,且加3x0,再解出"?的值即可.

【详解】

解：由题意得：m2-7=2,且，〃-3H0,

解得：，”=-3,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，

并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

3

【答案】2020

【解析】

【分析】

把X=TH代入方程/-%-2=0,得巾2-血=2,再整体代入，求出所求代数式的值.

【详解】

解：回机是一元二次方程/—%—2=0的一个根，

13把x=m代入方程/—x-2=0,得Hi?~m=2,

02022-m2+m=2022-(m2-m)=2022-2=2020,

故答案为：2020.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值；能使一元二次方程左右两边相等的未知数的

值是一元二次方程的解.解题关键利用整体代入的思想

4.

【分析】先利用根与系数的关系得Xl+X2=2,X1X2=-1,再变形得到xi-X1X2+X2=X1+X2

-X1X2,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解:根据根与系数的关系得Xl+X2=2,X1X2=-1,

所以XI-X1X2+X2=X1+X2-X1X2=2-(-1)=3.

故选：D.

5.

【分析】(1)通过计算A=b2-4ac=(k-1)2,由偶次方的非负性可证明结论；

(2)由等腰三角形的性质可得该方程由两个相等的实数根，结合根的判别式可求解k值，

再将k值代入方程，得到X2-4X+4=0,解方程求出两腰的长为2,又已知底边是3,则

根据三角形的周长公式即可求解.

【解答】(1)证明:VA=b2-4ac=[-(3k+l)产-4・(2/+2k)—k2-2k+l—(k-1)

220,

,无论k取何值，方程总有实数根；

(2)解：；等腰三角形的底边长3,

,另两边长即为等腰三角形的腰长，

•.•另两边长恰好是这个方程的两根，

,该方程有两个相等的实数根，

/.A=b2-4ac=[-(3k+l)]2-4»(2/c2+2fr)=k?-2k+l=(fc-1)2=0,

解得A=L

将k=l代入方程，得/-4x+4=0,

解得：X1=X2=2.

此时△ABC三边为3,2,2；

所以周长为3+2+2=7.

6.

【答案】A

【解答】解：设动点尸，Q运动/秒后，能使四边形APQC的面积为

则8P为(8-f)cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得，

Ax(8-t)X2t=(24-9),

2

解得n=3,f2=5(当f=5时，B(2=10,不合题意，舍去).

动点P，。运动3秒时•，能使四边形4P0c的面积为9sl2.

故选：A.

7.

【答案】(l)y=10x+50(04x<10)

(2)6元，110千克

【解析】

【分析】

(1)根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；

(2)每日利润=每千克销售利润x日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，

代入y与x之间的关系式即可求出相应的日销售量.

⑴

解：设y与x之间的关系式为y=爪+伙04x<10),

观察图象，将(1,60),(4,90)代入产奴+b得，

j60=k+b

\90=4k+b

k=10

解得

6=50

故y与x之间的关系式为y=10x+50(0Vx<10)；

⑵

解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为(20-10-x)元，日销量为(10x+50)千克,

贝iJ(20-10-x)(10x+50)=440,

整理得x?—5x—6=0,

解得士=6或%=-1(不合题意，舍去)

当x=6时，7=10x6+50=110,

故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克.

【点睛】

本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数

的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正

确求解.

8.

【解答】解：(1)设月平均增长率是X,

依题意得：5(1+x)2=7.2,

解得：Xi=0.2=20%,刈=-2.2(不合题意，舍去).

答：月平均增长率是20%.

(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(100-y-60)元,每天的销售量为(20+2y)

件，

依题意得:(100-y-60)(20+2y)=1200,

整理得：/-30y+200=0,

解得：），1=10,”=20.

又,•,要尽量减少库存，

.“=20.

答：售价应降低20元.

二次函数问题

思路：解析式一开口一对称轴一最大最小一特殊转化

注意点：图像补充/对称轴判定/交点确定

1.D

【分析】

根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m,0）,（n,0）,从而得到加

进而得到函数丫=加+〃?经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0,-1）的下方，即可

求解.

解：令y=0,则（x-wt）（x-"）=0,

解得:=m,x2=n,

国二次函数与x轴的交点为（m,0）,（n,0）,

回m<n,

0/«<-l,O<n<l,

回函数y="+m经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0,-1）的下方.

故选：D

【点拨】本题主要考查了二次函数和■次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数

的图象和性质是解题的关键

2.

2.D

【分析】

利用对称轴及点A的坐标可以求出抛物线与x轴的另一交点，结合图象即可求出不等式

的解集；利用对称轴X=-3=1,可知6=2,进一步可求出9/—6=5/“；利用韦

2a

hc

达定理求出方程如2+区+c=o根与系数的关系，可知一一=2,—=-3,进一步可以求出方

aa

1

a-——c

b=-2a一,其中2<c<3,再利用

程c£+bx+a=0的两根；利用可以推出

a-b+c=O

b=­c

3

4/76,—

n=PJ3n-2=4c-2,利用c的范围可以求出3〃—2的范围:

4〃

解：团对称轴x=l,A(—1,0),

团抛物线交于x轴的另•点坐标为(3,0),

团结合图象可知以?+fcv+c<0的解集为x<-l或％>3,故①正确；

团对称轴x=-2=i,

2a

^h=-2a,BP9a2-b2=5a2>0,故②错误；

hc

团ar?+Jx+c=O中根与系数的关系：X]+x,=—=2,x»x=—=-3

a]2a

假设方程ex2+hx+a=O的根为七和x4，

团―fH--X+1—0,

aa

®-3x2-2x+l=0,

因式分解得：(3x-l)(x+l)=0

一।1

团刍=-1,x4=-

回“2+法+”=0的两个根分另U为玉=；,々=-1,故③正确;

[b=-2a

[a-h+c=O

1

a=——c

b=­c

[3

c4ac-b2

?n--------

4a

团3n-2=4c-2

02<c<3

04x2-2<3n-2<4x3-2,即6V3〃-2410,故④正确;

综上所述：正确的有①③④，

故选：D.

3.

3.5

【分析】

试题分析：根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出

即可.

OQ1H

解：当y=0时,-1x2+|x+y=0,

解得：Xl=-1(舍)，X2=5.

回羽毛球匕出的水平距离为5米.

4.

4.(1)y=x2-2x-3；(2)P(L-2),而+30；(3)Q(1-272,4),(2式1+2也4),

ft(1,-4)

【分析】

⑴把A(-1,0)、8(3,0)代入抛物线y=f+fex+c即可求出b,c即可求解；

(2)根据A,B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P点，即为所求,再求出坐标及的

周长；

(3)根据回QAB的底边为4,故三角形的高为4,令3=4,求出对应的x即可求解.

,[0=l-b+c

解：⑴把A(T，0)、83,0)代入抛物线y=f+法+c得

[0=9+30+c

[b=-2

解得Q

[c=-3

回抛物线的解析式为：)，=/一2%-3;

(2)如图，连接BC交对称轴于P点,即为所求，

=x2-2x-3

团C(0,-3),对称轴x=l

设直线BC为y=kx+b,

把5(3,0),C(0,・3)代入y=kx+b求得k=lzb=-3,

团直线BC为y=x-3

令x=l,得y=-2,

团P(1,-2),

色△E4c的周长=AC+AP+CP=AC+BC=J(-l-0)2+[0-(_3)『+5/(3-0)2+[0-(-3)]2=

V10+3>/2;

(3)00QAB的底边为AB=4,S=；A8xH=8

田三角形的高为4,

令H=4,B|JX2-2X-3=±4

解得Xi=1—2>/2,X2=1+2\/2,X3=l

故点。的坐标为Q(l—20,4),2(1+20,4),。3(1，-4).

【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函

数的求解.

5.

类型二：圆

思路：定义一性质一性质一证明

注意点：垂径定理/切线/圆周角圆心角/

1.

【解答】解：CDIIBO,

/.ZBOC=ZC=40°,

AO=BO,

.・.ZA=NB,

ZA+N8=ZBOC=40。，

.・.NA=NB=20。.

故选：B.

2.

【解答】解：ZAOB=100°,

优弧AB所对的圆心角为360。-100°=260°，

・•・由圆周角定理可知：ZACB=-x260°=130%

2

故选：D.

3.

【解答】解：连接30，AC交于O，

.四边形45CD是菱形，

：.AC=2AO,BD=2BO，ACA.BD,

ZABC=60。，

.\ZABO=30°，

AB=2,

1x/3

/.AO=-AB=lfBO=LAB=B

22

.・.AC=2,BD=2y/3,

阴影部分的面积=5融枷「SM.=；x2x24-竺蜡=24一:万

2JoU3

4.

【解答】解：过点C作CE>J_AB,垂足为。，连接4,Bl,€7,设AABC内切圆的半径

为r,

山勾股定理得：CD。=AC?-A。?，CD2=BC2-BD2.

.-.42-X2=32-(2-X)2.

解得:x=2.75.

:.CD=7AC2-AD2=42-2.752=，

…S/HABC~S"OC+SgBO+SgcO

—xABxCD=—xACxr+—xABxr+—xBCxr»

2222

—x2x----=-x4xrd—x2xr4--x3xr,

24222

6

故选：B.

.\ZOAE=ZDAE

OE=OA,

:.ZOAE=ZOEA,

.\ZOEA=ZDAE,

:.OE//AD,

AD-LCD,

:.OE±CDf

。上过O,

「.C。是O的切线;

AB是O的直径，AD±CDf

.\ZBEA=ZADE=90°,

ZBAE=ZDAE,

AAEB^AADE，

.AE_AB

4D-4E5

AD=5,。的半径为4,

AE4+4

..----=-------,

5AE

解得：AE=2M.

6.

【解答】解：（1）DE与©O相切,

理由：连接。£），

AC为O的直径，

.■.ZADC=90°,

。为AC的中点，

AD=CD,

AD=CD，

.・.ZACD=45°,

O是AC的中点，

NODC=45。,

DE//AC,

.・.ZCDE=ZDC4=45°,

/.NODE=90。，

:.DE4O相切；

（2）。的半径为6,

.・.AC=12,

・•.AD=CD=6垃,

AC为O的直径，

.\ZABC=90o.

ZBAD=ZDCE,

ZABD=NCDE=45。,

/SABD^ACDE，

ABAD

...----=-----,

CDCE

96&

"6^2~~CE'

:.CE=8.

类型三：相似

思路：相似判定一相似性质一格点相似一相似动点

注意点：相似比/位似/存在性问题

1.

1.B

【详解】

A.从小到大排列，由于5x7/4x10,所以不成比例，不符合题意；

B.从小到大排列，由于&xB=lx",所以成比例，符合题意；

C.从小到大排列，由于4x5H3x8,所以不成比例，不符合题意；

D.从小到大排列，由于"X3W6X9,所以不成比例，不符合题意.

故选B.

【点拨】本题考查线段成比例的知识.解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个

数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例.

【解析】

【分析】

(1)由已知可得?=],再根据比例的性质即可解得学的值:

b3b

(2)先设用t表示出x、y、z,再代入要求的式子即可.

【详解】

/、,a2a+ha25

(1)回3。二2卜，团一=一,团----=—+1=—+1=—；

b3bb33

(2)设;=则x=4t,y=3t,z=2t,团原式=*―二二.

4324:r'+6'4

57

故答案为：—.

【点拨】本题主要考查了比例的性质，是基础题，比较简单.

3.

【分析】

设某人身高为mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,由腿长为105cm,可得

加一105V5-126+〃好二!■X0.618得到

>。0.618,解得m>169.890,根据

1052机一（〃+26）

加<178.218,由此得到答案.

【详解】

解：设某人身高为mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,则由腿长为105cm，可得

竺雪〉或二!0.618,解得">169.890.

1052

由头顶至脖子下端的长度为26cm,

可得竺〉叵