考研高等数学基础

第一函数、极限、连一、函1.(1)函数的定D第一函数、极限、连一、函1.(1)函数的定DRfDRDyf(xxD，x2.(1)有界性：若M0，对于xIMf(xI上有界ff(xDID，若对于x1x2Ix1x2时，f(x1f(x2f(x1f(x2，则称f(xI上单调增加(单调减少).奇偶性：设函数的定义域为I，对于xI，f(xf(xf(x是奇函数；若f(x)f(x)，则称f(x)是偶函数.注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数f(x)ff(x)ff(x).223.(1)反函数的fDf(D是单射，则它存在逆f1:f(DDf1为函数f的反函数.(2)结论f1f(xxff1(xx1(3)单调函数存在反函数，反之不成4.复合函数的y(3)单调函数存在反函数，反之不成4.复合函数的yf(xDf，函数ug(xDgRgDf，yf[g(x)],xDg称为由函数ug(x)yf(u)构成的复合函数.只有当函数u(xyf(u的定义域的交非空时，才能将它们复合成复5.基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角二、极1.(1)数列极限设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使成立，则称数列xn收敛a，记为limananNxn(2)数列极限的基本性①(唯一性)如果数列xn收敛，那么它的极限唯M③(保号性)如果limxnaa0(或a0)，那么NNnNxn0xn0(3)数列极限的四则运算设有数列xnynlimxnAlimynB①lim(xnyn)AB；②limxnynAB2A.y0B0limxnn n(4)数列极限存在的判①(夹逼法则)如果数列xn，yn，zn满足A.y0B0limxnn n(4)数列极限存在的判①(夹逼法则)如果数列xn，yn，zn满足1)ynxnzn(n1,2,3)；2)limyna，limzn那么数列xn的极限存在，且limxna②(单调有界准则)单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列2.(1)xx0必定存在极oA，对于0，总存在0x满足0xf(x)f(xxx0limf(xAx注limf(x)Alimf(x)limf(x)A00(2)xf(x当|x|A，对于任意给定的正数Xf(x)xf(xx时的极限，记作limf(xA(3)函数极限AB②(局部有界性)如果limf(xA，那么M0和0，使得当0时，xMf局部保号性如果limf(xA，且A0(或A0)，那么0f(x0f(x00x3(4)函数极限的四则运算如果limf(x)Alimg(x)B①lim[f(x)g(x)]AB②lim[f(x)(4)函数极限的四则运算如果limf(x)Alimg(x)B①lim[f(x)g(x)]AB②lim[f(x)g(x)]AA(B0③limf④f(x)g(AB(A0 1：如果limf(xc为常数，则lim[cf(xclimf(x2：如果limf(x存在，而n是正整数，则lim[f(x)]nlimf(x(5)函数极限存在的判定①(夹逼法则)f(xg(xh(xg(x)f(x)h(x)；2)limg(x)A，limh(x)A那么limf(x存在，且limf(x)A②(单调有界准则)f(xx0f(xx0f(x0(6)复合函数的极限：设yf[g(x)]是由函数ug(x)yf(u)复合而成的yf[g(xx0的某去心邻域有定义，若limg(x)u0limf(u)Ax0g(x)u0，则limf[g(x)]limf(uAx(7)两个重要sin①x111lim(1xxe或lime(limexnxn3.(1)无穷小量xx0xx0时的无穷小(2)40①如果lim②如果lim0①如果lim②如果limlimc0的kc0④lim1，称~(4)等价无穷小替换定理x的同一变化过程中，1，212都是无穷而且~~，如果lim1A，则lim2lim1A 121三、函数1.f(x)x0点连续的定(1)函f(x在U(x0limf(xf(x0f(xx0连续(2)函数f(xx0处连续f(xf(xf(x0002.(1)间断点的可去间断点(右极限第一类间断点(左、右极限都存在；跳跃间断点(右极限间断点第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在5(1)有界最值f(x在[ab上连续，则它在[abK，以及在[ab上有12f(1m(1)有界最值f(x在[ab上连续，则它在[abK，以及在[ab上有12f(1mK0，使得x[abff(2M，其中mMf(x在[ab零点定f(x在[abf(af(b0，则abf(0介值定f(x在[abf(af(bcf(af(b间的一个常数，则(ab)使得f()c.推论：f(x在[abmMf(x在[abmcM，则[abf(c一、导1.(1)导数的定yx0处取得增量xf(x在U(x0f(x0x)取得增量yf(xxf(xlimyf(x0)00x0 dfyf(xx0f(x0x，，.0xx00(2)导函数的yf(xI内可导，对于xIf(xydydf(x值.yf(x (3)左、右导数的定6yf(x0x)f(x0f(x) f(x0x)f(x0yf(x0x)f(x0f(x) f(x0x)f(x0yf(x) f(x0)f(x0)(4)函数在x0点可导的充要条件：f(x0存在导数的几何yf(xx0f(x0yf(xM(x0y0f(x0tan(7)切线方程与法线方yf(xM(x0y01yyf(x)(xxyy(xx)0000f(x002.(1)函数的和、差、积、商的求导如果函数uu(x及vv(xx具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且①u(x)v(x)u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)u(x)v(x)v2(v(x)0③v(x)(2)高阶导数dnnf(x0x)f(x0d2ydy. 7nuv( C kk(nnuv( C kk(nk)(k(3)反函数的求导法fyIyf0f1(x y 或f( (4)复合函数的求导法yf(u，而ug(xf(ug(xyf[g(xxdy导，且其导数 f(u)g(x) . du隐函数的求一般地，如果变量xy满足一个方程F(xy0，在一定条件下x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么F(x,y)0在该区间参数方程所确定的函数的xyx(t具有单调连续反函数t1(x，且此反函数能与y(t构成复合函数.若x(t)y(t都可导，而且(t)0，则：dydydtdy1(t)dy(t) x(ty(t8d2 .3d2 .3(7)幂指函数yuv(u0)，如果uu(xvv(xuy vlnuv.二、微1.(1)微分的定设yfU(x0)内有定义，若增量yf(x0xf(x0)可表示为yAxo(xA是不依赖于xyf(xAxyf(xx0相应于增量x的微分，记作dydyAx(2)yf(xx处可微f(xxAf(x，即dyf(x)dxf(xxx0可导f(xxx0可微f(xxx0(3)几何yf(x0xf(x0)是曲线yf(x)xx0处对应于自变量的增量x的纵坐标的增量，而微分 是曲线yf(x)在点(x,f(x))处的切线的纵坐标相应的增量 2.yf(u及ug(xyf[g(x的微分dyyxdxf(u)g(x)dx.g(x)dxduyf[g(x的微分也可以写dyf(u)dudyyudu.因此，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dyf(u)du保持不变，该性质称为一阶微分形式不变性9一、微分f(x在闭区间[一、微分f(x在闭区间[ab]在开区间(ab)内可导f(af(b则在(ab内至少存在一点(ab在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导f'()0那么在(ab内至少存在一点(abf(bf(af(xg(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导(3)对任一x(ab，g(x0f'()(bf(b)f f(那么在(ab内至少存在一点(abg(b) g()二、洛比xaf(xg(x)xaf(xg(x在点af(xg(xg(x0f(3)ff则.xf(xg(x)x时，函数f(x)g(x)都趋于零f(3)ff则.xf(xg(x)x时，函数f(x)g(x)都趋于零Af(xg(xg(x0x(2)f(3)ff则.0注：仅当型 型才可以考虑用洛比达法则.对于0，，00，1，0型的00定型可以通过转化成为型 型后，再考虑使用洛比达法则0三、泰勒1.I内有直到(n1)阶导数，则对于xIf(n)(xf(xf(x)f(x0)f(x0)(xx0) 0(xx0)2 0(xx0)nRn(x)n(n2.f(xx0I内有直到(n1阶导数，则对于xIff(n) (01)f(x)f(0)f(0)xx2xn(n四、函数1.yf(x在[ab上连续，在(ab如果在在(abf(x0yf(x在如果在在(abf(x0yf(x在[ab内单调增加如果在在(abf(x0yf(x在[ab内单调减少注：f(x0f(x单调，而不能由f(x)单调f(x)0，只能得到f(x)0.五、曲线的凸凹性和1.(1)定设函数f(x)IIx1x2恒有f(x1x2)f(x1f(x2f(xI上的图形是(向上)凹的(或凹弧)2f(x1x2)2f(x1f(x2f(xI上的图形是(向上)凸的(或凸弧2(2)2yf(x在[ab上连续，在(ab①若在(abf(x0f(x在[ab②若在(abf(x0f(x在[ab上图形是凸的2.(1)定yf(x)在区间I上连续，如果点x0I的内点，如果曲线yf(x)在经过x0f(x0时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点x0f(x0为曲线的拐点.x0f(x0yf(x的一个拐点3.(1)水平渐近线：若limf(xc，则直线yc是曲线yf(x的一条水平渐近线(2)垂直渐近线：如果limf(x，则直xx0yf(x的一条垂直渐近线yf(xM(xyL的距离d(MLyf(xM(xyL的距离d(ML0称直线Lyf(x.flimf(x)(4)直线Lykxbyf(xkxx六、函数的极值与1.(1)函数极值o在U(x0 内有定义，如果对于xU(x0设函数f有f(xf(x0)或f(xf(x0f(x0f(x的一个极大值或极小值.(3)必要条件：设函数f(x)x0点可导，且在x0处取得极值，则必有f(x00注：①驻点不一定是极值2.(1)第一充分x(x0x0f(x0x(x0x0f(x0f(xx0处取x(x0x0f(x0x(x0x0f(x0f(xx0处取(2)第二充分f(xx0f(x00f(x00f(x00f(xx0f(x00f(xx0处取得极小值.一、不定一、不定F(xf(x(f(x)dx)I上的原函数f(xII上存在原函数If(xf(xI记作f(x)dx，其中 (1)kdxkxCk是常数xdx1C1(2)(3)dxxCx(4)1x2arctanxC(5) arcsinxC，1(6)cosxdxsinxC，(7)sinxdxcosxC(8)dxsec2xdxtanxCcos2(9)dxcsc2xdxcotxCsin2secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscx(12)exdxexC(13)axdxC二、不定(12)exdxexC(13)axdxC二、不定积分的积1.第一换元积分法(凑微分法f(u具有原函数，u(x)可导，则f[(x)](x)dxff[(x)](x)dxf[u]duF(u)CF[(x)]C2.x(t单调的可导函数，且(t0，若f(t)(t)dtG(tC，f f[(t)](t)dtG(t)CG[1(x)]C3.设uu(x),vv(x)具有连续导数，则u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u(x)dx四、定积1.f()在a,上有界，在a,b中任意插入若干个分点把区间a,分成n区间0x1x1x2xnn，各个小区间的长度依次为x110x2x2x1，xnxnxn1在每个小区间xi1xi上任取一点i(xi1ixi与小区间长度xi的乘积f(i)xii1作函数值f(i，并作出和nSfi)i，记x12n，如果不论对ab怎么样划分，也不在小区间xi1xi上i怎样选取，只要当0SIb个极限I为函数f(x)在a,b上的定积分，记 f(x)dx.，即anf(x)dxlimf(i)xib0a叫做积分下限a,b叫做积分区间bx(1)两条规a f叫做积分下限a,b叫做积分区间bx(1)两条规a f(x)dx0aba f(x)dx f(x)dxab(2)定积分的bbb①[f(x)g(x)]dx f(x)dx g(x)dxaaabb②kf(x)dx f(x)dxk是常数aabcb③设acb， f(x)dx f(x)dx f(x)dxaacb④如果在区间[abf(x)， f(x)dxbaab⑤如果在区间[a,b]上，f(x)0， f(x)dx0(ab)abb推论1:如果在区间上，f(x)g(x)， f(x)dx g(x)dx(ab)aabbff(x)dxaa⑥设 和m是函数f(x)在区间[a,b]上最大值及最小值b f(x)dxM(ba)af(x在积分区间[ab上连续，则在[ab上至少存在一点bf(x)dxf()(ba)aaf(x)dx0(f(x奇函数aaf(x)dx f(x)dx(f(x偶函数0Tf(x以Ta为常数，则五、微积分基本f(x)dx f(x)dx01.aaf(x)dx f(x)dx(f(x偶函数0Tf(x以Ta为常数，则五、微积分基本f(x)dx f(x)dx01.(1)积分上限的函数的x设函数f(x)在区间a,b上连续，则任取xa,b，定积 f(t)dt有一个对应值ax所以它在区间ab上定义了一个函数，记作：(x)限函数(2)积分上限的函数的f(t)dtaxbax如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，则积分上限函数(x) f(t)dt在[a,b]ax(x)f(t)dtf(x)(axba2(f(t)dt1(x),2(xf(x(3)(推广形式F(x)(1f(x)(x)f(x)(x)F(x)2211x注：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数(x) f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一a如函数Ff(x)[ab]上的一个原函数，则果bba.a六、定积分的换元积分法和分部1.f(x在区间[abx(t满足条件①()a，()b(t在[](或[,])上具有连续导数，且其值域Rab(t)](t)dt则 f(x)dx fa2.分部积分法u(x)vbdxv(x)ubdxxxaab(t)](t)dt则 f(x)dx fa2.分部积分法u(x)vbdxv(x)ubdxxxaa七、定积1.(1)直角坐标由曲线yy1x)，yy2x)和直线xa，xb围成的图形的面积为：by2(x)y1(x)dxSa(2)极坐标S＝12()2()d2212(1)由曲线yf(x(f(x0)与直xaxbx2b绕x轴旋转一周的体积为：Vx f(x)dxab xf(x)dxy轴旋转一周的体积为：Vya(2)由曲线xgygy0)ycydy2d绕y轴旋转一周的体积为：Vy cd ygydyx轴旋转一周的体积为：Vxc(3)平行截面面积为已知的立体的b的体积为V A(x)dxa3.平面曲线的弧长(1)参数方程所表曲线的xt，(t，(t在xt，(t，(t在上有连续的导数，则曲设光滑曲线LyL的弧长为S (2)直角坐标设光滑曲线L:yf(x)axb,f(x)有连续的导数，则曲线L的弧长bS 1y2dxa(3)极坐标设光滑曲线Lr((在上有连续导数，则曲线L长S ()2()2d4.旋转体的侧面积yf(x(f(x0)xa，xbxxb得到的旋转体的侧面积为：V f(x)1y2dxya一、微分方程的基本若将函数带入微分方程中能使方程变为恒等式，这样的函数称为微分方程的解微分方程的不含有自由常数的解称为微分方程的特解二、一阶1.(1)方程形式 P(x)Q(y)(Q(y)0)或M(x)N(y)dxM(x)N(y)dy0 22M1(x)dxN2y)dy，再两边积分M1(x)dxN2(y)(1)方程形式 P(x)Q(y)(Q(y)0)或M(x)N(y)dxM(x)N(y)dy0 22M1(x)dxN2y)dy，再两边积分M1(x)dxN2(y)dyC(2)解法：先分离变量M2M2N1(2.y(1)方程形式 .x (2)解法 u，则dyuxdu(u)，两边积分得 dxC.(u)xx三、一阶线性微分1.(1)方程形式dxP(xyQ(xQxePxdxdxCe(2)解法：常数变易法求得通解2.贝努利方程(1)方程形式 PxyQxynn0,1(2)解法：设zy1n，则方程化 dzP(x)zQ(x)，再用一阶线性微分方程的求解11n法求解3.全微分方程(1)方程形式：P(x,y)dxQ(x,y)dy0，满足条 . (2)解法：上述全微分方程通解为u(x,y)C，求u(x,y)的常用方法(x,y,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy (x,y0xy,y) P(x,)dx Q(x,y)dy000xy00xP(x,y得u(x,y)P(x,y)dxCyyQ(xy P(xy)dxCy，求出Cy，然后积分即可y四、可降阶的高阶微分方程yf(xyf(xy型(yypyppf(xp，该方程为一阶微分方程.pg(xC1yg(x,C1yg(x,C1dxC2ydpdpdypdpyy dy pdpfy,ppgyCg(y,CxC12五、二阶线性微分方程解的性质yp(xyq(xy1①yp(xyq(xyf②1.y1x),y2x)为齐次方程①的两个解，则它们的线性组合C1y1x)C2y2(x)仍为方的解.特别地，当y1x)与y2x)线性无关时，则齐次方程的通解为yC1y1(x)C2y2(x)2.y*(x方程②的一个特解，而Cy(xCy(x为方程①的通解，则非齐次方程②1yC1y1(xC2y2(xy*(x23.y1xy2x为非齐次方程②的两个解，则C1y1xC2y2x),(C1C21)仍为②的解；y1x)y2x)是齐次方程①的解.4.y1x)与y2xyp(xyq(xyf1x)yp(xyq(xyf2x的y1x)y2x)是yp(xyq(xyf1xf2x的特解.六、常系数齐次线性1.ypyqy0解法：先求其特征方程2pq0①当p24q0,特征方程有两个不同的实根yCe1xe2x 12②当p24q0，特征方程有二重根，则通解为yCC x ③当p24q0,特征方程有共轭复根 ，则通解ye(CcosxCsinx)x122.n阶常系数齐次线性方程yn1(1)yny yye(CcosxCsinx)x122.n阶常系数齐次线性方程yn1(1)yny ypy0p(i1,2,n为常12ni(2)解法征方程pn2pp0np12n①若特征方程有n个不同的实根1,2,,n，则通解y C2 Cnen12②若为特征方程的k重实根(kn，则通解中含有(CCxCxk1ex ③若ik重共轭复根(2knkex[(C1C2xCkxk1)cos七、二阶常系数非齐次线性x(12xkxk1)sinypyqyf(xpq为常数，特征方程为2pq01.f(xP(x)exP(xnynn若yRn(x)ex若yxRn(x)ex若yx2Rn(x)exRn(xny代入原方程求出Rn(x)的各系数得到原方程的特解.2.f(xe[P(xcosxPsinxP(xP(xn，lnlnl程的特解y的形式为(1)若iye(x)cosx (x)sinx]mm(2)若i是特征方程的根，则令yxe[R(x)cosx (x)sinx]，其 ．mmR(1)x，R(2)x是m次多项式，mmax{nl}y代入原方程求出R(1)x)，R(2mmmm的各系数，从而得原方程的特解一、多元函数的1.DR2fDRDzf(xy),(xyD，其中点集D称为该函数的定义域，xy称为自变量，z称为因变量2.oDR2fDRDzf(xy),(xyD，其中点集D称为该函数的定义域，xy称为自变量，z称为因变量2.of(xyAf(P)立，那么就称常数A为函数f(xy)当(xyx0y0)时的极限，记作 f(x,y)A(x,y)(x0,y03.. f(x,y)f(x0,y0)(x,y)(x0,y0二、偏导1.f(x0xy0f(x0y0f(xxyf(xy00 的偏导数，记作则称此极限为函数zf(x在点(x0y0处对fx(x0,y0,或.xxxx0xy00yy类似地，函数zf(x在点(x0y0)对y的偏导数定义为f(x0y0yf(x0y0f(x,y,或.xx0y yxxyx00y2.fx(x0y0zf(xyyy0的截线在点(x0y0f(x0y0关于x轴的斜率；fy(x0y0)表示曲面zf(xy)与平面xx0的截线在点zf(x,y22f(x,y) 2(zf(x,y)zf(x,y22f(x,y) 2(zf(x,y)x2y(z(zf(x,y)f(x,y)，xy2 2 4.zf(xy三、全微1.设函数zf(xy)(xy的某邻域内有定义，如果函数在点(xy的全增量zf(xxyyf(xy可表为zAxBy()，其中AB不依赖于xy而仅与xy相关，2.(x)2y)2zf(xy)(xyf(xy在点(xydzdzAzByzf(xy在点(xy可微分，则该函数在点(xy，yzf(xy在点(xydzxxyy3.zf(xyxy在点(xy四、多元复合函数的 1.多元复合函数的求导法则(链式法则)如果函数u(t及v(t都在点tzf(uv在对应点(u,v) zz偏导数，则复合函数zf((t),(t))在点t可导，且 . u v(2)多元函数与多元函数复如果函数u(xy)v(xy)(xy)具有对x及对y的偏导数，函数zf(2)多元函数与多元函数复如果函数u(xy)v(xy)(xy)具有对x及对y的偏导数，函数zf(uv在对应点(u,vzf[(xy),(xy在点(xzzuzv，zzuzv u v u vdzzduzdv，不管uv五、隐函1.(1)一元隐函设函数F(xy)在点P(x0y0的某邻域内具有连续偏导数，且F(x0y00Fy(x0y00F(xy0在点(x0y0dyyf(xyf(x.00 y(2)二元隐函Fy(x0y0z00F(xyz0在点(x0y0z0的某邻域内恒能唯一确定一个连zf(xyz0f(x0y0，且zFx，Fy F(xy,u,vG(xy,uvP(x0y0u0v0F(x0y0u0v00G(x0y0u0v00，且偏导数所组成的函数行列式(F,G)P(xy,u,v)不等于零，则方程组F(xy,uv0J (u,(F,G)P(xy,u,v)不等于零，则方程组F(xy,uv0J (u,G(xy,u,v)0在点(x0y0u0v0的函数uu(xyvv(x,y，它们满足条件u0u(x0y0v0v(x0y0u1(F, 1(F, ， J(x, J(u,1(F,1(F, . J(y, J(u,六、多元函数的极值1.设函数f(xy的定义域DP0x0y0D的内点,若U(P0D,使o(xyU(P0f(xyf(x0y0f(xy在点(x0y0of(x0y0,点(x0y0f(xy的极大值点；若(xyU(P0f(xyf(x0y0f(xy在点(x0y0f(x0y0,点(x0y0f(xy的极小值点.设函数zf(xy)在点(x0y0)具有偏导数，且在点(x0y0)处有极值，则fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0注：函数的是极值点3.zf(xy在点(x0y0的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0y00fy(x0y00fxx(x0y0Afxy(x0y0Bfyy(x0y0C f(xy在点(x0y0ACB20f(xy在点(x0y0ACB20A0A0ACB20ACB20时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论.续点处的函数值及在区域D的边界上函数的最大、最小值而得.zF(xy在(x,y0条件下的极值点，先构造辅助函F(xy)f(xy(xy，解方程组f(xy(xy),yyF(x,际意义确定极值，此法叫拉格朗日数乘法第七重积一、二重1.设函数f(xy是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n1，2，，n，其中，i表示第i个小闭区域，也表示它的面积.在每个nfii)ii,n，并作和fii)i.如果各任取一点(i,i)，作乘小闭区域的直径中的最大值f(xynDf(xy)df(xy)dlimf(i,i)i0DDf(xyf(xy)ddxyni2.当f(x,y)为闭区域D上的连续函数，且f(x,y)0，则二重积 f(x,y)d表D当f(x,y)为闭区域D上的连续函数，且f(x,y)0，则二重积 f(x,y)d表D3.(1)kf(xy)dkf(xy)dk为常数DD(2)f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)dDDD D1, 区分 个闭区，则f(x,y)df(x,y)df(x,y)dD(4)如果在区域Df(xyg(xyf(xy)dg(x,y)dDDf(x,f(x,y)dDDmf(x,y)dMD(6)积分中值定理：设f(xy)在有界闭区域D上连续，D的面积，则存在(,Df(xy)df(,)D二、二重积分的1.ID(xyaxb,1(xy2(x)，其中1(x),2(x)在[ab上连续，f(x,y)D上连续，则(bf(x,f(x,y)dxdy 2f(x,y)dy1(aDDIID(xy)yxycy12其中1y),2y在[cdf(xyD(ydf(x,f(x,y)dxdy 2f(x,y)dx1(ycDD2.(ydf(x,f(x,y)dxdy 2f(x,y)dx1(ycDD2.,[]f(xyf(rcosrsinD(f(x,y)df(rcos,rsin)rdrd ,rsin)rdr2f(r1(DDIID(r,,0r()，其中(在[f(xyf(rcosrsinD上连续.f(x,y)df(rcos,rsin)rdrdd f(rcos,rsin)rdr(DD3.(1)fx,y在有界闭区域D上连续，若Dx轴对称f(x,y)f(x,f(x,y)f(x,f(x,y)dD2f(x,D1Dx轴的上半平面部分(2)fx,y在有界闭区域D上连续，若Dy轴对称f(x,y)f(x,f(x,y)f(x,Df(x,2f(x,D2D2Dy轴的右半平面部分(3)设fx,y在有界闭区域D上连续，若D关于原点对称，f(x,y)f(x,f(x,y)f(x,Df(x,2f(x,D3D的上半平面或右半平面(4)fxy在有界闭区域D上连续，f(x,y)df(y,x)d1f(x,y)f(f(x,y)df(y,x)d1f(x,y)f(y,x)d2DDD三、三重积分1.设函数f(x,y,z)是有界闭区域上的有界函数.将闭区任意分n个小闭区v1v2，vnvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个vin取一点(i,i,i，作乘积f(i,i,i)ii12,n，并作和f(i,i,i如果各个小闭区域的直径中的最大值 f(x,y,z)在闭区域D上的三重积分，记 f(x,y,z)dv，nf(xyz)dvlimf(i,i,i)vidv叫体积元素02.(1)kf(xyz)dvkf(xyz)dvk为常数(2)f(x,y,z)g(x,y,z)dvf(x,y,z)dvg(x,y,(3)f(xyz)dvf(xyz)dvf(xyz)dv，其中12边界1与2不重叠(4)f(xyzg(x,yz(xyz，则f(xyz)dvg(x,yz)dv(5)若mf(xyzM，(xyz，则mVf(xyz)dvMV，其中V为的体积(6)f(x,y,f(x,y,z)dv(7)(积分中值定理)f(xyz在空间有界闭区域上连续，V为的体积，则(,,f(xyz)dvf(,,)V3.(1)直角坐标设是有界闭区域，若(xyzz1(xyzz2xy),1(xy2(xax3.(1)直角坐标设是有界闭区域，若(xyzz1(xyzz2xy),1(xy2(xax则(bz(x,yf(x,y,z)dv 22f(x,y,z)dz1(az1(x,y若(x,yz)(xyDzczdDz是平行于xy的平面截所得到的平df(x,y,z)dv f(x,y,c(2)柱坐标设是有界闭区域，若(xyzz1(r,zz2r,),r1(rr2),则r(z(rf(rcos,rsin,z)dzf(x,y,z)dxdydz 22xrz(3)球坐标设(x,yz)r1(,)rr2,fx,y,，1()2( r( f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr22d 1( xrsinzr曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分1.LxOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,yL上有界.LMM,MLn个小段.设第i个小段的长度为s,又(,为第i曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分1.LxOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,yL上有界.LMM,MLn个小段.设第i个小段的长度为s,又(,为第i2i 1n意取定的一点,fii)ii,n,并作和fii)i,如果当各小弧段长度的最大值0时,这和的极限总存在,f(xyLn曲线积分或第一类曲线积分,记作f(xy)ds,即f(xy)dslimf(i,i0LL(1)设Lf(xyg(xy)dsLf(xy)dsLg(xy)ds(2)若积分弧段 可分成光滑的曲 和 ，f(x,y)ds f(x,y)dsLf(x,y)dsLL12(3)设在L上f(x,y)g(x,y)， f(x,y)dsLg(x,y)dsf(x,yf(x,y)ds3.xt(，y,]上具有一阶连续导数且(t)(t)0则曲线积 f(x,22(t)在Lf(x,y)ds f2(t)2(t)dt()L(2)设空间曲线Lx(ty(tz(t(tf(x,y,z)ds f(t),则L二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分1.界.L上沿L的方向任意插入一1(x,y),M(1.界.L上沿L的方向任意插入一1(x,y),M(x,y),,M ,L .设xxx,yyy,点(,)MM(i1,,n;MA, i0n n iP(xy)dx,Ln类似地，如果limQ(i,i)yi总存在，则此极限为函数Q(xy在有向曲L0y，记作Q(xy)dyL2.(2)若有向曲线弧L可分为两段光滑的有向曲线弧L1L2，则LF(x,y)drLF(x,y)drLF(x,y)dr12F(x,y)dr F(x,y)dr(3)L是有向光滑曲线LLLLF(xydrP(xy)dxQ(xy)dy3.x(1)P(x,y)Q(x,y)在有向曲L上有定义且连续L的参数方程yM(xyLL运动到终点，(t),(t在以及参数t为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且2(t2(t)0，则曲线积分LP(xy)dxQ(xy)dy存在，P(x,y)dxQ(x,y)dy (t),(t)](t)(t),dtL(2)空间曲线Lx(ty(tz(t(tLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y, (t)](t)dt(t),(t)](t)(t), (t)](t)dt(t),(t)](t)(t),(t),三、两类曲线积分之LPdxQdyL(PcosQcos)ds(xy)(xy为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角空间曲线弧L上的两类曲线积分之间的关系在点(x,y,z)处的切向量的方向角四、格林1.PdxdyLPdxQdyLD的取正向的边界曲线xD2.设区域GP(xyQ(xy在G线积分LPdxQdy在G内与路径无关的充分必要条件是y 在G内恒成立3.设区域GP(xy，Q(xy在G积分P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件 G内恒成立4.设区域GP(xy，Q(xy在G积分LPdxQdyG内与路径无关的充要条件是在G内存在函数u(xy)duPdxQdy五、对面积的曲面积分(第一类曲面积分1.设曲面是光滑的,f(xyz在上有界,把任意分成n小块Si(Si同时也设曲面是光滑的,f(xyz在上有界,把任意分成n小块Si(Si同时也代表第i小块曲面的面积),(i,i,i)Si上任意取定的一点,作乘积nf(i,i,i)Si(i12,3,n,并作和f(i,i,i)Si,值0时,这和的极限总存在,f(xyz在曲面上对面积的曲面积 f(x,y,z)dS,nf(x,y,z)dSlimf(i,i,i02.(1)若曲面的方程为zz(xy，f(x,y,z)dS fx,y,z(x,zzdxdyD是曲面xy平面上的投影 (2)若曲面的方程为yy(xzxxyz，也可类似地把对面积的曲面积分化成二重六、对坐标的曲面积分(第二类曲面积分1.是光滑的有向曲面R(xyz)上有界任意分成n块小曲面Si(Si同时也代表第i块小曲面的面积SixOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i值Sin,时,limR(i,i,i)(Si的极限总存在,则称此极限为R(x,y,z)在有向曲面0nR(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy0nP(x,y,z)dydzlimP(i,i,i)(Si)0nQ(x,y,z)dzdxlimQ(i,i,inQ(x,y,z)dzdxlimQ(i,i,i)(Si02.(1)如果12PdydzQdzdxPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy(2)设是有向曲表示与取相反侧的有向曲面，P(x,y,z)dydzP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdyR(x,y,z)dxdy3.(1)若曲面的方程为zz(xy(xyDxyz(xyDxyR(xyz在R(xyz)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy，其Dxy是xy平面的投影若曲面z轴的正向成锐角取正号，成钝角取负号(2)若曲面的方程为xxyzyzDyzxyzDyzP(xyz在P(xyz)dydzPxyz),yzdydz，其Dyz是yz平面的投影，(3)若曲面的方程为yy(zx(zxDzxy(zxDzxQ(xyz在Q(x,y,z)dzdxQx,y(z,x),zdzdxDzx是zx平面的投影，曲面y轴的正向成锐角取正号，成钝角取负号七、两类曲面积分之PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS其中coscoscos为曲面在点(x,y,z)处的法向量的三个方向余弦八、高斯公式、斯托1.,,,在其中coscoscos为曲面在点(x,y,z)处的法向量的三个方向余弦八、高斯公式、斯托1.,,,在R dv zPQRdvPcosQcosRcosds z其中是是整个边界的外侧，coscoscos为在(xyz处的法向量的方向余弦正向与的侧(即法向量的指向)P(xyzQ(xyzR(xyz在曲面(连同边界)Qdydzzxdzdxdxdy(2)为了便于记忆，利用行列式将上式记coscos，或其 无穷级数一、级数1.叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为un，即unu1u2un其中第n项un叫做级数的一般项2.slimss，则称无穷级数un如果级 u的部分和数snnns其中第n项un叫做级数的一般项2.slimss，则称无穷级数un如果级 u的部分和数snnns称为级数的和，并写su1u2un；如果sn极限不存在，则称无穷u发散二、收敛级数的1.如果级数uns，则级数kunks2.如果级数un、vns、，则(unvns(1)当级数un和vn(unvn不一定发散(2)若级数unvn发散，则(unvn必发散3.改变级数的有限项不改变级数的敛散性.当改变收敛级数的有限项时，一般其和改变4.如果级数un收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变(3)发散级数去括号后所得的级数一定发散5.级数收敛的必要条件：若级 u收敛，则必有limu0n三、正项1.正项级数的定义：级数un的通项un0，则称un为正项级数2.正项级数收敛的充要条件：级数un收敛部分和数列{sn}有界3.(1)设级数，都是正项级数，且unvn(n若级数vn收敛，则级数un收敛；若un发散，则级数vn发散(2)设级数un，3.(1)设级数，都是正项级数，且unvn(n若级数vn收敛，则级数un收敛；若un发散，则级数vn发散(2)设级数un，vn都是正项级数且 l，n①若0l，则级数un与vn②若l0，则当vn收敛时，必有un③若l，则当vn发散时，必有un发散4.ulimun11时级数收敛；1(或limnuunn5.是正项级数，如果limnun，则当1时级数收敛；1limnun)1级数可能发散也可能收敛四、交错n满足：(1un1unn1,2,3,；(2limun如果交错级数数un13.如果级数un各项的绝对值所构成的正项级数|un|收敛，则称级数un敛4.如果级数un收敛，而级数级数|un|发散，则称级数un条件收敛注：如果级数un绝对收敛，则级数un必定收敛敛4.如果级数un收敛，而级数级数|un|发散，则称级数un条件收敛注：如果级数un绝对收敛，则级数un必定收敛五、函数1.对于区间I上的函数列u1x)u2x)，un(x)，，则由这函数列构成的u1(x)u2(x)un(x)2.收敛(发散)点，收敛(发散)对于x0I，函数