辽宁省本溪市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

本溪市2021年初中毕业升学试题

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答

题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用

0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.-5的相反数是（）

11

A.—B.-C.5D.-5

55

2.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是

中心对称图形又是轴对称图形的是（）

D.

*♦-

3.下列运算正确的是（）

A.x2-X-2x2B.(xy3)2=x2y6

C.X64-X3-X2D.x2+x=x3

4.如图，该几何体的左视图是（）

5.如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（）

疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星V

有效率79%76%95%95%92%

A.79%B.92%C.95%D.76%

6.反比例函数y=七的图象分别位于第二、四象限，则直线丁=丘+我不经过的象限是（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波

动情况是（）

♦一♦-♦

A.本溪波动大B.辽阳波动大

C.本溪、辽阳波动一样D.无法比较

8.一副三角板如图所示摆放，若/1=80°，则N2的度数是（)

A.80°B.95°C.100°D.110°

9.如图，在AABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BO与AC交于点E,点F为8c的

中点，连接所，若5E=AC=2,则△囱的周长为（）

E/D

A.V3+1B.6+3C.V5+1

10.如图，在矩形A8CD中，8c=1,ZADB=60%动点P沿折线4）-08运动到点B,同时动点Q

沿折线03fBe运动到点C,点P,。在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P,。在矩形对角

线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为，秒，△PBQ的面积为S,则下列图象能大致反映S

与/之间函数关系的是（）

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.若应不在实数范围内有意义，则X的取值范围为.

12.分解因式：2x?-4x+2=.

13.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着-近，-1，0,百，2,从中随机抽取一张，则抽出卡片

上写的数是石的概率为.

14.若关于x的一元二次方程3炉一2%-攵=0有两个相等的实数根，则人的值为.

15.为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖.在

购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购

买B种奖品的数量相同.设8种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________.

16.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，以A3为直径的圆经过点C和

点。，则tanZADC=.

17.如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，4(2,0),8(0,1),反比例函数y=4(》＞0)的图象经过点

18.如图，将正方形纸片ABC。沿P。折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点。的对称点为点F,EF

交AO于点G,连接CG交P。于点”，连接CE.下列四个结论中：①APBES^QFG；

②S^CEG="CBE+S四边形c«CH；③EC平分NBEG；®EG2-CH2=GQGD,正确的是（填序

号即可）.

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19.先化简，再求值：-6。（12+。上3）;，其中a=2sin300+3.

a--9Ia+3）

20.为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有：4.回顾重要事件；B.列

举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神.学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解

学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中

信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生共有名；

（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为,并把条形统计图补充完整；

（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或

画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘

纪念册和2本图片纪念册共需225元.

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册

多少本？

22.如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB.无

人机从点A的正上方点C,沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点。，测得A的俯角为60°,然后以同

样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E,测得点B的俯角为37°.

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；

（2）求的长度（结果精确到加）.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°®0.80,tan37°®0.75,

6=1.73）

五、解答题（满分12分）

23.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为

60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售,

设销售单价为x元，每星期销售量为y个.

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

六、解答题（满分12分）

24.如图，在中，NACB=90。，延长C4到点。，以AO为直径作0。，交84的延长线于点E，

延长8。到点尸，使防=£F.

D

(1)求证：EF是O。的切线；

(2)若OC=9,AC=4,AE=S,求8F的长.

七、解答题(满分12分)

25.在口A3CD中，DBAD=a,DE平分NADC,交对角线AC于点G,交射线于点E,将线段EB

绕点E顺时针旋转-a得线段EP.

2

(1)如图1,当々=120。时，连接AP,请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；

(2)如图2,当c=90°时，过点B作防_L£P于点，连接AE，请写出线段A/,AB，AO之间数

量关系，并说明理由；

(3)当a=120。时，连接AP,若请直接写出VAPE与ACDG面积的比值.

2

八、解答题(满分14分)

3

26.如图，抛物线〉=一二/+云+。与》轴交于点4和点。(—1,0),与)，轴交于点8(0,3),连接43,BC,

点尸是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PQLx轴于点。，交A3于点E.

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图1,作抨'J.FD于点P,使PF=-O4,以PE，为邻边作矩形P£GF.当矩形PEG尸

2

面积是ABOC面积的3倍时，求点P的坐标；

（3）如图2,当点P运动到抛物线的顶点时，点。在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角

三角形，请直接写出点。纵坐标〃的取值范围.

参考答案

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.-5的相反数是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据相反数的定义解答即可.

【详解】-5的相反数是5

故选C

【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.

2.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是

中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.B.

c及

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答.

【详解】选项A,是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

选项B,不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

选项C,不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

选项D,不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意.

故选A.

【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解

决问题的关键.

3.下列运算正确的是（）

A.f•X=2/B.（孙3）2=y6

C.X6-S-X3=X2D.工2+x=

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数累乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数事的除法法则及合并同类项法则逐一计算

即可得答案.

【详解】选项A,根据同底数幕乘法法则可得=选项A错误；

选项B,根据积的乘方的运算法则可得（xy3）2=%2y6,选项B正确；

选项C,根据同底数幕的的除法法则可得了6t%3=%3,选项C错误；

选项D,/与X不是同类项，不能合并，选项D错误.

故选B.

【点睛】本题考查了同底数基乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数嘉的除法法则及合并同类项法则，

熟练运用法则是解决问题的关键.

4.如图，该几何体的左视图是（）

A.B.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出从左面看到的图形即可.

【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示:

故选：D.

【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出.

5.如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（）

疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星V

有效率79%76%95%95%92%

A.79%B.92%C.95%D.76%

【答案】B

【解析】

【分析】根据中位数的定义，对5种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三

个）的有效率即可.

【详解】解：根据中位数的定义，将5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：

76%,79%,92%,95%,95%

数据个数为5,奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%

故答案为B.

【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键.

6.反比例函数y=七的图象分别位于第二、四象限，则直线丁=丘+人不经过的象限是（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先根据反比例函数尸V的图象在第二、四象限内判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出

X

结论.

【详解】解：；反比例函数产七的图象在第二、四象限内，

X

・・・左〈0,

・・,一次函数产履+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数尸七中，当&<0,双曲线

x

的两支分别位于第二、第四象限.

7.如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波

动情况是（）

A.本溪波动大B.辽阳波动大

C.本溪、辽阳波动一样D.无法比较

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算两组数据的方差，比较，即可判断.

【详解】解：辽阳的平均数为：16+14+13+13+13=13.8,

-5

方差为：S,[(16-13.8)2+(14-13.8)2+3X(13-13.8)2]=1.36,

15+13+12+12+12

本溪的平均数为:=12.8,

5

222

方差为：s2=-[(15-12.8)+(13-12.8)+3X(12-12.8)]=1.36,

S1=S?，

二本溪、辽阳波动一样，

故选：C.

【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方

差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

8.一副三角板如图所示摆放，若Nl=8()。，则N2的度数是()

A.80°B.95°C.100°D.110°

【答案】B

【解析】

【分析】由三角形的外角性质得到/3=/4=35。，再根据三角形的外角性质求解即可.

o

【详解］解：如图，ZA=90-30°=60°(

,/N3=Nl-45°=80°-45°=35°,

，/3=N4=35°,

/2=/A+N4=60°+35°=95°,

故选:B.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键.

9.如图，在△ABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线3。与AC交于点E,点尸为8C的

中点，连接比，若BE=AC=2,则△CE尸的周长为（）

A.V3+1B.75+3C.V5+1D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据作图可知平分NA8C,AB=BC,由三线合一，解放△3EC，即可求得.

【详解】•；BD平分AABC,AB=BC、BE=AC=2

BEJ_AC,AE-EC=—AC-1

2

BC=JBE2+EC2=>/22+l2=V5

•••点F为BC的中点

EF=-BC=FC=—

22

△CEF的周长为：

CE+EF+FC=l+—+—=45+\

22

故选C.

【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出8c边是解题

的关键.

10.如图，在矩形ABCO中，BC=\,ZADB=60°,动点尸沿折线AD908运动到点B,同时动点Q

沿折线D3f3C运动到点C,点P,Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P,。在矩形对角

线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为f秒，△PBQ的面积为S,则下列图象能大致反映S

与f之间函数关系的是（)

【答案】D

【解析】

【分析】结合运动状态分段讨论：当点尸在上，点。在上时，AP=/，QQ=2f,过点尸作尸石_L3。,

通过解直角三角形求出PE,表示出面积的函数表达式；当点P在3。上，点。在8c上时,

BP=2-2（/-l）=4-2/,BQ=t-\,过点P作PFL5C，通过解直角三角形求出PE,表示出面积的函数

表达式，利用二次函数的性质即可得出结论.

【详解】解：当点尸在4。上，点。在上时，AP=t,DQ=2t,

则PD=1T,

过点尸作尸E_L6O,

ZADB=f)0°,

—=sin60°=—,—=cos60°=-

PD2BD2

/.PE=-。，BD=2,

/.BQ=2-2t,

△PBQ的面积s=：8QPE=停产一百r+等（0<，<1）,为开口向上的二次函数;

当/=1时，点P与点。重合，点。与点8重合，此时△尸8Q的面积5=0；

当点尸在20上，点Q在BC上时•，BP=2-2（f-l）=4-2r,BQ=t-\,

则竺=sin6（T=且，即PF=BBP=26-gt,

PB22

△P5Q的面积S=g3Q-PF=*r2+3r-2）,为开口向下的二次函数；

故选：D.

【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是

解题的关键.

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.若万工在实数范围内有意义，则x的取值范围为—

【答案】x<2

【解析】

【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答.

【详解】解:依题意得2-x>0

解得x<2.

故答案为：x<2.

【点睛】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子(a>0)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方

数必须是非负数，否则二次根式无意义.

12.分解因式：2x?-4x+2=_

【答案】2(x—仔

【解析】

【分析】先提公因式2,再利用完全平方公式分解即可.

【详解】解：2x2—4x+2=2(f—2x+l)=2(x—1)\

故答案为：2(x—I7.

【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键.

13.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着-近，-1，0,百，2,从中随机抽取一张，则抽出卡片

上写的数是由的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】利用概率公式即可求解.

【详解】解：抽出卡片上写的数是由的概率为g,

故答案为：—.

【点睛】本题考查简单事件求概率，掌握概率公式是解题的关键.

14.若关于x的一元二次方程3炉-2%_左=0有两个相等的实数根，则上的值为.

【答’案】—.

3

【解析】

【分析】根据关于x的一元二次方程3f-2x—%=0有两个相等的实数根，得出关于2的方程，求解即可.

［详解】•••关于x的一元二次方程3x2-2x-k=0有两个相等的实数根，

.•・△=(-2)2-4x3x(-%)=4+12^=0,

解得七一一.

3

故答案为：.

3

【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>()时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当

△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<()时，一元二次方程没有实数根.

15.为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖.在

购买奖品时发现，A种奖品的单价比8种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购

买8种奖品的数量相同.设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为.

【解析】

【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，利用数量=总价+单价，结合用300

元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程.

【详解】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，

【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

16.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和

点D,则tanZADC-.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据同弧所对圆周角相等可得NA6C=NADC,再利用正切的定义求解即可.

(详解】解：；ZABC=ZADC,

3

•*.tanZADC=tanZABC=—,

2

3

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键.

17.如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，4(2,0),8(0,1),反比例函数y=&(x>0)的图象经过点

4

【解析】

【分析】连接C。，并延长交x轴于点P,分别求出P。，PO,CD和PC的长，过点C作轴于点居

求出PF,CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论.

【详解】解：连接CD,并延长交x轴于点P,如图，

：.CP1AB,BPZADP=90°

又NAO8=90°

，ZAPD=ZABO

VA(2,0),B(0,1)

：.AO=2,OB=1

AB=\IAO2+BO2=Vl2+22=石

AD=-AB=—

22

又tanA="=口

ADOA2

1V575

PD^-AD=—X------=-------

2224

：.PC=PD+CD=^+*=¥

过点C作CFLx轴于点F,

CFAO2

sinNAPsinNAB

。=。~PC~~AB~^5

:.CF=PCx与到lx与W

石4石2

•••PF=y/PC2-CF2=J(竽了一(|)2=:

333

OF=OP+PF=-+-==-

442

33

点C坐标为(一，一)

22

•••点C在反比例函数y=4(x>0)的图象上

339

k—X-=—

224

9

故答案为：-

【点睛】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析

式；求出点C坐标是关键.

18.如图，将正方形纸片A8CO沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点。的对称点为点凡EF

交AO于点G,连接CG交尸。于点儿连接CE.下列四个结论中：①/XPBES/XQFG；

②S&CEG=S&CBE+如边形CDCH；③EC平分NBEG；@EG2-CH2=GQGD,正确的是（填序

号即可）.

【答案】①③④.

【解析】

【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；

②过点C作。用，成?于加，通过证明ABEC也进而说明aCMG丝△CDG,可得

SACEG=SABEC+SACCG>SAB£C+S四边彩COQH;

③由折叠可得:NGEC=/DCE,由A8〃C。可得NBEC=NDCE,结论③成立；

④连接。H,MH,HE,由△BEC之△〃£•（；,△CMG也△CQG可知：NBCE=NMCE,/MCG=NDCG,则

NECG=NECM+NGCM=」NBCD,由于EC_LHP,则/CHP=45°,由折叠可得:/EHP=/CHP=45°,

2

利用勾股定理可得EG-EH^G42,由CMJ_EG,EHVCG,得到/EMC=/E”C=90°,所以E,M,H,C

四点共圆，通过△CM”gZ\CDH,易证△GHQsaGOH,则得G"=GQ•GO,从而说明④成立.

【详解】解：①；四边形A8CD是正方形，

AZA=ZB=ZBCD=ZD=90Q由折叠可知：

ZGEP=ZBCD=9Q°,/F=/D=90

：.ZBEP+ZAEG=90°,

NA=90°

AZAEG+ZAGE=90°,

NBEP=NAGE,

•：NFGQ=NAGE,

・・・/BEP=/FGQ,

VZB=ZF=90,

・・・APBE〜4QFG,

故①说法正确，符合题意；

②过点。作

由折叠可得:/GEONDCE,

WB//CD,

；,/BEC=/DCE,NBEC=NGEC,

在△3EC和△MEC中，

VZB=ZEMC=90°,NBEC=NGEC,CE=CE

：.△BE84MEC(AAS)

・・CB=CM,S^BEC~S^MBC»

,:CG=CG,

JRtACMG义RtdCDGIHL),

••S&CMG=SACDG,

S^CEG=SABEC+S^CDG>S/\BEC+S四边形CDQH

・••②说法不正确，不符合题意；

③由折叠可得:NGEC=NQCE,

•:AB//CD,

：.ZBEC=ZDCEf

：./BEC=NGEC,即EC平分N3EG

・・・③说法正确，符合题意；

④连接。”，MH,HE,如图：

•；/\BEg/\MEC,△CMG之△CQG,

:・NBCE=NMCE,NMCG=/DCG,

；・NECG=NECM+NGCM二上NBCD=45。,

2

：ECLHP,

：.ZCHP=45°,

:.GHQ=2CHP=45°,

由折叠可得:NEHP=NCHP=45°,

：.EH±CG

：.EG1-E^GH2

由折叠可知:E"=C”

.,.EG-CH^GH2,

■:CMLEG,EHICG,

：.NEMC=NEHC=90°,

：.E,M,H,C四点共圆，

:.NHMC=NHEC=45°,

在△CM”和△CDH中，

•:CM=CD,NMCG=NDCG,CH=CH

：.△CMHW△CDH(SAS)

:.NCDH=NCMH=45°,

VZCDA=90°,

:.NGDH=45°

VZGHQ=ZCHP=45°,

ZGHQ=ZGDH=45°,

'：ZHGQ=ZDGH,

:.△GHQS^GDH,

.GQGH

"GH-GO'

：.G"=GQ•GD

：.GE^-C^GQ•GD

故④说法正确，符合题意；

综上可得，正确的结论有:①③④

故答案为：①③④.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似

的判定与性质.翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键.

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19.先化简，再求值：T—-1+-^-,其中Q=2sin300+3.

a"-9v。+3J

【答案】:二，2

”3

【解析】

【分析】先把分式化简后，再求出。的值代入求出分式的值即可.

【详解】各

6a(a+32a-3

/—91Q+3a+3

6a〃+3

=--------------------x--------

(a+3)(o-3)3a

2

a—3

a=2sin300+3

=2x1+3

2

=4

当a=4时，原式=—2—=2.

4-3

【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键.

20.为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有：A.回顾重要事件；B.列

举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神.学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解

学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中

信息解答下列问题：

学生争加比要项11的条用统计图学生参加竟宾的扇彬及汁图

人政.

BD项目

（1）本次被调查的学生共有名；

（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为,并把条形统计图补充完整；

（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或

画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率.

【答案】（1）60；（2）90°,补全条形统计图见解析；（3）-

6

【解析】

【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A项目的有9人，占15%,即可求出总人数；

（2）作差求出8项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；

（3）列出表格，利用概率公式即可求解.

【详解】解：（1）9+15%=60;

（2）B项目的总人数为60-9-24-12=15人，

...“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为一X360°=90。,

60

小华小光小艳小萍

小华小华，小光小华，小艳小华，小萍

小光小华，小光小光，小艳小光，小萍

小艳小华，小艳小光，小艳小萍，小艳

小萍小华，小萍小光，小萍小萍，小艳

共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种,

（恰好小华和小艳）

6

【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘

纪念册和2本图片纪念册共需225元.

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册

多少本？

【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本.

【解析】

【分析】（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；

（2）设购买手绘纪念册。本，则购买图片纪念册（40-。）本，根据题意列出不等式，求解不等式即可.

【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元,

x+4y=135

根据题意可得:

5x+2y=225

x=35

解得《

y=25

答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元;

（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册（40-a）本，根据题意可得:

35a+25（40-a）<1100,

解得aW10,

•••最多能购买手绘纪念册10本.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关

键.

22.如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB.无

人机从点A的正上方点C,沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点。，测得A的俯角为60°,然后以同

样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E,测得点B的俯角为37：

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；

⑵求AB的长度（结果精确到加）.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.8（）,tan37°«0.75,

V3«1.73）

【答案】（1）无人机的高度AC=60百根；（2）的长度为382〃?.

【解析】

【分析】（1）在R3CD4中，利用正切函数即可求解;

（2）先证明四边形A8FC为矩形，在即ABFE中，求得EF，138，"，即可求解.

【详解】（1）根据题意得：8=8x15=120（，"）,

在R/ACD4中，ZACD=90°,ZADC=60°,

Ar

tan60°="

CD

.♦.4C=120x#=60百(m),

答：无人机的高度AC=60白〃?；

（2）根据题意得：DE=8x50=400（m）,

则CE=DE+C/>520（w）,

过点8作BFLCE于点凡

cDFE

-p~60^p37；，

//

：/：/

；/:/

\/!/

\­\7

;/;/

~AB

则四边形ABFC为矩形，

：.AB=FC,BF=AC=60®n，

在放ABFE中，NBFE=90°,NBEF=37。,

：.tan37°=—=0.75,

EF

...EF==138.4a138(m),

0.75

：.AB=FC=CE-EF=52Q-138=382(〃?)，

答:AB的长度为3827n.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质.注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形

是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.

五、解答题(满分12分)

23.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为

60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售,

设销售单价为x元，每星期销售量为y个.

(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式；

(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)尸-2x+220；(2)当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；(3)当

销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元.

【解析】

【分析】(1)根据题意中销售量y(个)与售价x(元)之间的关系即可得到结论；

(2)根据题意列出方程(-2X+220)(jc-40)=2400,解方程即可求解；

(3)设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题.

详解】(1)由题意可得，产100-2(x-60)=-2A+220；

(2)由题意可得，

(-2x+220)(x-40)=2400,

解得，X1=70,x2=80,

当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元.

答:当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元.

(3)设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得

w=(-2x+220)(x-40)=—2f+300x—8800,

当x=-2=75时，w有最大值，最大值为2450,

2a

：.当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元.

答：当销售单价是75元时，该网店每星期销售利润最大，最大利润是2450元.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问

题.

六、解答题(满分12分)

24.如图，在中，ZACB=90°,延长C4到点D,以A。为直径作O。，交84的延长线于点E，

延长8C到点F,使BF=EF.

(1)求证：比是O。的切线；

(2)若OC=9,AC=4,AE=8,求8F的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)—

6

【解析】

【分析】(1)连接OE,通过倒角得到NBEF+ZOEA=N8+ABAC=90°,即可得证；

(2)连接DE、OF,通过证明SAABC求出AB的长度，在RIAOCF和RtAOEF中应用勾股定

理，得出方程，即可求解.

【详解】解:(1)连接OE,

f)

短八

,**OE=OA，

ZOEA=ZOAE=ABAC,

BF=EF,

；•ABEF=4B，

：.ZBEF+ZOEA=ZB+ABAC=90°,

即OEJ_£F,

Eb是O。的切线；

(2)连接。E、OF,

；OC=9,AC=4,

O。的半径为5,

AD=10

为直径，

ZDEA=90°,

；•ZDEA=ZACB,

,/ZDAE=ZBAC,

；•^ADE^ABC,

.AEDEAD

AC=4,AE=8,

AD-

—=2,

AB

•：A£>=10,

AB=5,

BC7ABAC?=3,

设3尸的长为无，则石尸二3/=%，CF=x—3,

在RtZiOb中，。尸2=。。2+。尸2=(X-3『+81,

在RtZkOEE中，OF2=OE2+EF2=x2+25>

/.(X-3)2+81=X2+25,

解得x=".

6

【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线

是解题的关键.

七、解答题(满分12分)

25.在口ABC。中，DBAD=a,OE平分/ADC,交对角线AC于点G,交射线于点E,将线段EB

绕点E顺时针旋转-a得线段EP.

2

(1)如图1,当。=120。时，连接AP,请直接写出线段的和线段AC的数量关系；

(2)如图2,当a=90°时，过点B作防J_EP于点，连接AE,请写出线段AF,AB,AD之间的数

量关系，并说明理由；

(3)当a=120°时，连接AP,若BE=LAB,请直接写出VAPE与ACDG面积的比值.

2

【解析】

【分析】(1)延长PE，交CD于点。，根据已知条件证明△APE乌△AC。即可；

(2)连接FC,过户作月0，8c交C8的延长线于点M,由△AFE也△C8F,得Ab=EC,在

Rt^FMC由三边关系利用勾股定理可得；

EG

(3)证明△AEGS/\CZ)G，得一值，VAPE与ACDG的面积分别与△AEG的面积成比例，可得

GD

NAPE与KDG面积的比值.

详解】（1）如凰延长PE，交CO于点Q,

由题意，将线段£3绕点E顺时针旋转la,

2

；.NBEP=60。

a=120°

.-.ZB=60°

EQ//BC

•••四边形A5CD是平行四边形

AD//BC

：.EQ//AD

四边形AEQO是平行四边形

VDE平■分NADC

•••ZADE=/CDE

QAB//CZ)

ZAED^ZEDC

：.ZADE^ZAED

•••AE=AD

.•・四边形AEQ。是菱形

AE=EQ

•;ZAED=/BEP=0。

■■△AEQ是等边三角形

,AE=AQ,ZAQE=60。

VAB//CD

:.ZCQE=ZAEQ=60°

ZAQC=ZAQE+NEQC=120。,ZAEP=120°

•/EQ//AD,AD//BC，BEHCQ

四边形8CQE1是平行四边形

:.CQ=BE

;PE=BE

:.PE=CQ

在VAPE和AACQ中

AE=AQ

<NAEP=ZAQC

PE=CQ

AAPE丝AACQ

:.AP^AC.

(2)连接FC,过尸作FMLBC交CB的延长线于点M

•••a=90°

二四边形ABC£>是矩形，/FEB=45。

BF工EP

ZFBE=45°,FB=FE，

ZFBC=ZFBE+ZABC=135°,

ZFEA=180°—ZBEF=135°

•/DE平分NADC

:.ZADE=-ZADC^45°

2

•;ZAED=NPEB=45。

AE=AD

・.・四边形ABC。是矩形

AD=BC

AE=BC

在八4尸£■和ACEB中

AE=BC

<ZAEF=NCBF

EF=BF

：.^AFE^/\CBF

AF=FC

设AD=a,AB=b,AF=c

则BE—AB—AE=AB—A