几何证明知识点梳理

19.1-19.2几何证明

,知识点梳理

—■、命题、公理、定理

定义

能界定某个对象含义的句子叫做定义.

命题

判断一件事情的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.

命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.

要点：

命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系.其中命题的题设是

已知事项，结论是由已知事项推出的事项.当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以.

公理

人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.

定理

从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据.

要点：

也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：

（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.

（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.

二、演绎证明、演绎推理

演绎证明

从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.

演绎推理

演绎推理是数学证明一种常用的、完全可靠的方法.演绎证明是一个严格的数学证明，是我们将要学

习的证明方法，演绎证明也称为证明.

要点：

演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明.

色典倒号竟倒

题型1：命题的定义

1.下列语句中.不是命题的是（）

A.内错角相等，两直线平行B.对顶角相等

C.如果一个数能被2整除.那么它也能被4整除D.画一条线段

【答案】D

【分析】根据命题的定义，句子可以改写成“如果……那么……”形式，则为命题，如果不能就不是.

【解析】解：A.内错角相等，两直线平行，改写成：如果两条直线被第三条直线所截所成的角中，内错角

相等，那么这两条直线平行，是命题，故此选项不符合题意；

B.对顶角相等，改写成：如果两个角是对顶角，那么这两角相等，是命题，故此选项不符合题意；

C.如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除，是命题，故此选项不符合题意；

D.画一条线段，无法改写，不是命题，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式.有些命题的

正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.正确理解命题的定义是解题的关键.

题型2：命题的真假

2.下列四个命题中，真命题的是（）

A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

B.相等的角是对顶角

C.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

D.若而=0,则a=0且6=0

【答案】C

【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质及三角形外角的性质与有理数的乘法依次判断即可.

【解析】解：A、两条直线平行被第三条直线所截，内错角相等，原命题为假命题，不符合题意；

B、相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题，不符合题意；

C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，原命题为真命题，符合题意；

D、若ab=0,则a=0或6=。，原命题为假命题，不符合题意；

故选：C.

【点睛】题目主要考查平行线的性质、对顶角的性质及三角形外角的性质与有理数的乘法，真假命题的判

断，熟练掌握各个性质定理是解题关键.

3.下列命题中，是真命题的是（）

A.如果Zl+N2=180。,那么N1与N2互为邻补角

B.相等的角是对顶角

C.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行

D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

【答案】C

【分析】利用邻补角的定义、对顶角的定义、平行线的判定与性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解析】解：A、如果Nl+N2=180。，那么N1与N2互为补角，但不一定互为邻补角，故原命题错误，不

符合题意；

B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；

C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，符合题意；

D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义、对顶角的定义、平行线的判定

与性质等知识，难度不大.

4.对于命题“若/>〃，则下面四组关于小。的值中，能说明这个命题是假命题的是.

①a=3,h=2

②^二-3,b—2

③a=3,b--1

@a--1,b=3

【答案】②

【分析】通过计算判定，满足。2>〃，不满足”>从即可.

【解析】解：①0=3,b=2,满足”2>〃，a>b,不能说明命题是假命题.

②.=-3,b—2,满足a2>〃，a<b,能说明命题是假命题.

③”=3,b=-\,满足/>〃，a>h>不能说明命题是假命题.

@a=-1,h=3,不满足a2>〃，不能说明命题是假命题.

故答案为：②

【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解用反例说明命题是假命题.

题型3：命题的形式

5.命题“两点之间线段最短"的题设是,结论是.

【答案】连接两点，得到线段；线段最短

【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的

知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了.

【解析】命题“两点之间线段最短”的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短，

故答案为：连接两点；线段最短

【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的

结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单.

6.把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：.

【答案】如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数

【分析】先分清命题“不能被2整除的数是奇数''的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式.

【解析】解：不能被2整除的数是奇数写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数不能被2整除，那么这个

数为奇数.

故答案为：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数.

【点睛】本题考查了把命题写成“如果…那么…”的形式，正确的找到命题的题设和结论是解题的关键.

7.把命题“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果,那么.

【答案】两个角相等这两个角的补角也相等

【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后

面.

【解析】解：题设为：两个角是等角，结论为：它们的补角相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等，

故答案为：两个角相等，这两个角的补角也相等.

【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果''后面是命题的条件，“那么”后面是条件的

结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单.

题型4：假命题的反例

8.下列各数中可以用来证明命题”若。>2,则。+3>7”是假命题的反例是()

A.a=iB.a=3C.a=5D.a=7

【答案】B

【分析】根据选取的。的值符合题设，但不满足结论即可作为反例，由此即可解答.

【解析】解：当。=1时，不符合。>2,故不可判定命题“若。>2,则。+3>7”是假命题，A不符合题意；

当a=3时,3>2,但a+3V7,即可判定命题“若a>2,则a+3>7”是假命题，B符合题意；

当。=5时，5>2,。+3>7,即不可判定命题”若。>2,则。+3>7”是假命题，C不符合题意；

当“7时，7>2,a+3>7,即不可判定命题“若a>2,则a+3>7”是假命题，D不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假

命题，只需举出一个反例即可，掌握反例的特征是解题的关键.

9.可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是.

【答案】V2+(-72)=0

【分析】根据无理数的加法运算法则，如果两个无理数互为相反数时则这两个无理数的和就不是无理数,

从而举出反例.

【解析】解：如果两个无理数互为相反数，则这两个无理数的和就不是无理数,

如0+(-^/5)=0,而0是有理数，

故答案为：V2+(-72)=0.(答案不唯一).

【点睛】此题考查了举反例法，解题的关键是掌握要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

题型5：定理的依据与命题的推理

10.定理“三角形的任意两边之和大于第三边''的依据是()

A.两点之间线段最短B.边边边公理C.同位角相等，两直线平行D.垂线段最短

【答案】A

【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案.

【解析】解：如图，

根据两点之间线段最短，即可判断：AB+BC>AC,

.•.三角形的任意两边之和大于第三边；

故选A.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质.

11.甲：“我没有偷”；乙："丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁："我没有偷若四个人里面只有一个人说了

真话，则小偷是.

【答案】甲

【分析】此题可以先从丙和丁两人所说的话进行判断，两人中只有一人说真话，再采用假设法进行讨论推

理即可.

【解析】解：他们4人中只有一人说了真话，由于丙与丁两人说的话相互矛盾，所以丙与丁两个人必有一

人说真话，一人说假话.

如果丙说的是真话，那么丁说的就是假话，丁就是小偷，这样甲说的就是真话，与题意不符；

如果丁说的是真话，那么丙说的就是假话，丁不是小偷，甲和乙说的是假话，甲就是小偷，符合题意；

即可以判定甲是小偷.

故答案为：甲.

【点睛】本题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除.

题型6：举例证明

12.如图，有下列三个条件：@DE//BC；②/I=N2;®ZB=ZC.

(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都

写出来；

(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的

假命题举出一个反例(温馨提示：ZS+ZC+Zfi4C=180°)

【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析

(2)都是真命题，推理见解析

【分析】(1)(1)根据两条件一结论组成命题，可得答案；

(2)根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可

(1)

解：一共能组成三个命题：

①如果OE//BC,Z1=Z2,那么NB=NC；

②如果OE//8C,NB=NC,那么Nl=/2;

③如果N1=N2,ZB=ZC,那么DE//BC；

(2)

解：都是真命题，

如果。E//BC,Z1=Z2.那么N8=NC,

理由如下：

，N1=ZB,Z2=ZC

*/Z1=Z2,

N8=NC.

如果。目/BC,ZB=ZC,那么/1=N2；

理由如下：'：DEIIBC,

AZ1=ZB,Z2=ZC,

,:/B=/C,

・・・Z1=Z2；

如果N1=N2,ZB=ZC,那么OE//3C；

理由如下：VZB+ZC+ZBAC=180°,

AZB+ZC=180°-ZBAC,

,.・N1+N2+N8AC=18O。，

・・・N1+N2=18O0-N8AC,

AZB+ZC=Z1+Z2,

VZ1=Z2,NB=NC,

・・・N8=N1,

：.DEIIBC.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

13.如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB/7DE,AB=DE,AF=DC,求证：BC〃EF.

【答案】见解析

【分析】由全等三角形的性质SAS判定AABC二AD£F,则对应角Z4CB=NOfE,故证得结论.

【解析】解：证明：AB//DE,

\ZA=Z£),

,AF=DC,

.AC=DF.

，在AABC与ADE尸中,

AB=DE

，ZA=ZD,

AC=DF

:.^ABCs/\DEF(SAS),

：.ZACB=/DFE,

:.BC//EF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全

等的条件，属于中考常考题型.

14.已知：如图，AC=BD,Z1=Z2.求证：AD〃BC.

【答案】见解析

【分析】根据等角对等边求出OB=OC,再利用已知条件求得AO=OD,进一步利用等腰三角形性质得:

NOAD=/ODA,再利用内角和定理可得:N1=/ODA,即可得到平行.

【解析】证明：

因为N1=N2.

所以OB=OC.

因为AC=BD.

所以OA=OD.

所以NOAD=NODA.

因为N1+N2+NBOC=180°.

ZOAD+ZODA+ZAOD=180°.

ZBOC=ZAOD.

所以N1+N2=NOAD+NODA.

所以2N1=2/ODA.

即N1=NODA.

所以AD〃BC.

【点睛】本题利用等腰三角形的性质与判定得到边与角的关系，本题关键找到角与角的关系.

15.【阅读】在证明命题“如果a>b>0,c<0,那么〃+历>必+讹”时，小明的证明方法如下：

证明：：a>b>0,

••a?〉.•・/+be>•

*/a>b9c<0,

/.be>./.ab+bc>.

a2+hc>ah+ac.

【问题解决】

⑴请将上面的证明过程填写完整；

⑵有以下几个条件:①。>人，②"6,③。<0,④b<0.请从中选择两个作为已知条件，得出结论|。|>网.你

选择的条件序号是，并给出证明过程.

【答案】（1）见解析

⑵②④，证明见解析

【分析】（1）根据a>6>0,可得a?〉，也从而得至【J/+%c>ab+bc.再由c<0,可得bc>ac.从

而得至+ac.即可求证；

（2）选择②④.理由：根据h<0,可得a<0.再由绝对值的性质可得=网=-从然后根据“

<b,可得—a>—即可.

（1）

证明：-：a>b>0,

/.a2>ah.

a2+bc>ab+bc.

a>b,c<0,

bc>ac.

ab^bc>ab+ac.

a2+bc>ab+ac.

（2）

解：选择②④.

证明如下：Va<b,b<0,

・・・。＜0.

|G|=—a，网=—b.

'：a<b,

••一a>—b.

|a|>\b\.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的

关键.

16.如图，现有以下三个条件：①AB//CD,②NB=NC,③4=4.请你以其中两个作为题设，另一个作

为结论构造命题.

（1）你构造的是哪几个命题？

（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例（证明其中的

一个命题即可）.

【答案】（1）可构造如下几个命题：如果A8//CD,N8=NC,那么4如果A8〃8,NE=/尸，那么

ZB=ZC,如果N8=NC,NE=NF,那么他〃C。；（2）证明见解析.

【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；

（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假.

【解析】解：（1）有：如果A8//CO,N8=NC,那么N£=N产：

如果A8〃8,NE=NF，那么NB=NC；

如果NB=NC,NE=N凡那么A3〃CD；

(2)如图：

VAB//CD,

AZB=ZCDF,

VZB=ZC,

:.ZC=ZCDF,

・・・CE〃BF,

AZE=ZF,

・・.如果A3//CD,N3=NC，那么=N尸为真命题；

VAB//CD,

JZB=ZCDF,

VZE=ZF,

，CE〃BF,

AZC=ZCDF,

AZB=ZC,

・・・如果AB//CD,ZE=",那么N8=NC为真命题；

VZE=ZF,

・・・CE〃BF,

:.ZC=ZCDF,

・・・ZB=ZC,

JZB=ZCDF,

AAB//CD,

，如果NB=NC,NE=/F,那么AB//C。为真命题.

【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命

题；经过推理论证的真命题称为定理.

17.如图，一ABC是等腰锐角三角形，AB=AC,3。是腰AC上的高.求证：NDBC=；NBAC.

【答案】证明见解析

【分析】首先过点A作AELBC于点E,得出/E4C+NC=90。，又由8。，AC得出“3C+NC=90。，进

而得出ZD3C=NE4C,又由AB=AC,AELBC,得出NE4c=1/BAC,进而得出NDBC=：NBAC.

【解析】过点A作AEJ_8C于点E,

JZE4C+ZC=90°.

■:BD1AC,

：."3C+NC=90。.

:.ZDBC=ZEAC.

VAB=AC,AElBCt

：.ZEAC=-ZBAC.

2

：.Z.DBC=-Z.BAC.

2

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.

18.如图，0c平分NACE,且A8〃CZ),求证：ABC为等腰三角形.

【分析】首先根据角平分线的性质得出N48=/DCE,然后根据平行的性质，得出NA=NAC。,

AB=DCE,进而得出NB=N4,即可得证.

【解析】平分，ACE,

/.ZACD=ZDCE,

'：AB//CD

/.ZA=ZACD,NB=DCE.

：.N3=ZA.

，_A8C为等腰三角形.

【点睛】此题主要考查平行线和角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.

19.已知DAA.AC,AE=AB,AD=AC.直线MV过点A,交DE、8C于点〃、N.

(1)若AM是EAZ)中线，求证：ANYBC；

(2)若AN工BC,求证：EM=DM.

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.

【分析】(1)延长AW至尸，使=易证V£如丝△DW4,可得ND4M=NF,EF=AD,再根

据AD=AC可得EF=AC,再利用NBAC、NBAE、NEAD和/DAC四个角和为360。，可得

ZBAC=\8O°-ZDAE,利用△AEF的内角和可得NAE尸=18()o-D4E,可得N84C=NAEF,即可证明

ABC^/\EAF,最后利用等角的余角相等的等量代换以及AABN的内角和为180。可得出结论.

(2)过点E作E/〃交AM的延长线于F,则NF=ND4M,根据ZM_LAC,可得ND4M+NOW=90。；

AN±BC,可得NC4N+NC=90。，等量代换得出/尸=NZMM=NC.根据周角等于360。，可得

ZBAC=\80°-ZDAEi根据三角形内角和可得NAEF=180。-ND4E,nJZBAC=ZAEF,则可证明

ABC^/\EAF(AAS),得到EF=AC；易证丝△D4M,即可得到EM=£)A7.

【解析】解：(1)如图，延长AM至尸，使=

EM=DM

在V£奶和ADM4中，＜NEMF=ZAMD,

MF=AM

•*.NEMF/\DMA(SAS).AADAMEF=AD.

*.*AD=AC,EF=AC.

VAELAB,DALAC,：.ZBAC=360°-90°x2-ZZME=180°-ZZME.

,/ZAEF=180。一N尸一ZEAM=180°-ADAM-ZEAM=180°-DAE,

:.ZBAC=ZAEF.

EF=AC

?

在，ABC和△E4/中，\^BAC=AAEFf

AB=AE

：.ABC^/\EAF(SAS).AZEAF=ZB.

VAELAB,/.ZE4F+ZBAV=90°.工NB+/BAN=900.

在工ABN中，ZANB=180°-(ZB+ZBAN)=180°-90°=90°,:.ANIBC.

(2)如图，过点E作印〃AO交AM的延长线于尸，则NF=NZX4M,

VDA±ACf：.ZDAM+ZCAN=90°.

•:AN1.BC,：.ZGW+ZC=90°.：.ZF=ZDAM=ZC.

VAEA.AB,DA1.AC,：.Z^AC=360°-90°x2-ZZME=180°-ZZME.

ZAEF=180°-ZF-ZEAM=180°-/DAM-ZEAM=180°-/DAE,

:.ZBAC=ZAEF.

NBAC=NAEF

在&A6C和△£?!尸中，ZF=ZC,

AB=AE

：.ABC^/\EAF(AAS).:・EF=AC.

VAD=AC,AEF=AD.

NF=ADAM

在△£冏/和4M中，ZEMF=ZDMA,

EF=AD

:・AEFM学/\DAM(AAS).：.EM=DM.

【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线''这一辅助线做法，构造

全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延

长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；

第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的

就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.

心跟踪钏练

一、单选题

1.下列语句中，（）是命题.

A.在上取一点P,使B.若”则为=26

C.a不一定比6大D.同位角不相等，两直线平行吗？

【答案】B

【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都有的题设和结论两部分组成.

【解析】解：A、在AB上取一点P,使AP=P8；不是命题；

B、若。=8，则为=力；是命题；

C、。不一定比。大；不是命题；

D、同位角不相等，两直线平行吗？不是命题；

故选：B.

【点睛】本题利用了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的

陈述句叫做命题.

2.下列命题中，真命题的个数是（）

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形

平移的方向一定是水平的；④内错角相等.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可.

【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；

平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是真命题；

图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；

两直线平行，内错角相等，④是假命题；

故选A.

【点睛】此题考查了命题与定理，解题关键在于熟练掌握各性质定义以及判定定理.

3.下列说法正确的是（）

A.三角形的角平分线是射线B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.锐角三角形的三条高交于一点D.三角形的高和中线一定在三角形的内部

【答案】C

【分析】根据三角形角平分线，中线，高线的概念以及平行线公理，对各选项分析判断利用排除法求解.

【解析】解：A.三角形的角平分线是线段，故本选项不符合题意；

B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；

C.锐角三角形的三条高交于一点，正确，故此选项符合题意；

D.三角形的内部三角形的中线一定在三角形的内部，高线不一定在三角形的内部，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，平行线公理是基础题，熟记概念是解题的关键.

4.能说明“锐角锐角夕的和是锐角”是假命题的例证图是（）.

【答案】C

【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案.

【解析】解：A、如图1,/I是锐角，且/l=a+/,所以此图说明“锐角%锐角用的和是锐角”是真命题,

故本选项不符合题意；

B、如图2,/2是锐角，且/2=a+4,所以此图说明“锐角a,锐角夕的和是锐角”是真命题，故本选项不

符合题意；

C、如图3,/3是钝角，且/3=a+〃，所以此图说明“锐角a,锐角夕的和是锐角''是假命题，故本选项符

合题意；

D、如图4,/4是锐角，且/4=a+〃，所以此图说明“锐角a,锐角夕的和是锐角''是真命题，故本选项不

符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题

型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

5.下列命题中，真命题的个数为（）个.

①一个角的补角可以是锐角；

②两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离；

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据补角的定义、平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义、垂线的性质定理判断即可,

【解析】①一个角的补角可以是锐角，理由：钝角的补角是锐角，故①正确.

②两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离，理由：两条平行直线之间距

离的定义，故②正确.

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，理由：垂线的性质定理，故③正确.

④平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误.

故选：C.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的性质定理.

6.利用反证法证明命题“在AABC中，若A3=AC,则N8<90。”时，应假设（）

A.若A3=AC,则NB>90。B.若ABwAC,则/3<90。

C.^AB=AC,则NB..90。D.若A3/AC,则NB..90。

【答案】C

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答.

【解析】解：用反证法证明命题“在AABC中，^AB=AC,则ZB<90。”时，应假设若A8=AC,则NB..90。,

故选C.

【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑

结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

7.给出下列四个命题，其中真命题的个数为（）

（1）坐标平面内的点与有序实数对一一对应：

（2）若a>0,b不大于0,则P（-在第三象限内；

（3）在x轴上的点，其纵坐标都为0；

（4）当加工0时，点尸（病,-加）在第四象限内.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征进行逐一判断即可.

【解析】解：（1）坐标平面内的点与有序实数对一一对应，故此命题是真命题；

（2）若a>0,b不大于0,则当反0时，P（-a,b）在x轴上，不在第三象限内，故此命题是假命题；

（3）在无轴上的点，其纵坐标都为0,故此命题是真命题；

（4）当,吐0时，若,”<0,1二::则点尸（优-加）在第一象限内，故此命题是假命题.

故选B.

【点睛】本题主要考查了判定命题的真假，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键在于能够熟练掌

握相关知识进行求解.

8.如图，在AABC中，/ABC=45。，AC=5,F是高AD和BE的交点，则BF的长（）

【答案】C

【分析】求出/ADC=NBDF,ZDBF=ZDAC,AD=BD,根据ASA推出AADC丝ZXBDF,根据全等三角形

的性质推出AC=BF即可.

【解析】〈AD、BE是高,

/.ZADC=ZBDF=90°,ZBEC=90°,

.•.ZDBF+ZC=90°,ZDAC+ZC=90°,

AZDBF=ZDAC,

VZABC=45°,ZADB=90°,

AZBAD=ZABD=45°,

/.AD=BD,

在"DC和ZkBDF中

/ADC=NBDF

<AD=BD,

ZDAC=ZDBF

/.△ADC^ABDF(ASA),

ABF=AC,

VAC=5,

ABF=5,

故选C.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题

的关键是推出△ADCZZ\BDF,注意：全等三角形的对应边相等.

9.如图，直线。、人与直线。相交，给出下列条件：

①N1=N3；®Z3=Z5；@Z4+Z7=180°；©Z5+Z3=180°.能判断a〃。的是().

A.①②④B.①③④C.①②③④D.①③

【答案】B

【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案.

【解析】：①•.—2,

.'.a〃b,故此选项正确；

②N3=N5无法得出a〃b,故此选项错误；

@VZ4+Z7=180°,

，a〃b,故此选项正确；

@VZ5+Z3=180°,

.,.Z2+Z5=180°,

.♦.a〃b,故此选项正确；

综上所述，正确的有①③④.

故选B.

【点睛】此题考查平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键.

10.如图，在aAfiC中，AB=AC,NABC=40。，8。是/ABC的平分线，延长8。至E,使DE=4D,

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】在BC上截取BF=AB,连DF,可得AABD丝△FBD,得出对应边、对应角相等，进而又得出

△DCE丝△DCF,即可求解.

【解析】解：在BC上截取BF=AB,连DF,

♦；BD是NABC的平分线,

二/ABD=NFBD,

在AABD和AFBD中，

AB=FB

<ZABD=NFBD

BD=BD,

则有AABD丝4FBD(SAS),

，DF=DA=DE,ZBAC=ZDFB

XVAB=AC,

.•./ACB=NABC=40。，

，ZBAC=180°-ZACB-ZABC=100°,

ZDFC=180°-/DFB=180°-/BAC=80°,

NFDC=180°-/ACB-/DFC=60°,

,?ZEDC=ZADB=180°-ZABD-ZBAC=180°-20°-100°=60°,

.,.ZFDC=ZEDC,

在ZkDCE和ADCF中，

DE=DF

-NEDC=NFDC

CD=CD

AADCE^ADCF(SAS),

/.ZECA=ZDCB=40°.

故选C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形内角和定理，题中两次运用了全等，借助

全等得到对应边，对应角的相等，利用角度之间的转换得出答案.

二、填空题

11.一件事件的叫做命题.许多命题都是由______和两部分组成.其中题设

是，结论是.

【答案】判断语句题设结论已知事项由已知事项推出的事项

【分析】直接根据命题的定义及构成解答即可；

【解析】解：由命题的定义及构成知；判断一件事件的语句叫命题.许多命题都是由题设和结论两部分组

成，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

故答案为：判断；语句；题设；结论；已知事项；由已知事项推出的事项

【点睛】本题主要考查命题的定义及构造，掌握并理解命题的定义是解题的关键.

12.下列语句哪些是命题，哪些不是命题？

(1)作=()(2)两个锐角互余.()

(3)直线。与b有可能垂直.()(4)作射线AB.()

（5）作直线A5//CO.（）（6）整数一定是有理数.（）

【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是

【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答.

【解析】解：（1）作，不是命题；故答案为：不是.（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是.（3）

直线a与b有可能垂直，不是命题；故答案为：不是.（4）作射线，不是命题；故答案为：不是.（5）

作直线，不是命题；故答案为：不是.（6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是.

【点睛】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键.

13.命题通常写成“如果……,那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是,“那么”后接的部分

是,所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就的命题，相反，所谓假命题就是：如

果题设成立，不能保证结论的命题.

【答案】题设结论成立一定成立

【分析】根据命题的概念解答即可.

【解析】命题通常写成“如果……,那么……”的形式，

“如果”后接的部分是题设；

“那么”后接的部分是结论；

所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就成立的命题；

所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题，

故答案为：题设，结论，成立，一定成立.

【点睛】本题主要考查命题的概念，属于基础题，只要掌握命题的概念即可.

14.“同旁内角互补”，该命题是命题（选填“真”或“假”）.

【答案】假

【分析】根据命题以及真假命题的定义进行判断.

【解析】解：“同旁内角互补”，该命题是假命题；

故答案为：假

【点睛】本题主要考查了命题的定义，真、假命题的定义.比较简单，属于基础题型.命题是判断一件事

情的语句，而判断是对事物有所断定的思维形式，一般可以加上“是''或者"不是命题有真有假，正确的命

题叫真命题，错误的命题叫做假命题.

15.把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为.

【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等

【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可.

【解析】解：原命题的条件为“两个角是同位角”，结论为"这两个角相等“，

所以可改写为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，

故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.

【点睛】本题考查个命题可以写成“如果…那么…”形式，解题的关键在于找到原命题的条件和结论.

16.用一组a"的值说明命题“对于非零实数a,b,若•!•<?，则“>田，是错误的,这样的小6可以是a=_____,

ab

b=.

【答案】-11

【分析】通过a取-1,b取1可说明命题“若工则”是错误的.

ab

【解析】解：当a=-l,b=\时，满足一但是

故答案为：-1,1.

【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一

个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

17.已知三条不同的直线a、氏c在同一平面内，下列四条命题：

①如果a//b,a_Lc,那么6_Lc；②如果b//a,ella,那么b//c；③如果bVa,cJLa,那么8_Lc；④如果bA.a,

cLa,那么6〃c.其中假命题的是一.（填写序号）

【答案】③

【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可.

【解析】解：①如果。〃6ale,那么b_Lc,正确，是真命题；

②如果b〃“，c//a,那么b〃c,正确，是真命题；

③如果cLa,那么错误，应该是匕〃c,故原命题是假命题；

④如果cLa,那么b〃c,正确，是真命题.

假命题有③，

故答案为：③.

【点睛】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直

线的两条直线平行.

18.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一

等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：

小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；

小王说：“丁团队获得一等奖”；

小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；

小赵说：“甲团队获得一等奖

若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是.

【答案】丁

【分析】先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可.

【解析】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假

设错误，

②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，

③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，

④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，

即获得一等奖的团队是：丁；

故答案为：丁.

【点睛】本题考查了推理与论证，正确进行简单的合情推理是解题关键.

三、解答题

19.下列句子中哪些是命题？

（1）动物都需要水；（2）猴子是动物的一种；

（3）玫瑰花是动物；（4）美丽的天空；

（5）相等的角是对顶角：（6）负数都小于零；

（7）你的作业做完了吗？（8）所有的质数都是奇数；

（9）过直线/外一点作/的平行线；（10）如果aS,a=c,那么方=c.

【答案】（1）（2）（3）（5）（6）（8）（10）是命题，（4）（7）（9）不是命题.

【分析】命题：对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一分析，从而可得答案.

【解析】解：命题：对一件事情作出判断的语句，

（1）动物都需要水；对动物的需要作出了判断，是命题，

（2）猴子是动物的一种；对猴子的种类作出了判断，是命题，

（3）玫瑰花是动物；对玫瑰花的种类作出了判断，是命题，

（5）相等的角是对顶角；给对顶角作出了判断，是命题，

（6）负数都小于零；对负数的大小作出了判断，是命题，

（8）所有的质数都是奇数；对质数作出了判断，是命题，

（10）如果a=〃，a=c,那么6=c.对6,c的数量关系作出了判断，是命题，

（4）美丽的天空；没有对事情作出判断，不是命题，

（7）你的作业做完了吗？没有对事情作出判断，不是命题，

（9）过直线/外一点作/的平行线；没有对事情作出判断，不是命题.

【点睛】本题考查的是命题的含义，判断语句是否是命题，掌握“命题的定义”是解题的关键.

20.推理填空：如图，已知NB=NCG凡NBGC=NF.

求证：ZB+ZF=180°,ZF+ZBGD=180°.

证明：

,:/B=/CGF（已知），

：.ABCD（）.

NBGC=NF（已知），

：.CD.EF（）.

：.ABEF（）.

尸=180°（）.

又•.•NBGC+NBG£）=180。（）,

NBGC=NF（已知），

尸+/5GC=180°（）.

【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角

互补；平角的定义；等量代换

【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可.

【解析】解；，：NB=NCGF（已知）；

：.ABCD（同位角相等，两直线平行），

,:NBGC=NF（已知）；

:.CDEF（同位角相等，两直线平行），

：.ABEF（平行公理的推论）

...N8+NF=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

又•.,N8GC+/8G£）=I80。（平角的定义），

NBGC=NF（已知）,

...NF+N3GZ）=180。（等量代换）.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理.

21.已知：如图，AB//CD,OP、MN分别平分N8QW、NOMD,OP、MN交于氤G.求证：MNLOP.

【答案】证明见解析

【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补得出4OM+/OMC>=18（）。，然后根据角平分线的性质，得

出2NPOM+2ZMMO=180。，进而得出NPOW+NGMO=90。，NMGO=90。，即可得证.

【解析】,：AB//CD,

：.ABOM+ZOMD=ISO°（两直线平行，同旁内角互补）.

,:MN、0P分别是平分NBOM、NOMD,

：.22PoM+2ZNMO=180。.

，ZPOM+NGMO=90°.

ZMGO=90°.

：.MNLOP.

【点睛】此题主要考查平行线以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.

22.填写推理的理由.

已知：如图，CDJ_A5于点。，于点E,/1=N2,0G交AC于点G,EF交BC于点F.求证:

ZADG^ZB.

证明：'：CDYAB,EFLAB(),

7.CDEF（）.

，/2=/3（）.

VZ1=Z2（）,

N1=N3（）.

/.DGBC（）.

；.ZADG=NB（）.

【答案】（1）已知

（2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

（3）两直线平行，同位角相等

（4）已知

（5）等量代换

（6）内错角相等，两直线平行

（6）两直线平行，同位角相等

【分析】根据已知条件，先判定历和。G8C,然后利用平行线的性质来求证.

【解析】；EFYAB（已知），

CDEF（如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）.

二/2=/3（两直线平行，同位角相等）.

VZ1=Z2（已知），

AZ1=Z3（等量代换）.

ADGBC（内错角相等，两直线平行）.

：.ZADG=ZB（两直线平行，同位角相等）.

【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

23.如图，在二ABC中，AC^BC,ZACB=90°,。是AC上的一点，且的延长线交于E,又BD

平分NA3C,求证：AE=-BD.

2

E

【答案】详见解析

【分析】延长AE,BC交于点F,根据在RSBEF中，ZEBF+ZF=90°,在RsACF中/FAC+/F=90。,

可得NEBF=/FAC,进而可证△ACF丝△BCD,可得AF=8/),易证AABE纣一FBE,可得即

AE=-AF,所以4E=,8£>.

22

【解析】解：延长AE,BC交于点、F,

VZEAD+ZADE=90°,NBDC+NCBD=90P,ZADE=ZBDC,

：.ZEAD=ZCBD.

.NEAD=NCBD

；在4ACF和△BCD中，■AC=BC,

NAC尸=NBC。=90°

:.AACF注ABCD(ASA).:.AF=BD.

2ABE=NFBE

♦.,在AABE和,ABE中，,BE=8E,

ZA£B=ZFEB=90°

；•/\ABE妾jFBE(ASA).；.AE=EF,BPAE=^AF.

：.AE=-BD.

2

【点睛】本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是

高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可

以利用这些条件构造全等.

24.已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC〃DE,AC=CE,ZACD=ZB,

求证:BC=DE；

【答案】见解析

【分析】先根据平行线的性质和已知条件得出/ACB=NE,NB=ND,再利用AAS即可证明AACB附△€1££>,

进而可得结论.

【解析】证明：：4C〃OE,

AZACD^ZD,NACB=NE,

；NACD=NB,

：.NB=ND,

在AACB和△EC£>中，

'ZB=ZD

-NACB=NE

AC=CE

：.△ACBWACED(AAS).

：.BC=DE.

【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是证明

的关键.

25.如图，在2ABe中，NB4C的角平分线交3C于。，且A3=AC+CD.求证：ZC=2ZB.

【答案】证明见解析

【分析】在A8上截取AE=AC,易证AACD丝Z\AED,则CD=DE,ZC=ZAED,可得DE=BE,由等边

对等角可得：/EDB=/EBD,由三角形外角定理即可得到结论.

【解析】

证明：在AB上截取AE=AC,

AB=AC+CD.

：.BE=CD.

在_AC£>和△A£»中

AC=AE

<ZCAD=ZBADf

AD=AD

：.,ACD^/\AED.

：.CD=DEfNC=NAED.

JDE=BED.

：.ZEDB=ZEBD.

:.N£BD=2ZB.

JZC=2ZB.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理，构造全等三角形、运用等腰三角形的知

识是解答本题的关键.

26.如图，AD//BC,Z1=Z2,/3=/4,直线。C过点E交AD于。，交8c于点C.求证：AD+BC=AB.

C

【答案】详见解析

【分析】在线段A3上取=连接所，易证VADE之△AFE,可得ND=NA庄，因为得,

ND+NO180。，再根据邻补角NAFE+NBFE=180。，可得NBFE=NC,可证△C5E^_FBE,可得BOBF,

再进行等量代换即可得出答案.

【解析】解：在线段/W上取AF=AE>,连接石尸，

c

ANADE^AAFE(SAS).

:.ZD=ZAFE.

由A。C8又可得NC+ND=180。,

Z4FE+ZC=I8O0.

又NfiEE+NAEE=180°,

，NC=NBFE.

ZC=NBFE

在ACBE与—FBE中，，N3=N4

BE=BE

：./\CBE^FBE(AAS).

二BF=BC.

VAB=BF+AF,

：.AB=AD+BC.

【点睛】本题考查全等三角形证明中辅助线其中•种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段

的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段

长度使