扬州大学高等代数课件北大三版-第九章欧几里得空间

扬州大学高等代数课件北大三版-第九章欧几里得空间欧几里得空间的定义与性质欧几里得空间的线性变换欧几里得空间的子空间欧几里得空间的同构欧几里得空间的正交变换目录01欧几里得空间的定义与性质欧几里得空间的定义欧几里得空间是指满足向量加法、标量乘法和数量积封闭的向量空间。它由实数域上的有限维向量空间构成，具有加法、标量乘法和数量积等运算性质。欧几里得空间的性质欧几里得空间是完备的，即其上任意柯西序列都收敛。它具有正定性，即对于任意的向量x，都有x⋅x≥0，且只有在x=0时等号成立。VS二维平面上的点集构成一个二维欧几里得空间，其中向量是平面向量，标量是实数。三维空间中的点集构成一个三维欧几里得空间，其中向量是三维向量，标量是实数。欧几里得空间的例子02欧几里得空间的线性变换线性变换如果对于欧几里得空间中的向量$mathbf{x}$，存在一个向量$mathbf{y}$，使得$mathbf{y}=T(mathbf{x})$，其中$T$是一个线性变换。线性变换的性质线性变换具有加法性质和数乘性质，即对于任意的向量$mathbf{x}$和常数$k$，有$T(kmathbf{x})=kT(mathbf{x})$。线性变换的定义与性质对于线性变换$T$，存在一个矩阵$A$，使得对于任意的向量$mathbf{x}$，有$T(mathbf{x})=Amathbf{x}$。矩阵表示线性变换的矩阵表示具有加法性质和数乘性质，即对于任意的矩阵$A$和常数$k$，有$(kA)(mathbf{x})=k(Amathbf{x})$。矩阵的运算性质线性变换的矩阵表示如果存在一个常数$lambda$，使得对于任意的向量$mathbf{x}$，有$T(mathbf{x})=lambdamathbf{x}$，则称$lambda$为线性变换$T$的特征值。特征值如果存在一个非零向量$mathbf{x}$，使得$T(mathbf{x})=lambdamathbf{x}$，则称$mathbf{x}$为线性变换$T$的特征向量。特征向量特征值与特征向量对角化与相似变换如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=Lambda$，其中$Lambda$是对角矩阵，则称线性变换$T$可对角化。对角化如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}TP=T'$，其中$T'$是另一个线性变换，则称线性变换$T$与$T'$相似。相似变换03欧几里得空间的子空间如果一个线性空间U的一个非空子集V对于U的加法和标量乘法也构成一个线性空间，则称V是U的子空间。子空间具有封闭性，即子空间中的元素经过加法和标量乘法后仍然在子空间中。此外，子空间还具有独立性，即子空间中的元素不能被其他元素所唯一确定。子空间的定义子空间的性质子空间的定义与性质判定条件一如果一个集合V包含0元素并且对于加法和标量乘法封闭，则V是一个子空间。要点一要点二判定条件二如果一个集合V在加法和标量乘法下构成一个群，则V是一个子空间。子空间的判定条件子空间的基一个线性子空间的基是一组线性无关的元素，该子空间中的任意元素都可以由这组基线性表示。子空间的维数子空间的维数等于其基所含元素的个数。对于有限维线性空间，维数等于其基的元素个数。子空间的基与维数04欧几里得空间的同构同构的定义两个欧几里得空间V和W之间的一个一一映射f，如果对于任意的x，y属于V，都有f(x+y)=f(x)+f(y)和f(x*y)=f(x)*f(y)，那么就称f为V到W的线性同构。同构的性质同构映射保持向量的长度不变，即对于任意的x属于V，有|f(x)|=||x||。同构的定义与性质判定条件一如果存在可逆线性变换T，使得对于任意的x属于V，都有T(x)=f(x)，那么就称f为V到W的线性同构。判定条件二如果存在可逆矩阵P，使得对于任意的x属于V，都有P*x=f(x)，那么就称f为V到W的线性同构。同构的判定条件在有限维空间中，任何两个标准正交基都可以通过一个可逆线性变换相互转换，因此它们是线性同构的。应用一在解析几何中，平面直角坐标系和极坐标系可以通过适当的坐标变换相互转换，因此它们是线性同构的。应用二同构的应用举例05欧几里得空间的正交变换正交变换的定义与性质定义正交变换是一种线性变换，它保持向量之间的正交关系不变。性质正交变换的逆变换也是正交变换；正交变换的行列式为1或-1，取决于是否保持定向不变；正交变换将一个向量映射到与原向量长度相等或长度为原向量长度平方根的向量。正交矩阵的判定条件01行列式值为1或-1；02任意两行（或列）正交，即点积为0；特征值全为实数，且特征值的和等于行列式的值。03

正交变换的应用举例旋转和反射正交变换可以用来描述旋转和反射等几何变换，这在图形处理和计算机视觉等领域有广泛应用。数据降维通过正交