平面几何中向量方法在物理应用举例

第六章 6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸1.会用向量方法计算或证明几何中的相关问题，体会向量在解决平面几何问题中的作用.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.课标要求素养要求通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程，体会数学建模及逻辑推理素养；通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题，体会数学建模及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.用向量方法解决平面几何的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__________；(2)通过__________，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“______”成几何关系.向量问题向量运算翻译点睛用向量方法解决平面几何问题的关键是建立数学模型.

2.向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).3.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等.(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.1.思考辨析，判断正误×提示(1)△ABC中，∠B不一定是直角，(2)直线AB与CD重合或平行，(3)功是力F与所产生的位移s的数量积W＝F·s.××√C3.作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝_____________.解析由题意知，F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2＝－(F1＋F2)＝(－3，－4).(－3，－4)3课堂互动题型剖析2题型一利用向量解决平面几何中的有关问题证明如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形.∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).角度1向量解决平面几何中的平行(或共线)问题【例1】

在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线.证明

连接MB，MD.∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.思维升华【训练1】

如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF.【例2】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.则|a|＝|b|，a·b＝0.角度2向量解决平面几何中的垂直问题法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.思维升华角度3向量求线段长度或证明线段相等【例3】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形.试用向量法证明：PA＝EF.思维升华解如图所示，建立平面直角坐标系，设点C(x，y).因为AB＝2，所以B点坐标是(2，0).题型二向量在物理中的应用解因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，(2)〈F3，F2〉的大小.解如图，以三力的作用点O为坐标原点，F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.将向量F1，F3正交分解.平面向量在物理中的力学应用广泛，用向量处理这些问题时，根据题意把物理向量用有向线段表示，利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.本例第(2)问中建立平面直角坐标系，把向量作正交分解，这种方法在力学中应用非常广泛.思维升华【训练4】一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为北偏东60°；|F3|＝6N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功.角度2有关速度的问题【例5】奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度大小与方向.解如图，建立平面直角坐标系(x轴的正方向为东，y轴的正方向为北).风力的方向为北偏东30°，速度大小|v1|＝20km/h，水流的方向为正东，速度大小|v2|＝20km/h，帆船行驶的速度为v，方向为北偏东90°－α，则帆船行驶的速度利用向量法解决速度问题的关键是要能根据题意画出示意图，同时要注意速度的方向.思维升华∴小船的实际航行速度大小为20km/h，按北偏东30°的方向航行.1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种是建立直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.2.用向量讨论物理中相关问题的步骤 (1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.

课堂小结分层训练素养提升3

DC解析由题意知F3＝－(F1＋F2)，B4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(

) A.(－2，4) B.(－30，25) C.(10，－5) D.(5，－10)C即(x＋10，y－10)＝(20，－15)C二、填空题6.飞机以大小为300km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________km/h.解析如图所示，5三、解答题9.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使其由点A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功；所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.所以合力F对质点所做的功为－102.解连接OB，设B(xB，yB)，(2)求证：四边形OABC为等腰梯形.∴四边形OABC为等腰梯形.B解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.12.河水的流速大小为2m/s，一艘小船以大小为10m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s.13.已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：AP＝AB.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1).设点P坐标为(x，y)，∴x＝