计算机图形学习题及答案期末复习题及答案

计算机图形学作业答案

第一章序论

第二章图形系统

1.什么是图像的分辨率？

解答：在水平和垂直方向上每单位长度(如英寸)所包含的像素点的数目。

2.计算在240像素/英寸下640X480图像的大小。

解答：(640/240)X(480/240)或者(8/3)X2英寸。

3.计算有512X512像素的2X2英寸图像的分辨率。

解答：512/2或256像素/英寸。

第三章二维图形生成技术

1.一条直线的两个端点是(0,0)和(6,18),计算x从0变到6时y所对应的值,

并画出结果。

解答：由于直线的方程没有给出，所以必须找到直线的方程。下面是寻找直线方程(y

=mx+b)的过程。首先寻找斜率：

in=/y//x=(ya—yi)/(x2—xi)=(18—0)/(6—0)=3

接着b在y轴的截距可以代入方程y=3x+b求出0=3(0)+b。因此b=0,所以直

线方程为y=3x。

2.使用斜截式方程画斜率介于0°和45°之间的直线的步骤是什么？

解答：

(1)计算dx：dx=X2—Xi。

(2)计算dy：dy=y2—yio

(3)计算m：m=dy/dx。

(4)计算b:b—yi—mXxi

(5)设置左下方的端点坐标为(x,y),同时将设血设为x的最大值。如果

dx<0,则x=xz、y=y2和X©11d=xi。如果dx>0,那么x=xi、y=yi

和Xend=X2o

(6)测试整条线是否已经画完，如果x>X』就停止。

(7)在当前的(x,y)坐标画一个点。

(8)增加x：x=x+l。

(9)根据方程丫=1^+13计算下一个y值。

(10)转到步骤(6)。

3.请用伪代码程序描述使用斜截式方程画一条斜率介于45°和一45°(即|m|>l)之

间的直线所需的步骤。

解答：

假设线段的两个端点为(xi,yi)和(X2,y2),且ywyz

intx=xi,y=yi；

floatXf,m=(y2—yi)/(X2-xi),b=yi—mxi；

setPixel(x,y);/*画一个像素点可

while(y<y2){

y++;

Xf=(y—b)/m;

x=Floor(Xf+0.5);

setPixel(x,y);

)

4.请用伪代码程序描述使用DDA算法扫描转换一条斜率介于一45°和45°(即|m|

W1)之间的直线所需的步骤。

解答：

假设线段的两个端点(xi,y,)和(X2,y2)，且X'X2

intx=xi,y;

floatyf=yi,m=(y2-yi)/(X2-xi)；

while(x<=X2){

y=Floor(y(+0.5);

setPixel(x,y);

x++;

yf=yf+m;

)

5.使用Bresenham算法画斜率介于0°和45°之间的直线所需的步骤。

解答：

(1)计算初始值：

dx=X2-xiIno—2(dy—dx)

dy=y2-yid=Inci-dx

Inc、1=2dy

(2)设置左下方的端点坐标为(X,y),同时将Xend设为x的最大值。如果

dx<0,则x=X2,y=y2和Xcnd=xi。如果dx>0,那么x=x］、y=yi

和Xend=X2。

(3)在当前的(X,y)坐标画一个点。

(4)判断整条线段是否已经画完，如果X=Xend就停止。

(5)计算下一像素的位置。如果d<0,那么d=d+lnc］。如果d20,那么

d=d+Im;2,并且y=y+lo

(6)增加x：x=x+lo

(7)在当前的(x,y)坐标画一个点。

(8)转到步骤(4)o

6.请指出用Bresenham算法扫描转换从像素点(1,1)到(8,5)的线段时的像素位

置。

解答：

首先必须找到初始值。在这个例子中，

dx=X2-xi=8-1=7dy=ya-yi=5-1=4

因此，

Inci=2dy=2X4=8

Inci=2(dy-dx)=2X(4-7)=—6

d=Inci-dx=8-7=1

7.使用Bresenham算法扫描转换圆的步骤是什么？

解答:

(1)设置初始变量：(h,k)=圆心坐标；x=0；丫=圆的半径r；d=3-2r。

(2)测试整个圆是否已经扫描转换完。如果x>y就停止。

(3)以中心(h,k)为对称点，对当前的(x,y)坐标画8个圆上的点：

plot(x+h,y+k)plot(-x+h,-y+k)

plot(y+h,x+k)plot(-y+h,-x+k)

plot(-y+h,x+k)plot(y+h,-x+k)

plot(-x+h,y+k)plot(x+h,-y+k)

其中pk)t(a,b)表示以给定的参数为中心画一个小块。

(4)计算下一个像素的位置。如果d<0,那么d=d+4x+6和x=x+l。如

果dNO,那么d=d+4(x—y)+10、x=x+^fly=y—1。

(5)转到步骤(2)。

8.给定数据点P。(0,0),P1(1,2)P2(2,1)P3(3,-1)Pi(4,10)P5(5,5),

用三次B样条插值法插值这些数据点，求出曲线，并找出定义三次B样条的节点集

to,tgo

解答：

m=3,n=5,选择节点集可以有两种方案:

(1)选择：

%=4==J=一1(<%0)，=6(>X”)

其余的节点按以下方式选择：

巧+|+…

,z=0,...fi-m-X

i+nt+\m

故：

1+2+302+3+4

t=----------=2,t=----------

33

(2)三次样条的另一种方案是：

fo=，2=%=T〃=匕=&=五=6

其余节点按以下方式选择:

54=七+2，1=°，……，n-4

故:

t,i=2,t$=3

两种方法选择节点集，其根据是数据点沿X轴为等间距。

第四章图形的裁剪及几何变换

I.写出实现下述映射的规范化变换，将左下角在(1,1),右上角在(3,5)的窗口映

射到(a)规范化设备的全屏幕视区；(b)左下角在(0,0),右上角在的视

区。

解答：

(a)窗口参数是WXmin=1,WXmax=3,"min=tWJmax=5«视区参数是

VXmin=°，VXmax=^KYmin=°，VVmax=1。那么"=5,$，=彳且

-

Jo-I

一2-

1

21-

--

一4

N=04

0-

0-

1I

/

11

a

---.--

(b)窗口参数同(a)。视区参数是方,nvx—maXaX

29m2

1

o

--

4

411

---

N=088

01—

0

2.设R是左下角L(—3,1),右上角为R(2,6)的矩形窗口。请写出图中的线段端

点的区域编码。1图5.6P90]

解答：

点(x,y)的区域编码根据下面的模式设置。

比特l=sign(y—ymax)=sign(y—6)比特3=sign(x—xmax)=sign(x—2)

——

比特2=sign(yminy)=sign(1—y)比特4=sign(xminx)=sign<—3—x)

此处：

1,(a>0)

signed)-<

0,(。WO)

因此：

A(-4,2)-0001B(-1,7)-1000

C(-1,5)-0000D(3,8)-1010

E(-2,3)->0000F(1,2)->0000

G(1,2)-0100H(3,3)一0010

I(-4,7)-1001J(-2,0)->1000

3.求垂直线x和水平线y与初四边形平行坐标轴的矩形裁剪窗口的交点。写出线段

（从4（X］,y）到巴（X2，%））与％）垂直线x=a,（b）水平线y=b的交点。

解答：

线段的参数方程是：

『"+D。妣］

y=yl+f（y2-yi）

（b）因为x=a,将它代入方程，=（4一%）/（芍一%）得到。然后把此值再代入方程，

则交点是X/=。和

a-x./\

切=%+-----L（必一

、%2-*1,

（c）因为y=b,将它代入方程，=仍一%）/（当一切）得到。然后把此值再代入方程，

则交点是乃=人和

巧=.+（"，-］（"内）

{y2-yij

4.如何判断一个点P（x,y）是在由A（x”y。和B（X2,y2）所连接的线段的左边还是右

边。

解答：

参见图所示。对于向量AB和AP,如果P点在AB的左边，根据两个向量叉乘的

定义，向量ABXAP的方向是向量K,即xy平面的正交方向。如果在右边，叉乘方向

为一K,此时：

48=(%2-%)/+(%-

AP=(x-x])I+(y-yi)J

因此：

ABXAP=[(w-％)G-y)-(g-Mh-X1)]K

这个叉乘的方向由下式确定：

心=一斗X)'一乂)一(必一xX》一石)

5.如果不是正的，P在AB的左边。如果已是负的，P在AB的右边。

6.根据一个对象点绕原点旋转的旋转变换，写出对应的矩阵表示。

解答：

根据sin和cos的三角函数定义计算得到：

x'=rcos(0+①)，y'=rsin(0+①)

和

x=rcos①，y=rsin中

根据三角公式，得出：

rcos(U+①)=r(cos。cos①一sin。sin①)=xcos。—ysin。

和

rsin(。+①)=r(sin。cos①+cos。sin①)=xsin。—ycos。

或

X'=XCOS0-ysino,y'=Xsino+yCOS0

re

设P'=,p=且

'cos。-sin。、

(sin。sin。)

则可得出P=

7.(a)写出对象绕原点旋转的旋转变换矩阵。(b)设点为P(2,-4),旋转后的新

坐标是什么？

解答:

(a)根据上题:、

、1

(cos30"-sin30022

R30。=

(sin30"cos30"7173

227

(b)新的坐标可以通过矩阵乘法得到:

fV31

222G+2

1-4J1-273；

22J

8.写出点Q(x,y)绕定点P(h,k)旋转的旋转变换。

解答：

通过三步确定：(1)平移对象，使它的旋转中心P与原点重合；(2)绕原点旋转；(3)

将P平移回(h,k)o

使用v=/iI为U作为平移向量，凡,p可通过组合变换得到：

Rao=1丫•R0•"

9.写出下列关于原点的缩放变换：(a)在X轴方向缩放a单位(b)在Y轴方向缩放

b单位(c)同时分别在X轴方向缩放a单位，在Y轴方向缩放b单位。

解答：

(a)点P(x,y)缩放变换后得到点(ax,y),可以用形式Sa.i-P的矩阵表示，

即：

(a0、(ax

1°dUJ

(b)与(a)类似，可以用形式Si.b,p的矩阵表示,即

T

、()

(c)在两个方向上的缩放可以通过x'=ax和y'=by变换得到Sa,b-P»写成矩阵

形式有：

10.写出以直线L作为反射轴的反射变换矩阵。

解答：

设图中所示的直线L交y轴于B(0,b),倾斜角为0(与x轴夹角).然后用已知

的交换来描述整个过程：

(1)平移交点B到原点。

(2)旋转一6°使直线L跟x轴重合。

(3)关于x轴镜面对称。

(4)旋转8。回到原方向。

(5)将B平移回(0,b)«

其交换表示为：

ML=TV*R，＞*MX*R，*1\其中,v=bJ

11.矩阵在b=0的特例下叫x方

向错切变换；a=0时叫y方向错切变换。说明这个变换在a=2和b=3时对正方形

A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)进行变换的结果。

解答：

12.寻找圆方程对应的xy坐标方程，假设x'y'坐标是通过对xy坐标在x方向缩放

a单位，在y方向缩放b单位得到的。

(非+⑺*

解答：

由坐标缩放变换方程可以得到：

,1.1

x=一尤y^-y

ab

进行替换，得到：

应注意缩放的结果，圆方程经过变换后变为xy坐标系的椭圆方程。

13.写出直线方程丁'=点'+。对应的xy坐标方程，假设x'y'坐标系是由xy坐标

系旋转90°得到。

解答：

旋转坐标变换方程可以写成：

x,-xcos90°+ysin90°=y',y'--xsin90°+ycos90°=-x

代入原方程式得到—为=阳+人，写成y的方程式，得y=(——b/6

第五章交互技术及用户接口

第六章三维形体的表示

第七章三维形体输出流水线

1.二次旋转变换定义为先绕x轴再绕y轴旋转的变换，(a)写出这个变换的矩阵；(b)

旋转的先后顺序对结果有影响吗？

解答：

(a)通过组合两个旋转矩阵可以得到变换T：

T=R你,/•RQX,J

'COS4

0sin0y0、q000、

01000cosa-sin40

-sin0y0cos.00sin0x(0

00b(000b

cos。、sin4,sin%sin^vcos^v0、

0cos%-sin。、.0

一sin4cos。、sin6Vcos0ycos0x0

00。1J

(b)通过R奴/•凡2可以得到变换矩阵：

'cos6V0sing,0、

sin0Xsin0ycos0x-sinacos。、0

-cosQsin伙，sinacos。cos。、,0

、0001；

这个矩阵与(a)的不同，所以旋转的顺序有影响。

2.旋转轴L是向量V和通过轴的点P决定的。试写出绕L轴旋转0°的变换。

解答：

通过下面步骤找到要求的变换：

(1)将p平移到原点。

(2)使V平行于向量K。

(3)绕K旋转。。。

(4)逆变换步骤(2)和(1)。

因此有:

Re、L=Tp*A/•R°,K•A，•T-p

3.写出关于xy平面对称面的镜面反射变换。

解答：

由图得知P(x,y,z)得对称点是P(x,y,-z)»其反射变换是:

4.用原点作为投影中心，请写出满足下述条件的透视变换：通过点Ro(xo,yo,zo)

并且有法线向量N=4/+n2J+n3K。

解答：

设P(X,y,z)点投影到P'(x',y',z')点。向量方和西方向相同，因此存在一个数

。，使得防=。而且

元'=ax,yf=ay,zf=az

现在求。得值。因为所有在视平面上的点P'(x',y',z')满足下面的方程:

+n2y+n3z=t/0

其中，d°=HjX0+%%+%Zo,将V=gy'=ay,z'=az代入方程得到:

a-d0这个投影变换不能用3X3矩阵变换公式表示。但是使

〃［工++%z

用齐次坐标表示三维点时，

可以写出投影变换得4X4矩阵:

000、

d000

Pe丸&

04。

"22°>

将此矩阵与点P的齐次坐标表示P(x,y,z,1)连接运算，得到

P'(dnx,dQy,daz,nAx+n2y+%z),这就是上面所得到的P'(x',y',z')齐次坐标。

5.写出投影到视平面z=d的透视投影，其中投影中心在原点(0,0,0)o

解答：

平面z=d平行于xy平面(且距离为d个单位)。因此视平面的法线向量N和xy平面

的法线向量K,即N=K。选择Ro(0,0,d)视见参考点，根据上题可以确定参数：

N(4,4,%)=(0,0,1)R0(x0,y0,z0)=(0,0,d)

因此：Jo+n,x0+n2y0+n^Zg=d

所以投影矩阵是：

2000、

0400

Per口-

Kl00J0

、0010,

6.写出投影到xy平面，方向是V=a/+切+cK的平行投影方程。

解答：

从可以看出向量V和所有相同方向。即丽=々丫。比较分量，则有:

xr-x=ka^yr-y=kb,zr-z=kc

因此：

,z,ab

k——,x—xz,yf—y—z

ccc

在3X3的矩阵形式中，有：

000，

/

所以P=Paa・P

7.如何确定一个点P在观察体的内部还是外部？

解答：

一个平面空间将空间分成两部分。平面的一般方程是：

(x-x0)+n2(y-jo)+n3(z-zo)=O

对于任意点P(x,y,z),若定义一个标量函数f(P),有：

f(P)=f(x,y,z)=nl(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)

如果signf(P)=signf(Q),那么说P点和Q点在同一边(相对平面而言)。令

舁，九，九，九，八和人分别表示顶平面、底平面、左平面、右平面、近平面、远平面。

另外，L和R分别是窗口的左下角点和右上角点，且Pb和Pt分别是后裁剪平面和前裁

剪平面的参考点.

那么如果下面都成立，则P点在观察体内：

对于平面fr来说，P和L在同一一边；

对于平面fB来说，P和R在同一边；

对于平面fR来说，P和L在同一边；

对于平面丘来说，P和R在同一边；

对于平面fN来说，P和Pb在同一边；

对于平面fF来说，P和Pr在同一边。

相当于：

signfr(P)=signfr(L)signfi_(P)=signfL(R)

signfB(P)=signfB(R)signfN(P)=signfN(Pb)

signfR(P)=signfR(L)signfr(P)=signfi<Pf)

8.对于三维Cohen-Sutherland裁剪算法，下述观察体作为裁剪区域时，线段端点的

区域编码分别是什么？(a)规范化平行观察体；(b)规范化透视观察体。

解答：

整个过程逻辑上可以参照第5章的二维裁剪算法。在三维情况下，描述观察体的平面把

三维空间分成6个重叠的外部区域(即观察体的上下左右)，加上观察体的内部。因此

需要用6比特区域编码。设P(x,y,z)为端点的坐标。

(a)对于规范化平行观察体，根据下述规定把每个比特设为真(1)或

假(0)

比特1=端点在观察体上方=sign(y—1)

比特2=端点在观察体下方=$1811(―y)

比特3=端点在观察体右方=sign(x—1)

比特4=端点在观察体左方=sign(―x)

比特5=端点在观察体后方=sign(z—1)

比特6=端点在观察体前方=sign(―z)

如果(a)为正的，则sign(a)=1,否则为0。

(b)对于规范化平行透视体：

比特1=端点在观察体上方=sign(y—z)

比特2=端点在观察体下方=081I(-z-y)

比特3=端点在观察体右方=sign(x—z)

比特4=端点在观察体左方=$1811(―z—x)

比特5=端点在观察体后方=sign(z—1)

比特6=端点在观察体前方=signP(zf—z)

线段的分类是(1)如果两个区域编码都是000000,则为可见线段；(2)如果两个区域

编码的按位与操作不是000000,则为完全不可见线段；(3)如果两个区域编码的按位与操

作是000000,则为要裁剪线段

9.写出线段与下述规范化观察体边界平面相交的交点：(a)平行投影；(b)透视投影。

解答：

设Pi(xi，y”zi)和P2(xi,yi,Z1)为线段的两个端点。线段的参数方程是：

x=x)+(x2-xjt,y=%+。2-必",Z=Z|+@2-zjt

交点参数是：

t「•丽

1—N.q.R

其中N是法线向量，Ro是平面的参考点。

(a)平行规范化观察体边界平面是x=0,x=1,y=0,y=l,z=0和z=l。对于平面x

=1,有N=I和Ro(1,0,0)o所以有:

t-U!-1)

x2-X]

如果线段与平面有交点，交点坐标为：

X,一1

X=玉+(X,_X])(---!----)=1

x2-X]

V.—1

y=y+(当一%)(--:-----)

y2f

z.—1

z=Z]+(Z2-Z])(--------)

Z2

同理可以求出与其他平面的交点。

(b)透视规范化观察体边界平面是x=z,x=—z,y=z,y=—z,z=Zf和z=l。为了求

出与x=z平面的交点，将平面方程写成x-z=0。根据这个方程，有法线向量N=

I-K,参考点是Ro(0,0,0)。所以有：

ti=___________

(x2-x,)(z2-z,)

如果OWtiWl,则将代入线段的参数方程计算交点。同理可以求出与其他平面的交点。

第八章消隐及真实感图形生成技术

1.已知点R(1,2,0)、P-，(3,6,20)和观察点巴(2,4,6),试判断从C(0,0,

-10)观察时，哪个点挡了其他点。

解答：

连接观察点C(0,0,-10)和点P3l,2,0)的直线是

x=t,y=2t,z=­10+10t

为了判断Pz(3,6,20)是否在这条线上，可以将点带入方程，得x=3时t=3,在t

=3时x=3,y=6,z=20,所以P2在过C点和R点的投影线上。

接着以C为基准，判断哪个点在前面。C,P”B分别在这条线的t=0,1,3位置上。

由t值可知，Pi在R前面，即R遮挡了巴。

现在判断P3(2,4,6)是否在这条线上。x=2时t=2,y=4,z=10«所以P3(2,4,

6)不在这条投影线上，既没有遮挡P”也没有被R、B遮挡。

2.为什么需要隐臧面消影法？

解答：需要用隐藏面消影法来判断哪些物体和表面遮挡了放在它们后面的物体和表面,

从而产生更逼真的图像。

3.需要用哪两步判断给定的点R(X"y”z,)是否遮挡了另一个点Pz(X2,y2,Z2)?

解答：必须判断(1)两个点是否在同一个投影线上。(2)如果是，哪个点在另一个点

前面。

4.为什么在平行投影时更容易确定隐藏面？

解答：平行投影没有灭点，因而，任意点P(a,b,z)和其他有同样x和y坐标的点位

于同一投影线上。这样只需比较z来判断哪个点更靠近观察者。

5.Z缓冲器算法是怎样判断哪个面应消影的？

解答：Z缓冲器算法设置了一个二维数组，类似于帧缓冲器。但是，Z缓冲器存放的是

每个像素点的深度值，而不是帧缓冲器中的颜色值。Z缓冲器的初始值设置为某个大的

数值，通常是后裁剪平面的距离。在判断像素(x,y)上的哪个平面更靠近观察者时,

就可以简单的比较Z缓冲器中的深度值和当前平面的深度值。如果当前平面的值比Z缓

冲器中的值小(即距视点更近)，则用新值替换原Z缓冲器中的值，像素的颜色值也变

成新平面的颜色值。

6.局部光照模型和全局光照模型的不同之处是什么？

解答：

局部光照模型主要是考虑光源发出的光对物体的直接影响。另外，全局光照模型除了处

理光源发出的光之外，还考虑其他辅助光的影响，如光线穿过透明或半透明物体，以及

光线从一个物体表面反射到另一个表面等。

7.物体的颜色很大程度上取决于它的漫反射系数。如果kd=(0.8,0.4,0)且光源是

蓝色的，那么物体是什么颜色的？

解答：黑色。由kd得知，物体不反射蓝光，又光源没有红光和绿光。

8.参见上题，如果光源用品红色的，会是怎样的情况？

解答：红色。因为物体只反射品红色光的红色部分。

9.假设点Pi在扫描线y上且亮度为I”点P2在扫描线y2上且亮度为L。给出y方向

上的递推公式，该公式可以用线性插值计算P,和P2之间所有扫描线的亮度值I'。

解答：设Pl为开始点，则从一条扫描线到下一条扫描线的亮度变化值为

A/=(/2-/,)/(y2-y1)

所以：/：=/]且/：=/：_]+△/,其中i=2,…,Y2-yi-

10.参见上题，如果在第5条线上的点Pi有RGB颜色(1,0.5,0),在第15条线

上的点P2有RGB颜色(0.2,0.5,0.6)»那么在第8条线上的点是什么颜色？

解答：

因为

A^=(0.2-1)/(15-5)=-0.08

AG=(0.5-0.5)/(15-5)=0

=(0.6-0)/(15-5)=0.06

所以有[1+3x(-0.08),0.5+3x0,0+3x0.06]=(0.76,0.5,0.18)为第8条线上点的颜

色。

11.说出表面明暗处理的三个部分和用于计算每个部分的辅助光线。

解答：局部贡献(阴影光线)，反射光贡献(镜面反射光线)和透射光贡献(镜面透射光

线)。

12.一束光线表示为r(f)=s+fd,其中s=2/+/-3K且d=/+2K。分别求出对

应于t=0,1,2.5和3的光线上的点坐标。

解答：

r(0)=(2+Q)I+J+(-3+0)K=2/+/-3K-(2,1-3)

r(l)=(2+1)/+J+(―3+2)K=3/+J-K(3,1-1)

r(2.5)=(2+2.5)1+J+(-3+5)K=4.5/+J+2K->(4.5,1,2)

r(3)=(2+3)/+/+(-3+6)K=5/+J+3K-(5,1,3)

1.二维空间中的直线可以表示为代数方程y=mx+Z?或参数向量方程LQ)=s+td,

其中一8<r<+oo。对于S=/+J和d=试给出等价的代数方程.

解答1:

因为〃>)=s+fd=(l+f)/+(l—f)J,所以有：

即x+y=2或y=—x+2

解答2：

在直线上找到两个点：

L(0)=s=/+J-(1,1)

L(l)=