湖南省衡阳市2022年中考数学试卷解析版

湖南省衡阳市2022年中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分,）

1.-2的绝对值是（）

A.-2B.2C.|D.

【答案】B

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：-2的绝对值是2.

故答案为：B.

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，可求出其结果.

2.石鼓广场供游客休息的石板凳如下图所示，它的主视图是（）

□

【答案】A

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：此几何体的主视图为

故答案为：A.

【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体可得到此几何体的主视图.

3.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A.可回收物B.其他垃圾C.有害垃圾D.厨余垃圾

【答案】C

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、此图案不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、此图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；

D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180。后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图

形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.

4.为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗.截止至2022年5月底，我国疫苗接

种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为ax109的形式，则a的值是（）

A.0.339B.3.39C.33.9D.339

【答案】B

【知识点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解:33900075=3.39x109.

，a=3.39.

故答案为：B.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：axion,其中0a|<10,此题是绝对值较大的数，因此片整

数数位-1.

5.下列运算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.a3-a4=a12C.（a3）4=a7D.a3-i-a2=a

【答案】D

【知识点】同底数基的乘法；同底数基的除法；合并同类项法则及应用：某的乘方

【解析】【解答】解：A、a?+a3不能合并，故A不符合题意；

B、a3-a4=a7,故B不符合题意；

C、（a3）4=a%故C不符合题意；

D、a^a2=a,故D符合题意;

故答案为：D.

【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数基相乘，底数不变，指数相加，可对

B作出判断；利用事的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幕相除，底数不

变，指数相减，可对D作出判断.

6.下列说法正确的是（）

A.“任意画一个三角形，其内角和为180DU3”是必然事件

B.调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式

C.抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确

D.十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的

概率是|

【答案】A

【知识点】全面调查与抽样调查；事件发生的可能性；简单事件概率的计算

【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180。，是必然事件，故A符合题意；

B、调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B不符合题意；

C、抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故C不符合题意；

D、十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，三种信号灯持续的时间一般不相同，故D不符

合题意；

故答案为：A.

【分析】利用三角形的内角和为180。，可对A作出判断；利用抽样调查的定义，可对B作出判断；

利用抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，可对C作出判断；根据三种信号灯持续的

时间一般不相同，可对D作出判断.

7.如果二次根式也』有意义，那么实数a的取值范围是（）

A.a>1B.a>1C.a<1D.a<1

【答案】B

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意得

a-l>0

解之：a>l.

故答案为：B.

【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等

式的解集.

8.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才

培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践

活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35,38,39,42,42,则这组数据的众数和中

位数分别是（）

A.38,39B.35,38C.42,39D.42,35

【答案】C

【知识点】中位数；众数

【解析】【解答】解：排序为：35,38,39,42,42,

42出现了2次，是出现次数最多的数，

,这组数据的众数为42；

最中间的数是39,

这组数据的中位数是39.

故答案为：C.

【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的

平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案.

9.不等式组｛£[2言；的解集在数轴上表示正确的是（）

-4-3-2-10

-4-3-2-10

c.

-4-3-2-10

【答案】A

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组

x+2>1(1)

【解析】【解答】解:

2x<x+3②

由①得x>-l

由②得x<3

不等式组的解集为-1女<3,

故答案为：A.

【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，再观察各选项,

可得答案.

10.下列命题为假命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是矩形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形

D.有一组邻边相等的矩形是正方形

【答案】C

【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题

【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，此命题是真命题，故A不符合题意；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此命题是真命题，故B不符合题意；

C、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故C符合题意；

D、有一组邻边相等的矩形是正方形，此命题是真命题，故D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用矩形的判定定理，可对A作出判断；利用菱形的判定定理，可对B作出判断利用正方

形的判定定理，可对C,D作出判断.

11.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部

的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部

设计高度约是（）（结果精确到0.01m.参考数据：V2«1.414,V3»1.732,V5«

2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度约是xm,则上部的高度为（2-x）m,

•.•使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，

.2—xx

••〒=2

解之：X\—V5—1«1.24,%2=—V5—1（舍去）

经检验，XI是方程的根，

故答案为：B.

【解答】设该雕像的下部设计高度约是xm,则上部的高度为（2-x）m,根据雕像上部（腰部以上）

与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，建立关于x的方程，解方程求出符合题

意的x的值.

12.如图，在四边形ABCD中，/.B=90°,AC=6,AB||CD,AC平分/.DAB.设AB=

x，力。=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）

【答案】D

【知识点】反比例函数的实际应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】'：AB||CD,J.^ACD=ABAC,

,：AC平分Z.DAB,：.Z.BAC=/.CAD,

：.Z-ACD=£.CAD,贝!JCD=AD=y,即XACD为等腰三角形，

过D点做DE1AC于点E.

则DE垂直平分AC,AE=CE=^AC=3,/.AED=90。，

'J/.BAC=^CAD,乙B=^AED=9Q°,

•••△ABCAED,

.AC_AB.6_x

,•而=•一,厂3，

・

・・18

Jyx=—,

・・,在AABC中，AB<AC,

Ax<6,

故y关于x的函数图象是D.

故答案为：D.

【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得NACD=/CAD,利用等角对等边可证得

CD=AD=y,过点D作DEJ_AC于点E,由等腰三角形的性质，可推出DE垂直平分AC,可求出

AE的长；再证明是△ABCs^AED,利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x,y的方程，

然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且x<6,观察各选项中的图象，可得到符

合题意的选项.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）

13.因式分解：x2+2x+1=.

【答案】(x+if

【知识点】因式分解-运用公式法

【解析】【解答］解:x2+2x+1=(x+I)2-

故答案为：(x+I)2.

【分析】利用完全平方公式分解即可.

14.计算：V2XV8=.

【答案】4

【知识点】二次根式的乘除法

【解析】【解答】解：原式=V^=S%=4.

故答案为：4

【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可.

【答案】2

【知识点】分式的加减法

【解析】【解答】解：原式=尊=笑言=2.

a+2。+2

故答案为：2.

【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，再约分化简.

16.如图，在AABC中，分别以点A和点B为圆心，大于^AB的长为半径作圆弧，两弧相交

于点M和点N,作直线MN交CB于点。，连接4).若力C=8,BC=15,则AACD

的周长为.

【答案】23

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：由作图可知MN垂直平分AB,

/.AD=BD,

VAACD的周长为AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=8+15=23.

故答案为：23.

【分析】利用作图可知MN垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质可证得AD=BD,由此可得到

AACD的周长就是AC+BC,代入计算可求出4ACD的周长.

17.如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120。，假设绳索粗细不计，且与

轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm.（结果保留兀）

【答案】4兀

【知识点】弧长的计算

【解析】【解答】解：由题意可知物体上升的距离就是半径为6cm,圆心角为120。的弧长,

故答案为：4TL

【分析】由题意可知物体上升的距离就是半径为6cm,圆心角为120。的弧长，再利用弧长公式进行

计算.

18.回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.

峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利

用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE=10m,Z.BDG=30°,zBFG=60。.已知测角仪

DA的高度为1.5m,则大雁雕塑BC的高度约为m.（结果精确到0.1m.参考数据：

V3«1.732）

【答案】10.2

【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用

【解析】【解答】,:乙BDG=30。且乙BFG=60°,

:.乙DBF=Z.BFG-乙BDG=30°,

:.乙DBF=LBDG，

即BF=DF=AE=10m.

:,BG=BF-sin60°=5V3m~8.66m，

：.BC=BG+GC=BG+DA=8.66+1.5®10.2m,

故答案为10.2m.

【分析1利用已知条件可证得NDBF=NBDG,利用等角对等边可证得BF=DF,可求出BF的长；再

利用解直角三角形求出BG的长；然后根据BC=BG+CG,可求出BC的长.

三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题

12分，满分66分..）

19.先化简，再求值.（a+b）（a—b）+b（2a+b）,其中a=l,b=—2.

【答案】解：原式=a2—b2+2ab+b2=a2+2ab,

将a=l,b=-2代入式中得：

原式=l2+2x1x（—2）=1—4=-3

【知识点】利用整式的混合运算化简求值

【解析】【分析】利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项；然后将

a,b的值代入化简后的代数式求值即可.

20.如图，在AABC中，AB=AC,D、E是BC边上的点，且B。=CE,求证：AD=

AE.

【答案】证明：..SB=AC,

：.^ABC为等腰三角形，

:•乙B—L.C,

又♦:BD=CE,

(AB=AC

・••在AABD和△ACE中，Z.B=Z.C,

BD=CE

・•・△三△4CE(S4S),

：.AD=AE.

【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定(SAS)

【解析】【分析】利用等边对等角可证得/B=NC,再利用SAS证明△AD乡Z\ACE,利用全等三角

形的对应边相等，可证得结论.

21.为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”

背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生

进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：

(1)参与此次抽样调查的学生人数是上—人，补全统计图①(要求在条形图上方注明人数)；

(2)图②中扇形C的圆心角度数为度；

(3)若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；

(4)计划在4,B,C,D,E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画

树状图的方法，求恰好选中B,E这两项活动的概率.

【答案】(1)解：18；补全统计图如下：

(2)90

(3)解：最喜爱“测量”项目的学生人数是：3^x1200=300人

(4)解：列表如下:

一项

ABCDE

第二

A—ABACADAE

BBA—BCBDBE

CCACB—CDCE

DDADBDC—DE

EEAEBECED—

或者树状图如下：

所以，选中B、E这两项活动的概率为：P(透中8E)=益X100%=10%.

【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法

【解析】【解答】解：(1)因为参与B活动的人数为36人，占总人数30%,所以总人数=

藕=120人’

则参与E活动的人数为：120-30-36-30-6=18人；

(2)扇形C的圆心角为：器x360。=90。；

【分析】(1)参与此次抽样调查的学生人数=8组的人数+B组的人数所占的百分比，列式计算可求

出结果；再求出E组的人数；然后补全条形统计图.

(2)扇形C的圆心角的度数=36(TxC的人数所占的百分比，列式计算.

(3)用1200x最喜爱“测量”项目的学生人数所占的百分比，列式计算即可.

(4)由题意可知此事件是抽取不放回，列表，可得到所有等可能的结果数及恰好选中B,E这两项

活动的情况数，然后利用概率公式进行计算.

22.冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会

的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网

店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰

墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获

利20元.

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？

(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小

雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元?

【答案】(1)解：设冰墩墩进价为X元，雪容融进价为y元.

%+y=136x=72

解得

15%+5y=1400y=64

，冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元.

(2)解：设冰墩墩进货a个，雪容融进货(40—a)个，设利润为w,

得关于利润解析式w=28a+20(40一a)=8a+800,

*/a>0,所以利润随a增大而增大，

又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，

得a<|(40-a)，解得aW24.

.•.当a取24时利润取得最大值为992.

【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)抓住关键已知条件：第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩

偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，这里包含两个等量关系；再设未

知数，列方程组，然后求出方程组的解.

(2)利用总利润=每一个冰墩墩的利润x其数量+每一个雪容融的利润x其数量，可得到W与a之间

的函数解析式，再利用二次函数的性质及a的取值范围，可得到进货方案及最大利润.

23.如图，反比例函数y=-的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于4(3,1),

B(—l,n)两点.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)设直线48交y轴于点C,点M,N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边

形OCNM是平行四边形，求点M的坐标.

【答案】(1)解：•••点A在反比例函数图象上，

:.m=lx3=3,

...反比例函数解析式为y=|;

•.•点B在反比例函数图象上，

・二-n二3

解之:n=3

・,•点B(-1,3),

・・•点A,B在一次函数图象上，

.(3k+b=1

•・t—k+b=3

解之:f,fe=\

S=-2

一次函数解析式为y=x-2.

(2)解：由题0C=2,且四边形OCNM为平行四边形，且0C固定，

:.M,N横坐标相同，设M(t,|),N(t,t-2),

；0C=MN即|-(t-2)=2,解得t=±V5,

(百，V3)或(-V3,-V3)

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的判定

【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解

析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出n的值，可得到点B的坐标；然后将点A,

B的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k,b的方程组，解方程组求出k,b的值，由此可得到

一次函数解析式.

(2)由题意可知0C=2,再利用平行四边形的性质，可知点M,N的横坐标相同，因此设M(t,

1),N(t,t-2),由OC=MN,可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点M的坐标.

24.如图，AB为的直径，过圆上一点。作。。的切线CD交BA的延长线与点C,

过点。作0E||AD交CD于点E,连接BE.

(1)直线BE与。。相切吗？并说明理由；

(2)若=2,CD=4,求CE的长.

【答案】(1)解：证明：连接0D.

■:CD为。。切线，J.Z.ODC=/.ODE=90°,

又YOE||AD,J./.DAO=AEOB,AADO=乙EOD,

且/.ADO=/.DAO,:.乙EOD=^EOB,

在4ODE与4OBE中；

OD=OB

VZ.EOD=Z.EOB,

OE=OE

△ODE=△OBE,

:•乙OBE=Z.ODE=90°,

...直线BE与。。相切.

(2)解：设半径为r；

则：r2+42=(2+r)2，得r=3；

在直角三角形CBE中，BC2+BE2=CE2,

(2+3+3猿+DE2=(4+DE)2，解得DE=6.

【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定(SAS)

【解析】【分析】(1)连接0D,利用切线的性质可证得/ODC=/ODE=90。，可得至lJOE〃AD,利用

平行线的性质及等边对等角可证得NDAO=NEOB,ZADO=ZEOD,NADO=NDAO,可推出

ZEOD=ZEOB；再利用SAS证明△ODE丝△OBE,利用全等三角形的性质可得到NOBE=90。，然

后利用切线的判定定理可证得结论.

(2)设圆的半径为r,利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；在RtACBE中，利用

勾股定理可得到关于DE的方程，解方程求出DE的长.

25.如图，已知抛物线y=/-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分

沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.

(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；

(2)若直线y=-x+b与图象IV有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；

(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PMIIy轴交直线BC于点M,交图象W于点

N,是否存在这样的点P,使4CMN与4OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：由翻折可知：C(0,2).

令x2—X—2=0)解得：=—1,%2=2,

所以，2(-1,0),8(2,0),

设图象W的解析式为y=a(x+l)(x-2),代入C(0,2),解得a=-1,

所以解析式为y--x2+x+2(-1<x<2)

当直线y=-x+b过点C时，b=2；

当直线y=-x+b在x轴上方与抛物线W相切时

/.-x+b=-x2+x+2

整理得x2-2x-2+b=0

b2-4ac=0即4-4(-2+b)=0

解之：b=3.

b=2或b=3

（3）解：如图1,当CN||OB时，△OBCNMC,此时，P（l,0）;

如图2,当CN||OB时，XOBCFNMC,

此时，N点纵坐标为2,/-%一2=2,解得，4=土£（舍）；

12L2

所以P（l+用，0）；

如图3,当乙NCM=90。时，&OBCS&CMN,此时，直线CN的解析式：

y=x+2；联立方程组：，解得小=1+而，皿=1一花（舍），所以

P（1+V5,0）.

因此，综上所述：P点坐标为（1,0）或（呼,0）或（1+底0）.

【知识点】二次函数图象的几何变换；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出点C的坐标，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出

x的值，可得到点A,B的坐标；利用二次函数的交点式设W的函数解析式为y=a（x+1）（x-2）,将

点C的坐标代入，可求出a的值，即可得到函数解析式.

（2）分情况讨论：当直线y=-x+b经过点C时，此直线与图象W有三个交点，将点C的坐标代入可

求出b的值；当直线y=-x+b位于x轴上方与抛物线W相切时，将两函数联立方程组，可得到关于x

的一元二次方程，根据b2-4ac=0,可得到关于b的方程，解方程求出b的值.

（3）分情况讨论：当CN〃OB时可证得AOBCSANMC,利用PN〃y轴，可得到点P的坐标；当

CN〃OB时，易证△CMNsaBOC,由y=2,可求出x的值，可得到点P的坐标；当NNCM=90。

时，△OBCsaCMN,可求出直线CN的函数解析式，将其函数解析式与抛物线联立方程组，解方

程组求出x的值，可得到点P的坐标；综上所述，可得到符合题意的点P的坐标.

26.如图，在菱形ABCD中，AB=4,^BAD=60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒

1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ1AB于点Q，作PMI/O交直线AB于

点M，交直线BC于点F,设XPQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），

点P运动时间为t(秒).

(1)当点M与点B重合时，求t的值；

(2)当t为何值时，XAPQ与ABMF全等；

(3)求S与t的函数关系式；

(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE,当2WCW4时，求点E运动路径

的长.

【答案】(1)解：M