高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修二）第04讲 排列、组合与二项式定理（教师卷）

第04讲排列、组合与二项式定理【易错点总结】排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列组合并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合2.排列数与组合数(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq\o\al(0,n)＝1性质(1)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增减性二项式系数Ceq\o\al(k,n)当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).【重难点剖析】考点一：排列与组合1．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（

）A． B． C．20 D．9【答案】A【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法.则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：.故选：A2．将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（

）A．54 B．36 C．24 D．18【答案】B【详解】将4名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：，学校有两名新老师：；学校有两名新老师：；学校有两名新老师：所以共有种情况，故选：B.3．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，…，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，根据分类加法计数原理可得选出的情况有种，然后将选出的两组进行全排列对应江西厅、广电厅，故确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是.故选：C.4．某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（

）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种【答案】C【详解】若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有：种情况；若甲不参加，乙不参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，此时有：种情况；若甲不参加，乙参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，此时有：种情况；故共有：种情况.故选：C.5．当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（

）A．24种 B．30种 C．36种 D．72种【答案】B【详解】若和各去一个地区，同去一个地区，则共有种方案；若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；由分类加法原理可得共有种方案.故选：B.．考点二：二项式定理6．展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】展开式的通项为令，则展开式中的系数为．故选：D．7．的展开式中项的系数为（）A． B． C．80 D．200【答案】B【详解】的展开式的通项为，因为，在中，令，得，在中，令，得，所以展开式中项的系数为.故选：B.8．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（

）A．16 B．32 C．1 D．【答案】A【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，所以，令得展开式中各项系数的和为．故选：A9．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项【答案】D【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误.由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误.因为展开式的通项为，当时，，故C错误.当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确.故选：D10．若，则的值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】在中，令，得，令，得，令，得，所以，所以.故选：C.【基础过关】一、单选题1．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．48种【答案】B【详解】甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为，所有的排列方式有：.故选：B.2．已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（

）A． B． C．15 D．20【答案】B【详解】根据题意可得，解得，则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：.故选：B.3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（

）A．24 B．12 C．6 D．2【答案】B【详解】解：先对2个雪容融排列，将3个冰墩墩插空放在3个空位上排列，由分步乘法计数原理，排列方法有.故选：B4．已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有（

）A．9种 B．18种 C．27种 D．36种【答案】C【详解】甲、乙各取1个红球，有种方法；乙取两个红球，有种方法；共有18+9＝27种方法.故选：C.5．已知（1+2x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（

）A．211 B．210 C．29 D．28【答案】C【详解】由题意可得，，所以n=10，则（1+2x）n的二项式系数之和为210.所以所有偶数项的二项式系数之和29，故选：C．6．教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（

）A．8种 B．10种 C．14种 D．20种【答案】C【详解】分两种情况，第一种：1家企业接待1名校长，1家企业接待3名校长，共有种方法；第二种：每家企业均接待2名校长，共有种方法，所以共有8+6=14种.故选：C.7．若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（

）A．160 B．60 C． D．【答案】B【详解】解：二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，，则展开式中的通项公式为，令，解得，故展开式中的常数项为.故选：B．8．某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙等5人的决赛名次可能有（

）种排列情况.A．18 B．36 C．54 D．72【答案】C【详解】由题意可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，所以甲的名次可能是2,3,4,第5名可能为丙,丁,戊,剩余的三个人全排,即可得到甲、乙等5人的决赛名次的可能情况,即有种.故选：C．二、多选题9．在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第项 B．各项的系数和是C．第项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为【答案】BCD【详解】二项式的展开式通项为.对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；对于B选项，各项的系数和是，B对；对于C选项，展开式共项，第项二项式系数最大，C对；对于D选项，奇数项二项式系数和为，D对.故选：BCD.10．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（

）A．所有可能的安排方法有125种B．若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C．若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种【答案】AB【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确；对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A医院没有专家去的方法有种，所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；对于C，专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．故选：AB.三、填空题11．若的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中的系数是___________.【答案】9【详解】中令得：，解得：，的展开式的通项公式为，当时，，则，当时，，则，当时，，不合要求，舍去，故展开式中的系数为.故答案为：9.12．为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙、丙三位同学均只能体验其中一门课程，则恰有3门课程没有被这三位同学选中的概率为______.【答案】【详解】由题意知：三人之间选择体验课程没有影响，故三人选择课程方案为种，恰有3门课程没有被这三位同学选中，说明三人选择的课程互不相同，共有种，所以恰有3门课程没有被这三位同学选中的概率为，故答案为：.四、解答题13．在的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项系数和．【答案】(1)1024；(2)1；(3).【详解】（1）由题可知在的展开式中，二项式系数的和为；（2）在的展开式中，令可得各项系数的和为：；（3）设，令，得到，令，得，所以，即奇数项系数和为.14．（1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？【答案】（1）1728；（2）72.【详解】解：（1）用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列，有种不同的排法，再将同类书进行排列，有种不同的排法，所以一共有6×288＝1728种不同的排法．（2）先排两端的节目有种顺序，再排其余3个位置的节目，有种顺序，所以一共有12×6＝72种不同的安排方法．15．某学习小组有4名男生和3名女生共7人．(1)将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？(2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？【答案】(1)(2)（1）解：因为4名男生相邻，所以看作一个元素，则将4个元素全排列，再将4个男生全排列，然后由分步计数原理得：种不同的站法．（2）选出2名男生有种选法，选出2名女生有种选法，然后全排列有种排法，再利用分步计数原理得：种不同的选派方法．【能力提升】一、单选题1．若，则（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【详解】，则．故选：B.2．从1，2，3，4，5，6这6个数中任取两个数，则两个数之和为偶数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】两个数之和为偶数则这两个数均为偶数或均为奇数，故.故选：B.3．的展开式中项的系数为（）A． B． C．80 D．200【答案】B【详解】的展开式的通项为，因为，在中，令，得，在中，令，得，所以展开式中项的系数为.故选：B.4．某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动.现有，，，四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：每人只能等可能的选择参加五项活动中的一项活动，且可以参加相同的活动，四名同学总共的选择为个选择，恰有两人参加同一项活动的情况为，剩下两名同学的选择有种，恰有两人参加同一项活动的概率为．故选：B．5．当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（

）A．24种 B．30种 C．36种 D．72种【答案】B【详解】若和各去一个地区，同去一个地区，则共有种方案；若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；由分类加法原理可得共有种方案.故选：B.二、填空题6．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．【答案】120【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有种方法；另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有种，因此共有种.故答案为：1207．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年、1665年间提出，据考证，我国至迟