江苏省南京2022年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4=｛目/—2x—3<0｝8=｛.%<2｝,则AD8=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

2.在平面直角坐标系xOy中，将点A(l,2)绕原点。逆时针旋转90。到点8,设直线08与x轴正半轴所成的最小正

角为a,则cose等于()

2A/5A/5「6n2

AA.---------BR.-------C・D.

5555

r、r、IX+I=a”+10"a”

3.已知正项数列｛为｝,也｝满足：丁，，设。，=,，当C3+C4最小时，Q的值为()

12+1=4+2hn

14〜

A.2B.一C.3D.4

4.设a=log73,b=bg|7,c=3。，，则a,b,c的大小关系是()

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

5.已知向量£=&&),B是单位向量，若口一q=百，贝骑，今=()

ne兀一兀>2万

A.-B.—C.—D.—

6433

6.已知函数/(x)=也(+1_%)+3=-3*，不等式/(a+4)+/(,+5),,0对％wR恒成立,则。的取值范

围为()

A.[-2,+oo)B.(-oo,-2]C.-1,+oo1D.^-00,

7.已知当〃2,we[-l,1)时，sin--sin—<n3-m\则以下判断正确的是()

22

A.m>nB.|/M|<|/?|

C.m<nD.相与"的大小关系不确定

8.已知三棱锥£>-ABC的外接球半径为2,且球心为线段8c的中点，则三棱锥。-A8C的体积的最大值为()

9,若a=log23,b=log47,c=0.74,则实数。，仇c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>hC.h>a>cD.c>b>a

10.设万，5是非零向量，若对于任意的2eR，都有,一6«,一万|成立，则

.,rr、r

A.allbB.albC.ya-bj±aD.\^a-bj±b

11.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

12.若直线二不平行于平面二，且二仁则（）

A.二内所有直线与二异面

B.二内只存在有限条直线与二共面

C.二内存在唯一的直线与二平行

D.二内存在无数条直线与二相交

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在四棱锥。一458中，底面ABCO为正方形，/%，面48。。,抬=钻=4,瓦£”分别是棱28,8。,尸。的

中点，过”的平面交棱C。于点G,则四边形EEG”面积为.

14.已知等差数列｛a,,｝的前〃项和为S,,a,=9,%含=-4,则%=.

95

15.已知关于x的方程a|sinx|+；=sinx在区间［0,2加上恰有两个解，则实数”的取值范围是

16.运行下面的算法伪代码，输出的结果为5=.

s^o.............;

FortFrom1To10Step1;

IEndFbr；

,PrintS\

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积

极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励.如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）

的频率分布直方图.

（1）求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值；

（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；

（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在［0,2）和［8,10］的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的

店铺销售额在［0,2）中的个数二的分布列和数学期望.

18.（12分）为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定XN85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

$I0II6

60133458

7||2367778

8I12459

900I23%

（I）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率;

(II)从图中考核成绩满足Xe[8(),89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

(y_oc、

(ID)记表示学生的考核成绩在区间[a,句的概率，根据以往培训数据，规定当P—<120.5时

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

114

19.(12分)在①人=4，②--------,③&=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

Q]CL>1^2

已知等差数列｛《,｝的公差为，等差数列｛4｝的公差为2d.设4,纥分别是数列｛4｝,也｝的前〃项和，且

仇=3,A2=3,,

(1)求数列｛/｝,｛2｝的通项公式；

3

⑵设C.=2%+——,求数列£｝的前〃项和5,,,

20.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，2S,,+a“=l(〃eN)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

11-1

(2)若％「+二一,I,为数列｛c“｝的前”项和.求证：Tn>2n--.

21.(12分)设点厂(1,0),动圆P经过点F且和直线x=-l相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.

(1)求曲线W的方程；

(2)过点用(0,2)的直线/与曲线W交于A、3两点，且直线/与8轴交于点C,设次=2/，MB=pBC,

求证：a+4为定值.

22.(10分)如图，在四棱锥P—ABCD中，Q4_L底面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

AB^BC=-AD=-PB^2,E为必的中点，F是PC上的点.

22

(1)若E/7〃平面B4O,证明：石户，平面Q46.

(2)求二面角B-PD-。的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

解不等式得出集合A,根据交集的定义写出4nB.

【详解】

集合4=住如-加-340}={*|-14x43},

B={x|x<2},/.Anfi={x|-l<x<2}

故选C.

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

2.A

【解析】

设直线直线。4与x轴正半轴所成的最小正角为夕，由任意角的三角函数的定义可以求得sin/?的值，依题有

。4_1。/?,则。=P+90,利用诱导公式即可得到答案.

【详解】

如图，设直线直线。4与x轴正半轴所成的最小正角为尸

因为点A（l,2）在角的终边上，所以sin夕二/_玄=5

依题有OA±03,则a=£+90°,

所以cosa=cos(1+90°)=-sin/?=-----,

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.

3.B

【解析】

fn0

=a”+1Gb―四~=1H------199

由，得％4+1,即c“M=l+—7,所以得。3+。4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

犷+

[bn+l=an+b„1c,I+lC3+I

小值，得到=2,再由递推公式求出C：5.

【详解】

%+10

an+i=an+\0b„an+1_an+Wbtl_bn9

由<ASS----------------------------------------------------------------------]-|-----------------------

b”+i=a“+bn%an+b„£k+iS+i

b,b.

,9

即q,M=i+一；

q,+i

9

C3+Q=C3+1+---->6,当且仅当。3=2时取得最小值,

C3+1

9914

此时，4=1+不4,C.1-

5+T

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.

4.D

【解析】

l>a=log73>0,"=地!7<0,c=3°，>l得解.

3

【详解】

l>«=log73>0,"=1%7<0,C=3°7>1，所以/?<a<c,故选D

3

【点睛】

比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法.

5.C

【解析】

设B=(x,y),根据题意求出x，y的值，代入向量夹角公式，即可得答案;

【详解】

设B=(x,y),

•••万是单位向量，，X2+；/=1,

•,-p-^|=V3,A(l-x)2+(V3-y)2=3,

1

x=

~~2y(x=1,1

联立方程解得：厂或，、

V3[y=0,

7=T5

i

x=一不2，__1_।_3__一乃

当〈/-时，-E221：­,•<a,b>=—

_V|cos<a,b>=jxi=23

y=Tx

X=1,——11——万

当《时，cos<a,/?>=-----——；­•<a,b>=—

[y=0,2x]23

综上所述：<〃——/>=:TT.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时

注意坂的两种情况.

6.C

【解析】

确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为a...二二=JGT4+J——\利用双勾函数单调性求最值

&+4(VX2+4；

得到答案.

【详解】

f(-x)=ln(Vx2+l+x)+3V-3-v=/(x)是奇函数,

/(x)=ln(V%2+l-x)+3T-3、=ln(,1—)+3-x-3\

Jf+i+x

易知y=ln(j\+J,y=3,y=-3'均为减函数，故/(%)且在R上单调递减,

不等式/(q+4)+/(X2+5)„0,即/(«Vx2+4)„/(-x2-5),

_12—51、

结合函数的单调性可得即。…+7=,

，厂+4&+4)

+1)单调递减，故一25

设1=Jf+4，t>2,故y=一VX+4+,

ylx2+4

max5'

当「=2,即x=0时取最大值，所以

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.

7.C

【解析】

由函数的增减性及导数的应用得：设/(x)=Y+sin段,xe[—1,1],求得可得/(x)为增函数，又租,1)时,

根据条件得/(m)</(«),即可得结果.

【详解】

解：/(%)=x3+sin,xe[-1,1],

贝！I/'(x)=3x2+cos>0,

即/(x)=x3+sin,xe[-1,1]为增函数，

又根,nG[-l,1),sm----sin——<n-m9

22

.7rm3.7m

a即nsin----\-m<sin——+n'3,

22

所以/(M</(〃)，

所以〃？<〃.

故选：c.

【点睛】

本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题.

8.C

【解析】

由题可推断出和ABCD都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥£>-A6C的体积最大，则需满足〃=07),

结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA=OB=OC,故AABC是直角三角形，设AB=x,AC=y,则有

x2+y2=42>2xy,又4^0=^孙，所以50叱=：冲<4,当且仅当x=y=2加时，5刖尤取最大值4,要使三

11Q

棱锥体积最大，则需使高〃=00=2,此时匕改."=§5?叱/=§'4乂2=§,

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

9.A

【解析】

将“化成以4为底的对数，即可判断42的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出Ec与1的大小关

系，从而可判断三者的大小关系.

【详解】

依题意，由对数函数的性质可得a=log23=log49>Z?=log47.

4

又因为c=0.7<0.7°=1=log44<log47=b,故a>h>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相

同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;

若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

10.D

【解析】

画出G,b，根据向量的加减法，分别画出3-XB）的几种情况，由数形结合可得结果.

【详解】

由题意，得向量（万-B）是所有向量中模长最小的向量，如图，

当即5）口时，|AC|最小，满足5卜|万一同，对于任意的/IwR,

所以本题答案为D.

【点睛】

本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于

基础题.

11.D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

12.D

【解析】

通过条件判断直线二与平面二相交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线二不平行于平面二，且二u二可知直线二与平面二相交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.476

【解析】

设G是CO中点，由于E,尸,"分别是棱PB,BC,PD的中点，所以EFIIPC,EF=-PC,HGUPC,HG^-PC,

22

所以EF//HG,EF="G,所以四边形EFGH是平行四边形.由于PA_L平面ABCD，所以,而BO_LAC,

PAC\AC^A,所以30,平面PAC,所以BDLPC.由于FG//BD,所以BGLPC,也即尸G_LEF,所以四

边形AFG”是矩形.

而即=,PC=273,FG=-BD=2V2.

22

从而SEFGH=2V3x2V2=4屈.

故答案为：4\/6•

【点睛】

本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

14.—2〃+11

【解析】

利用？•-5=-4求出公差△，结合等差数列的通项公式可求

【详解】

设公差为d,因为今—・=T,所以4d—2d=T,即d=—2.

所以%=4+(〃-l)d=9-2(n-1)=-2n+11.

故答案为：—2〃+11

【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核

心素养.

15.(另

【解析】

先换元，令/usinx,将原方程转化为aM+g=L利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可

求出.

【详解】

因为关于x的方程。|sinx|+；=sinx在区间［0,2汨上恰有两个解，令。=sinx,所以方程a卜|+g=，在

1

1

t--―2-0<r<l

re(-l,0)U(0,l)上只有一解，即有。=一/

1

t-一

—Z-l<r<0

-t

直线与y-2在/£(一1,0)1^0』)的图像有一个交点，

还有一个根f=l,所以此时共有3个根.

综上实数a的取值范围是(--3,11).

■22

【点睛】

本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式.

10

16.—

11

【解析】

模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出S的值用裂项相消法求和即可.

【详解】

模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行:

10

一T7，

故答案为:平

【点睛】

本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(1)5500元;(2)32家；(3)分布列见解析；-

3

【解析】

(1)根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；

(2)求出［4000,10000］的频率即可；

(3)［0,2)中的个数，的所有可能取值为0,1,2,求出：可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.

【详解】

(1)频率分布直方图销售额的平均值为

2x(0.025x1+0.075x3+0.2x5+().15x7+0.05x9)=5.5千元，

所以销售额的平均值为5500元；

(2)不低于4000元的有40x(0.2+0.15+0.05)x2=32家

（3）销售额在［0,2）的店铺有2家，

销售额在［8,10］的店铺有4家.选取两家，

设销售额在［0,2）的有，家.则，的所有可能取值为0,1,2.

“CX-2“八C\C\8

噌=2"言飞

所以，的分布列为

012

281

P7I?15

Q12

数学期望后4=1'=+2、==彳

15153

【点睛】

本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.

73

is.（I）—（II）-（ni）见解析

305

【解析】

（I）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

（II）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；

（ni）求出满足三二wi的成绩有16个，求出满足条件的概率即可.

【详解】

解：（I）设这名学生考核优秀为事件A，

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀,

7

所以所求概率P（A）约为正

（n）设从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，

至少有一人考核成绩优秀为事件B,

因为表中成绩在［80,89］的6人中有2个人考核为优,

所以基本事件空间Q包含15个基本事件，事件B包含9个基本事件,

93

所以P(B)r=M

(HI)根据表格中的数据，满足三得卜1的成绩有16个，

、

X—85。.

所以P<13>5

10/3015

所以可以认为此次冰雪培训活动有效.

【点睛】

本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题.

19.(1)4=〃也=2〃+1；(2)2n+l-^±^

2n+3

【解析】

方案一：(D根据等差数列的通项公式及前"项和公式列方程组，求出卬和d,从而写出数列｛。,,｝,｛2｝的通项公式;

(2)由第(1)题的结论，写出数列｛%｝的通项9,=2"+3(5号-三片)，采用分组求和、等比求和公式以及裂

项相消法，求出数列£｝的前〃项和s..

其余两个方案与方案一的解法相近似.

【详解】

解：方案一：

(1)V数列｛an｝,也｝都是等差数列,且4=3,4=々，

2。1+d=3ci,=1

・••Jsnnj，解得LI

54]+10d=9+6d[d=1

atJ=%+(〃-1)J=n,

2=4+(〃一l)2d=2〃+1

综上4f=n,bn=2n+l

(2)由(1)得:

33(11

%=2〃+-------------------=2〃+-

(2〃+1)(2〃+3)2(2〃+12〃+3

.-.s=(2+22+.--+2,,)+-[(---)+(---)+--.+(—^―1

)]

"235572〃+12〃+3

_20-£)+Vl_O

1-22(32n+3J

=2.+i3(”+2)

2〃+3

方案二：

(D•••数列｛q｝，｛〃｝都是等差数列，且4=3,'-'=4

a\a2瓦

2。］+d=3q=1

4q(q+d)=d(6+2d)得d-\

an=%+(〃—l)d=n,

2=々+(〃-l)2d=2〃+1.

综上，

an=n,bn=2n+\

(2)同方案一

方案三：

(1)•••数列｛%｝，｛d｝都是等差数列，且4=3,员=35.

24+d=3

4=

5x4解得

3x5+3x21=35d=1

I2

an=q+(n-l)d=n,

bn=b｝+(n-T)2d=2〃+1.

综上，%=他=2n+l

(2)同方案一

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前〃项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前〃项和,

属于中档题.

20.(D%=上(2)证明见解析

\3>

【解析】

S],〃=1ZN

(1)利用。。.求得数列4｝的通项公式.

电-5,i，〃N2

(2)先将%缩小即%>2-1卷一击],由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.

【详解】

(1)•.,2S“+a“=l(〃eN*),令〃=1,得％=g.

又2S,I+4T=1(〃22),两式相减，得区=；.

Un-\J

c11cl

=2n-\----：---->2n——.

3"M33

T>2〃—.

3

【点睛】

本小题主要考查已知S“求。“，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

21.(1)/=4x；(2)见解析.

【解析】

(1)已知P点轨迹是以尸为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，由此可得曲线W的方程；

2

(2)设直线方程为y=^+2,攵。0,则c(_：,o),设4%，乂),6(%,%)，由直线方程与抛物线方程联立消元应

k

用韦达定理得X+W，〜%，由肠4=aXC，蕨=，团，用横坐标表示出名，，然后计算。+£，并代入X+W，

X1%2可得结论.

【详解】

(1)设动圆圆心P(x,y),由抛物线定义知：P点轨迹是以尸为焦点，直线x=-l为准线的抛物线，设其方程为

y2=2px(p＞0),则t=1,解得。=2.

二曲线W的方程为＞2=4无；

2

(2)证明：设直线方程为丁=丘+2,%。。，则。(一一,0),设4%，必),5(々,力)，

K

v=lex+2

由＜2得公％2+(4&-4"+4=0,①，

=4%

巾4人一44公

则x+x=--——,xx——,②，

]2k12k~

由凶=a/，MB=J3BC9得

22

(玉，丁1-2)==(一%一:，一,)，(入2，%—2)=/?(-x——,—y),

kk22

-kx,--丘

整理得a---