河南省新乡市市第四中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

河南省新乡市市第四中学2021-2022学年高三数学理联

考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知f(X)=sinx+我cosx(xER),函数y=f(x+3)的图象关于直线x=0对称,

则。的值可以是（）

KiTilTilTil

A.TlB."SiC.D.T|

参考答案:

【考点】y=Asin(3X+6)中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性.

【专题】计算题.

【分析】化简函数f(X)=sinx+我cosx(xER)的表达式，函数y=f(x+小)的图象

关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个小即可.

【解答］解:f(X)=sinx+V^cosx=2sin(x+T),

函数y=f(x+6)=2sin(x+d>+T)的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，

.,.«!)=6|

故选D

【点评】本题考查丫=人5行(3X+6)中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的

对称性，考查计算能力，是基础题.

2.在三棱锥中A-BCD,A(0,0,2),B(4,4,0),C(4,0,0),D(0,4,3),若

下列网格纸上小正方形的边长为1,则三棱锥A-BCD的三视图不可能是()

参考答案:

B

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由已知中三棱锥A-BCD的各点坐标，分析出几何体各个视图的形状，可得答

案.

【解答】解：由已知中A(0,0,2),B(4,4,0),C(4,0,0),D(0,4,3),

则几何体的正视图为：

几何体的侧视图为:

•♦-4-*—t

几何体的俯视图为:

故三棱锥A-BCD的三视图不可能是B,

故选：B

3.设向量a=(4*-I),8=(X+I》，贝1Hx=3”是“a//b”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

A

当力行时,有2?4(x-D(x+D=。,解得x=±3；

所以X=3=£//B,但£〃5#X=3,故“x=3”是”的充分不必要条件

4.甲校有360()名学生，乙校有5400名学生，丙校有180()名学生。为统计三校学

生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三

校分别抽取学生

A.30人，3()人，3()人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

参考答案：

B

5.己知抛物线C：丁=6*,直线/过点RI）,且与抛物线C交于M,N两点，若线段

MN的中点恰好为点P,则直线/的斜率为（）

1531

A.3B.4C,2D,4

参考答案：

C

【分析】

由题意可知设M（X1，y）,N（x2,>2），代入抛物线方程作差求得：

（鼻+方）（鼻一鼻）一6（。一巧），由中点坐标公式可知：国+X2=4,yi+），2=4,代入求得直

线的斜率.

（1）

【详解】设“（鼻鼻），”（巧6）代入C：V=6x,得1*=60（2）

（1）.（2）得（鼻+另）（另一方）=6（。一巧）

工+巧=4

因为线段的中点恰好为点P,所以1乂+乃二支

.—.=3

从而4（鼻-%）=q原-马），即।的斜率为玉-/Q.

故选C.

【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应

用，考查运算能力，属于中档题.

101n|x41|

6.下列四个图中，函数“的图象可能是（）

ABCD

参考答案：

C

7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

俯视图

(A)3*(B)3元

11

(C)3(D)3

参考答案：

B

8.如图所示，点血叫，B是曲线，上一点，向矩形OABC内随机投一点，则该

点落在图中阴影内的概率为()

1112

A.2B.3C.4D.5

参考答案：

A

【分析】

根据定积分求阴影部分面积，再根据几何概型概率公式求结果.

I

j(4-3?-l)A-(3x-x,)U=2

【详解】阴影部分面积为，，

21

所以所求概率为由一2，选A.

【点睛】本题考查利用定积分求面积以及几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础

题.

9.设/(力=11n”若函数g(x)=/(”・ax在区间(°同上有三个零点，则实数a的取值

范围是

参考答案:

D

10.已知函数/(X)对任意xwR都有/(*+4)_/(力=2/(2),若尸=/3一1)的图象关于

直线x=l对称，且/6=2,则/(2013)=

A.2B.3C.4

D.0

参考答案：

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知函数f(x)=(sinx+cosx)cosx,则f(-24)二

参考答案:

2+&

4

【考点】三角函数的化简求值.

]&兀

【分析】先根据二倍角公式和两角和的正弦公式f(x)=5+与sin(2X+T)，再代值计

算即可.

【解答】解：f(x)二(sinx+cosx)cosx=sinxcosx+cos2x=2sin2x+2(l+cos2x)

]&兀

=E+-rsin(2x+-T),

冗工返(-—}—工运12+&

：.f(-24)=2+2sin(2X’24,+4)=2+2x2=4

2+加

故答案为：4

.,1.7”、

smCen--)=-cos(a+—)=

12.若123,则12

参考答案：

—一I

3

略

13.某算法的程序框图如右图，若输出的S的值为62,则正整数万的值为.

参考答案:

5

第一次循环，满足条件，£=2/=2；第二次循环，满足条件，5=2+/=6/=3；第三次

循环，满足条件，$=6+i=14」=4；第四次循环，满足条件，？=14+2'=30」=5；第

五次循环，满足条件，3=知+?=52/=6第六次循环，不满足条件，输出$=62,所以

此时”=5。

(、氐・之)力，

14.在-的二项展开式中，”的系数为

参考答案：

5

略

15.已知f(x)为定义在(0,+8)上的可导函数，且f(x)>xf(x),则不等式

x2f(―)-f(x)<C0

X的解集为.

参考答案:

{x|0<x<l)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】常规题型.

f(X)

【分析】由已知当x>0时，总有f(x)>xf'(x)成立，可判断函数g(x)=X

fd)

2

xfW)-f(x)<0等价于

XX

为减函数，而不等式q,由此得到不等

式继而求出答案.

f(X)fy(x)x-f(x)

------2

【解答】解：设g(X)=X,则g'(x)=X,

Vf(x)>xf'(x)，

.'xf'(x)-f(x)<0,

.•.g'(x)<0,

・・・g(x)在(0,+8)为减函数，

X2f(-)-f(x)<0

X,x>o,

f(—)/x

Xf(X)

1X

X,

g(—)<g(x)

X,

:.X,

.,.0<x<l.

故答案为：{x[o<x<l}.

【点评】本题关键是证明g(x)为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性

解决问题.

22

工-J

16.双曲线C：97的左、右焦点分别为Fi、F2,P是C右支上一动点，点Q的坐

标是(1,4),则|PFi|+|PQ|的最小值为.

参考答案：

11

考双曲线的简单性质.

点:

专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

题：

分依题意,|PFi|-|PF2|=6,从而可得|PFI|+|PQ|W|PF2|+|PQ|+62|QF2|+6.

析：

解f£

答：解：..¥1、F2是双曲线C：9-7=1的左、右焦点，

AFi（-4,0）,F2（4,0）；

又P是C右支上一动点，

:,由双曲线的定义知,|PFi|-|PF2|=6,

；.|PFI|=|PF2|+6,又Q的坐标是（1,4）,

A|PFI|+|PQ|=|PF2|+|PQI+6>|QF2|+6.

V|QF2|=V（4-1）2+（0-4）2=5.

/.|QF2|+6=11.

.,.|PFI|+|PQ|>1L

故|PFi|+|PQ|的最小值为11.

故答案为：11.

点本题考查双曲线的简单性质，突出考查双曲线的定义及三角不等式的应用，属于中

评：档题.

17.已知函数/（x）"*-4a+3的反函数的图象经过点I,2）,那么a的值等

于.

参考答案：

答案：2

解析：依题意，当x=2时，y=l,代入/（x）=a'-4a+3中，得a=2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.

已知函数y=/a),若存在*°，使得则/称是函数y=/(>)的一个不动点,

设

-2x4-3

/(x)=

2x-7

(I)求函数V=/(X)的不动点;

/⑶-a—x-a

(II)对(I)中的二个不动点a、b(假设a>b),求使/(x)-6

恒成立的常数上的值;

参考答案：

/=〃幻的不动点为%,则小巴=叼解薄/=%=3

(I)设函数2/-7

-2x4-3

12x-l~_-Sx+24x-3

3,b

=8~~r

X+-

(II)由(I)可知2x-722

J(x)-a「七x-a

可知使/(力-6x-b恒成立的常数k=&

19.如图，在以AB为直径的半圆上有三点P,C,Q,且=BP与AC

交于点M,过点M作PQ的平行线，交BQ于点N

(1)求证：NA1AM

(2)若dA-2,P是弧BC的中点，求四边形ABMN的面积

参考答案:

RQBP

(I)连接d。.”，•:MNHFQ,,

BWBP:BQBM

ABSC-BNBP,..AABN^hPBC

的N=4FC,又•.•四边形4加匕是圆内接四边形,

Z5R7=1800-Z«JC=135°,.•.4川=1350,

ZMAN=&AN-Z1AM=90°,：.NAVAM；

,•,5分

(II):P是月c的中点，.•.加»=PC，由(I)得dB=AN,ZP8C=ZPCB,

ZR3Z19C=ZQ9A:ZfQi=Z<&tA

ABHPQ,：.ABHMN,..ZANM=〃W=mC=450,

AJ£4N是等腰直角三角形，又•.才是月C的中点，4BHPQ

Q是Be中点，..乙晓=3°..ZMNS=ZA^N=223°,

ZANS=ZANM&NM=22J°,ZAN3=ZABN,

AN=AM=〃=2,

Sr”=S“，S”=-x2x2xsB45,,t-x2x2=2+>/2

22“TO分

20.(14分)在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知Iga-lgb=lgcosA-

IgeosB,

(I)若cW5b,求角A；

(II)若"SC二五求cosB的值.

参考答案:

考点：余弦定理；对数的运算性质；正弦定理.

专题：计算题；综合题.

分析：(1)由题意可得A、Be(0,2),tanA=tanB,从而有A=B；又c=Fb,由余

弦定理可求角A；

1_2_

(II)由cosC=Q,利用余弦定理可得c=愿，再利用正弦定理将该式转化为角的正弦，

利用三角函数间的关系式即可求得cosB的值.

解答：解：'."Iga-lgb=lgcosA-IgcosB,

acosA.

1gb=lgcosB,A、Be(0,2),

_acosA

/.b=cosB,

/.acosB=bcosA,由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA,sin(A-B)=0,

兀

VA>Be(0,2),

・・・A二B,即a二b,ZiABC为等腰三角形.

又c=V3b,由余弦定理得：(?=3bJb'a,-2abcosC=2b2-2bcosC,

工

/.cosC=-2,又CW(0,n),

2-

/.C=3,又人=13,A+B+C=兀，

JT

・・・A二6.

_1

(II)VcosC=3,

2V2

/.sinC=3,

_14

/.由余弦定理c2=b2+a2-2abcosC=2a2-2a2X3二3a2,

22V2

sinC=V3sinA,而sinC=3,

近2L

/.sinA=3,又A、Be(0,2),A=B,

/.cosB=cosA=3.

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，得到tanA=tanB,

是解题的关键，考查学生综合运用三角知识解决问题的能力，属于难题.

21.(本小题满分14分)

已知函数/⑶=足1卜2-矶火用

(I)当4=1时，求/(X)在点(L/⑴)处的切线方程；

(ID求在［1⑵的最大值.

参考答案：

(I)当。=1

时/(x)=lnx-?+x(x)=--2x+l..............3分

/(1)=0./(1)=0即：所求切线方程为：

7=0.6分

\1c-%/+"+1八

/(x)=—2ax^a------------------,x>0

(II)VXX

当4=0时,/(x)>0/(x)在［1,2］上递增

.•.U="2)=ln2

.............7分

当"0时可令g(x)=2x2+"+l,xe［L2］

••・g(x)的对称轴X=彳且过点(0,1)

■.当a〈Q时，/卜)>。在［1,2］恒成立“X)在［1,2］上递增

./(x)**=/(2)=必2-勿

.......................9分

当a>0时，

若M(l)二°,即：421时，/(X)〈。在［L2］恒成立

/⑶在口.2］上递

减.〃1人=〃1)=0

.10分

若g(i)>ag(2)<。，即：时,

<a+4"+8d'a+Jo?+&>o

4a4一，

/(X)在一,上大于零，在Ia」上小于零

］a+Ja”+8da+Ja?+&12

/(，)在［J上递增，在I-上递减

a+&'+8a.a++&?Ja?+媪+a-4

=In---------------+-------------------

4a8

.12分

若则>0.g(2R0,即：°时，

/(x)>°在口⑵恒成立/(“在［L2］上递增

/口『=，(2)=卜2-勿

13分

In2-2a.。£一

6

,a+va+8^+。-41

〃X)”=In----------------♦---------------------，一<a<1

4a86

0,a21

综上:....14分

22.(本小题满分14分)

口句上J(x)=*+("6)x+(4-2a)lnxJM.x'+Zx+b

已知函数3,gir-*十〈A。

(1)若4=2,求/(x)的单调区间；

(U)在(I)的条件下，对V9ae(O.*°),都有/(x】)>g(xj,求实数6的取

值范围；

(III)若〃x)在(°，加)，(冬田)上单调递增，在(冽㈤上单调递减，求实数。的取值

范围。

参考答案：

解：(I)/5)定义域为(